Proyecto integrador: de la suma a la antiderivada

01 · El desafío

Calcular un cambio total a partir de una tasa variable

Un móvil se desplaza en línea recta. Su velocidad, medida en metros por segundo, está dada durante los primeros tres segundos por:

El objetivo es determinar el desplazamiento entre t=0 y t=3 recorriendo todo el camino conceptual del cálculo integral:

Este proyecto no busca solamente el número final. Cada representación debe conservar el significado del problema, las unidades, la orientación y el dominio.

02 · Interpretar antes de calcular

Velocidad por tiempo produce desplazamiento

En un intervalo muy corto de duración Δt, si tratamos la velocidad como aproximadamente constante, el cambio de posición es:

Las unidades confirman el modelo:

La velocidad puede escribirse completando el cuadrado:

Por tanto, v(t)≥1 en todo el intervalo. El móvil nunca cambia de sentido: en este caso particular, la distancia recorrida y el desplazamiento coinciden. Si la velocidad fuera negativa en una parte, la integral de v daría desplazamiento neto, no distancia total.

03 · Construir la aproximación

La partición convierte el intervalo en cambios pequeños

Dividimos [0,3] en n subintervalos iguales. El ancho es:

Si usamos extremos derechos, el punto de muestra del subintervalo i es:

Cada rectángulo aporta aproximadamente v(tᵢ)Δt. La suma derecha queda:

Con pocos rectángulos se ve claramente la aproximación. Al aumentar n, la variación de la velocidad dentro de cada subintervalo disminuye y la suma se acerca al valor acumulado.

04 · Del sigma al valor límite

La suma de Riemann puede calcularse algebraicamente

Sustituimos tᵢ=3i/n en la velocidad:

Multiplicando por Δt=3/n y sumando:

Usamos las fórmulas:

Entonces:

Al tomar n→∞, los cocientes dominantes producen:

Por definición de integral definida:

El límite elimina la dependencia del método de muestreo y convierte las aproximaciones en un valor exacto.

05 · El camino eficiente

Una antiderivada evita calcular el límite desde cero

Integramos término a término:

Tomamos V(t)=t³−3t²+4t. Su derivada recupera la velocidad:

Por la segunda parte del teorema fundamental del cálculo:

La suma y la antiderivada no son dos definiciones rivales. La integral se define como acumulación o límite de sumas; el teorema fundamental demuestra que puede evaluarse mediante cualquier antiderivada.

06 · Validación matemática

El resultado debe superar controles independientes

1. 1
   Derivada

   d[t³−3t²+4t]/dt=3t²−6t+4, de modo que la primitiva es correcta.

2. 2
   Signo

   Como v(t)≥1, la integral debe ser positiva.

3. 3
   Cota

   En [0,3], el mínimo es 1 y el máximo es 13. El resultado debe quedar entre 3 y 39.

4. 4
   Unidades

   El valor 12 se expresa en metros, no en metros por segundo.

5. 5
   Aproximación

   Las sumas refinadas deben acercarse a 12.

Ningún control aislado garantiza todo, pero juntos hacen visible una gran variedad de equivocaciones.

07 · Diseñar antes de programar

Separar responsabilidades vuelve verificable el proyecto

En lugar de escribir un único bloque que haga todo, dividimos el programa en componentes:

Esta separación permite probar cada pieza, cambiar el método de suma y reutilizar el motor con otros problemas.

08 · Implementar la aproximación

Una única función admite tres reglas de muestreo

function sumaRiemann(f, a, b, n, metodo = 'medio') {
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError('n debe ser un entero positivo');
  }
  const posiciones = { izquierda: 0, medio: 0.5, derecha: 1 };
  if (!(metodo in posiciones)) throw new Error('Método desconocido');

  const dt = (b - a) / n;
  let acumulado = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const t = a + (i + posiciones[metodo]) * dt;
    acumulado += f(t) * dt;
  }
  return acumulado;
}

const velocidad = t => 3 * t ** 2 - 6 * t + 4;
console.log('Izquierda:', sumaRiemann(velocidad, 0, 3, 12, 'izquierda'));
console.log('Medio:', sumaRiemann(velocidad, 0, 3, 12, 'medio'));
console.log('Derecha:', sumaRiemann(velocidad, 0, 3, 12, 'derecha'));

El algoritmo conserva la orientación porque dt es negativo cuando b<a. No necesita un caso especial para invertir el intervalo.

09 · Implementar el teorema fundamental

La evaluación exacta requiere una primitiva verificada

function evaluarPorPrimitiva(F, a, b) {
  const resultado = F(b) - F(a);
  if (!Number.isFinite(resultado)) {
    throw new RangeError('La evaluación salió del dominio');
  }
  return resultado;
}

const posicionAcumulada = t => t ** 3 - 3 * t ** 2 + 4 * t;
const desplazamiento = evaluarPorPrimitiva(posicionAcumulada, 0, 3);

console.log('Desplazamiento exacto:', desplazamiento, 'metros');
// Desplazamiento exacto: 12 metros

10 · Medir, no solamente imprimir

Un reporte de convergencia muestra cómo mejora la aproximación

function sumaPuntoMedio(f, a, b, n) {
  const dt = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * dt) * dt;
  }
  return suma;
}

const v = t => 3 * t ** 2 - 6 * t + 4;
const exacto = 12;
const reporte = [4, 8, 16, 32, 64, 128].map(n => {
  const aproximado = sumaPuntoMedio(v, 0, 3, n);
  const error = Math.abs(aproximado - exacto);
  return { n, aproximado, error };
});

console.table(reporte);

Como la función es cuadrática y suave, el error del punto medio cae aproximadamente por un factor de cuatro cuando n se duplica. Registrar el error permite comprobar ese patrón.

