Área bajo una curva

01 · Punto de partida

Medir una región con borde curvo

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando base por altura. La de un triángulo o un círculo también puede calcularse con fórmulas conocidas. Pero ¿qué sucede cuando el borde superior de una región es la gráfica de una función que cambia de altura en cada punto?

Supongamos que y = f(x) describe el perfil de una pieza, la profundidad de una sección o la intensidad representada en un gráfico. Si la función es no negativa entre x = a y x = b, la región bajo la curva queda encerrada por:

• la gráfica y = f(x) en la parte superior;
• el eje horizontal y = 0 en la parte inferior;
• la recta vertical x = a a la izquierda;
• la recta vertical x = b a la derecha.

02 · Describir antes de calcular

La región forma parte del problema

Una función por sí sola no determina un área finita. También necesitamos un intervalo y una referencia inferior. Por ejemplo, decir «el área bajo f(x) = x²» deja abiertas varias preguntas: ¿entre qué valores de x? ¿respecto del eje horizontal? ¿la función permanece arriba del eje?

Una descripción completa puede escribirse como:

Esta notación indica que cada valor de x del intervalo se asocia con todos los puntos verticales comprendidos entre el eje y la curva.

Las cuatro fronteras

Dibujar o describir estas fronteras evita integrar sobre un intervalo equivocado o medir una región diferente de la solicitada.

03 · Construcción elemental

Una tira vertical: altura por anchura

Dividimos el intervalo [a,b] en partes pequeñas. En una parte cercana a x, la curva cambia poco y la región puede aproximarse mediante un rectángulo:

• altura: f(x);
• anchura: Δx;
• área aproximada: f(x)Δx.

En la descripción continua, el aporte elemental es:

Al sumar todas las tiras y hacerlas cada vez más angostas, obtenemos:

La tira es un modelo local. No afirmamos que la región curvada sea literalmente un conjunto finito de rectángulos, sino que las sumas rectangulares convergen al área cuando la partición se refina.

04 · Análisis dimensional

Por qué el resultado tiene unidades cuadradas

Si tanto x como f(x) representan longitudes en metros, cada tira tiene unidades:

La integral produce entonces un área física en metros cuadrados. Lo mismo ocurre con centímetros, kilómetros o píxeles:

Geométricamente, una integral se representa como área en el plano del gráfico. Sin embargo, sus unidades dependen de los ejes. Si integramos velocidad respecto del tiempo, el resultado es desplazamiento, aunque visualmente observemos una región.

05 · Conectar con la geometría

Rectángulos y triángulos como comprobación

Las integrales deben coincidir con las fórmulas geométricas conocidas. Estos casos simples permiten verificar la construcción.

Función constante: un rectángulo

Si f(x) = h en [a,b], la región es un rectángulo de altura h y base b − a:

Función lineal desde el origen: un triángulo

Si f(x) = mx en [0,b], la base mide b y la altura final es mb. La integral reproduce el área triangular:

Función lineal positiva: un trapecio

Para una recta que toma alturas h₁ y h₂ en los extremos, el área es la anchura multiplicada por la altura promedio: (b − a)(h₁ + h₂)/2. Esta igualdad es una comprobación útil para funciones lineales.

06 · Del modelo al cálculo

Calcular el área con una antiderivada

Las tiras explican qué significa el área. El Teorema Fundamental del Cálculo ofrece una forma eficiente de obtenerla. Si F'(x) = f(x), entonces:

El procedimiento completo consta de cuatro pasos:

1. Comprobar que f(x) ≥ 0 en el intervalo si buscamos área geométrica bajo la curva.
2. Encontrar una antiderivada F.
3. Evaluar F(b) − F(a), respetando el orden de los límites.
4. Expresar el resultado con unidades cuadradas e interpretarlo como medida de la región.

La constante de integración no aparece en el resultado porque se cancela: [F(b)+C] − [F(a)+C] = F(b)−F(a).

07 · Razonar sin recalcular

Propiedades útiles del área

Las propiedades de la integral permiten dividir regiones, comparar resultados y detectar errores.

Aditividad por intervalos

Dividir una región en dos partes y sumar sus áreas no cambia el total.

Comparación

Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en todo el intervalo, entonces el área bajo f no puede superar el área bajo g.

Escalado

Multiplicar todas las alturas por una constante positiva k multiplica el área por k:

Traslación vertical

Si sumamos una constante c a la función, agregamos un rectángulo de área c(b−a). Esto permite anticipar cuánto cambia el resultado sin repetir todo el cálculo.

08 · Comprobar el resultado

Cotas y estimaciones geométricas

Antes de aceptar un área calculada conviene estimar su orden de magnitud. Si en [a,b] la función satisface

entonces la región contiene un rectángulo de altura m y está contenida en otro de altura M:

Por ejemplo, si una función positiva varía entre 2 y 5 sobre un intervalo de anchura 4, el área debe estar entre 8 y 20 unidades cuadradas. Un resultado de 35 indicaría un error de planteo o de cálculo.

Lectura visual responsable

Un gráfico ayuda a estimar, pero la escala puede engañar. Hay que observar las marcas de ambos ejes, confirmar dónde comienza el intervalo y no confundir la altura máxima con el área completa.

09 · Ejemplo desarrollado

Área de un perfil de altura variable

El borde superior de una placa se modela mediante f(x) = 2 + 0,5x metros, desde x = 0 hasta x = 4 metros. El borde inferior coincide con el eje horizontal. Calculemos el área de la placa.