11 · Convertir propiedades en pruebas

Las identidades de la integral detectan regresiones

Además del ejemplo principal, probamos propiedades que cualquier implementación correcta debería respetar aproximadamente.

function sumaMedio(f, a, b, n = 10000) {
  const dx = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    total += f(a + (i + 0.5) * dx) * dx;
  }
  return total;
}

function cerca(a, b, tolerancia = 1e-7) {
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia;
}

const f = x => x ** 2 + 1;
const total = sumaMedio(f, 0, 3);
const porPartes = sumaMedio(f, 0, 1) + sumaMedio(f, 1, 3);

console.log('Intervalo nulo:', cerca(sumaMedio(f, 2, 2), 0));
console.log('Orientación:', cerca(sumaMedio(f, 0, 3), -sumaMedio(f, 3, 0)));
console.log('Aditividad:', cerca(total, porPartes));

Estas pruebas no dependen de conocer una primitiva específica. Controlan la estructura del algoritmo y resultan útiles cuando se refactoriza el código.

12 · Una extensión conceptual

Desplazamiento y distancia dejan de coincidir si cambia el signo

La velocidad del proyecto es siempre positiva. Para una velocidad general que cruza cero:

Por ejemplo, si v(t)=t−1 en [0,3], el desplazamiento es:

Pero para hallar distancia se separa donde v(t)=0:

Un gráfico o una suma que coloree contribuciones positivas y negativas ayuda a distinguir acumulación neta de área geométrica.

13 · Exploración del proyecto

Laboratorio: ejecutar el flujo completo

Seleccioná un problema, cambiá el método y refiná la partición. El panel superior muestra rectángulos y signo; el inferior registra el error mientras aumenta n.

El panel superior dibuja la función y los rectángulos. El inferior muestra el error absoluto para particiones desde 2 hasta el valor seleccionado.

Preguntas para explorar

1. En la velocidad positiva, compará los tres métodos con el mismo n. ¿Cuál produce menor error?
2. En el problema con cambio de signo, observá qué rectángulos restan acumulación.
3. Duplicá n. ¿El error siempre se reduce de manera monótona para todos los métodos?
4. En la tasa exponencial, ¿qué método sobreestima y cuál subestima por tratarse de una función creciente?

14 · Entregable reutilizable

Un integrador pequeño puede devolver datos, no solo un número

La versión final reúne aproximación, valor por primitiva y métricas. El bloque es autocontenido y puede adaptarse cambiando el objeto problema.

function integrarYValidar({ f, F, a, b, n = 100, metodo = 'medio' }) {
  if (typeof f !== 'function' || typeof F !== 'function') {
    throw new TypeError('f y F deben ser funciones');
  }
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError('n debe ser un entero positivo');
  }
  const offsets = { izquierda: 0, medio: 0.5, derecha: 1 };
  if (!(metodo in offsets)) throw new Error('Método desconocido');

  const dx = (b - a) / n;
  let aproximado = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    aproximado += f(a + (i + offsets[metodo]) * dx) * dx;
  }

  const exacto = F(b) - F(a);
  const errorAbsoluto = Math.abs(aproximado - exacto);
  const errorRelativo = exacto === 0
    ? null
    : errorAbsoluto / Math.abs(exacto);

  return { aproximado, exacto, errorAbsoluto, errorRelativo };
}

const problema = {
  f: t => 3 * t ** 2 - 6 * t + 4,
  F: t => t ** 3 - 3 * t ** 2 + 4 * t,
  a: 0,
  b: 3,
  n: 100,
  metodo: 'medio'
};

console.log(integrarYValidar(problema));

Devolver un objeto conserva contexto para pruebas, tablas o interfaces. Si el valor exacto es cero, el error relativo no está definido; por eso el programa devuelve null en vez de dividir por cero.

15 · Revisión crítica

Errores que pueden sobrevivir a un resultado plausible

16 · Transferir lo aprendido

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir Δt

Dividí [0,3] en 50 subintervalos iguales. ¿Cuál es Δt?

Ejercicio 2: escribir la suma

Escribí la suma derecha para una función f en [a,b] con n partes.

Ejercicio 3: verificar la primitiva

Comprobá que V(t)=t³−3t²+4t+7 también sirve en el proyecto.

Ejercicio 4: invertir extremos

¿Cuánto vale ∫₃⁰v(t)dt?

Ejercicio 5: unidades

Si q(t) se mide en litros por minuto, ¿en qué unidad se mide ∫₂⁷q(t)dt?

Ejercicio 6: acumulación con signo

Para f(x)=x en [−1,1], ¿cuáles son la integral neta y el área geométrica?

Ejercicio 7: diseñar una prueba

Proponé una prueba de linealidad para el integrador numérico.

Ejercicio 8: nuevo proyecto

Una tasa de ingreso es r(t)=200e⁰·¹ᵗ pesos por día entre 0 y 10 días. Planteá el cálculo exacto.

17 · Cierre del recorrido

Lista de control del proyecto completo

El hilo conductor del curso queda condensado en una sola idea: sumar contribuciones locales, comprender el límite que define la acumulación y usar la derivación para evaluarla con eficiencia. El código permite explorar ese vínculo; el análisis matemático explica por qué funciona.