1. Verificar la región

La función crece desde f(0)=2 hasta f(4)=4. Es positiva en todo el intervalo, por lo que la integral coincide con el área geométrica.

2. Construir el aporte

Una tira situada en x tiene altura 2 + 0,5x metros y anchura dx metros:

3. Integrar

4. Comprobar geométricamente

La región es un trapecio con lados paralelos de longitudes 2 y 4 metros, separados por 4 metros. Su área es (2+4)/2 · 4 = 12 m². También cumple las cotas 2·4 ≤ A ≤ 4·4.

10 · Cuándo detenerse

¿Qué ocurre si la curva baja del eje?

La fórmula de este tema interpreta directamente la integral como área geométrica porque suponemos f(x) ≥ 0. Si la gráfica cruza el eje horizontal, las partes inferiores generan contribuciones negativas y pueden cancelar áreas superiores.

En ese caso, antes de hablar de área geométrica debemos:

1. encontrar los puntos donde f(x)=0;
2. dividir el intervalo en tramos de signo constante;
3. calcular la magnitud de cada región;
4. sumar esas magnitudes sin cancelarlas.

El tema siguiente desarrollará esta diferencia entre área con signo y área geométrica. Por ahora, la verificación de positividad es una condición explícita del modelo.

11 · Exploración

Laboratorio: mover las fronteras del área

Elegí una función positiva y modificá los límites. La región coloreada muestra exactamente qué parte se integra. Observá cómo cambian la anchura, las alturas de los extremos y el área.

La curva amarilla representa la función. La zona violeta corresponde a los puntos situados sobre el eje horizontal, debajo de la curva y entre los dos límites seleccionados.

Preguntas para explorar

1. Mantené el límite inferior fijo y desplazá el superior. ¿El área siempre aumenta? ¿Por qué?
2. Elegí dos intervalos con la misma anchura en el modelo creciente. ¿Tienen la misma área?
3. Probá el modelo ondulado. ¿Puede aumentar el área aunque la altura final disminuya?
4. Acercá ambos límites. ¿Hacia qué valor tienden la anchura y el área?

12 · Implementación computacional

Representar y comprobar áreas con JavaScript

Si conocemos una antiderivada, podemos separar el modelo de la operación de evaluación:

function integralDefinida(antiderivada, desde, hasta) {
  if (!Number.isFinite(desde) || !Number.isFinite(hasta)) {
    throw new Error("Los límites deben ser números finitos");
  }
  if (hasta <= desde) {
    throw new Error("El límite superior debe ser mayor");
  }

  return antiderivada(hasta) - antiderivada(desde);
}

// f(x) = 2 + 0.5x; F(x) = 2x + 0.25x²
const antiderivada = x => 2 * x + 0.25 * x ** 2;
const areaM2 = integralDefinida(antiderivada, 0, 4);

console.log("Área:", areaM2, "m²");

Comprobar la positividad con muestras

Una exploración computacional puede advertir valores negativos antes de interpretar la integral como área. El muestreo no constituye una demostración para cualquier función, pero resulta útil como validación adicional:

function revisarNoNegativa(funcion, inicio, fin, muestras = 1000) {
  for (let i = 0; i <= muestras; i += 1) {
    const x = inicio + (fin - inicio) * i / muestras;
    const y = funcion(x);
    if (!Number.isFinite(y)) {
      return { valida: false, motivo: "valor no finito", x, y };
    }
    if (y < 0) {
      return { valida: false, motivo: "valor negativo", x, y };
    }
  }
  return { valida: true };
}

const perfil = x => 2 + 0.5 * x;
console.log(revisarNoNegativa(perfil, 0, 4));

Crear puntos para sombrear la región

function puntosDeRegion(funcion, inicio, fin, cantidad = 100) {
  const puntos = [{ x: inicio, y: 0 }];

  for (let i = 0; i <= cantidad; i += 1) {
    const x = inicio + (fin - inicio) * i / cantidad;
    puntos.push({ x, y: funcion(x) });
  }

  puntos.push({ x: fin, y: 0 });
  return puntos;
}

const region = puntosDeRegion(x => 1 + 0.5 * x, 1, 6, 5);
region.forEach((punto, indice) => {
  console.log(`Punto ${indice}: (${punto.x.toFixed(2)}, ${punto.y.toFixed(2)})`);
});

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: describir la región

Describí las cuatro fronteras de la región bajo f(x)=3−x/2 entre x=0 y x=4. Verificá que la función sea no negativa.

Ejercicio 2: calcular y comprobar

Calculá el área bajo f(x)=x+1 entre 0 y 3. Comprobá el resultado mediante la fórmula del trapecio.

Ejercicio 3: usar cotas

Sabemos que 2 ≤ f(x) ≤ 3,5 en [1,5]. Sin conocer la fórmula de f, encontrá un intervalo que contenga el área.

Ejercicio 4: implementar el cálculo

Escribí un programa que calcule el área exacta bajo f(x)=3+x² entre 1 y 4, utilizando una antiderivada.

const funcion = x => 3 + x ** 2;
const antiderivada = x => 3 * x + x ** 3 / 3;
const inicio = 1;
const fin = 4;
const area = antiderivada(fin) - antiderivada(inicio);

console.log("Altura inicial:", funcion(inicio));
console.log("Altura final:", funcion(fin));
console.log("Área exacta:", area, "unidades cuadradas");

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos área con signo y área geométrica. Analizaremos regiones situadas debajo del eje, cruces de la función y la diferencia entre cambio neto y magnitud total.