Error absoluto y error relativo

01 · Punto de partida

La misma diferencia puede tener distinta importancia

Una estimación se desvía 2 unidades del valor de referencia. Si la cantidad real es 10, la diferencia representa una parte considerable. Si la referencia es 100 000, probablemente resulte pequeña para muchas aplicaciones.

Evaluar una aproximación requiere dos miradas complementarias:

• ¿cuántas unidades separan la aproximación de la referencia?
• ¿la aproximación quedó por encima o por debajo?
• ¿qué fracción de la referencia representa esa diferencia?
• ¿qué ocurre si la referencia es cero?
• ¿cumple la tolerancia definida por el problema?

02 · Identificar los valores

Referencia, aproximación y error con signo

Llamaremos x al valor exacto o de referencia y a al valor aproximado. Antes de calcular debemos saber qué papel cumple cada dato.

Definiremos el error con signo como:

Con esta convención:

• si e>0, la aproximación sobreestima la referencia;
• si e<0, la aproximación subestima la referencia;
• si e=0, ambos valores coinciden.

Por ejemplo, si la referencia es 200 y la aproximación 194:

La estimación queda 6 unidades por debajo.

03 · Distancia en unidades

Error absoluto

El error absoluto elimina la dirección y conserva la magnitud de la diferencia:

Para x=200 y a=194:

El resultado usa las mismas unidades que la cantidad original. Si comparamos temperaturas en grados Celsius, el error absoluto se expresa en grados; si comparamos longitudes en metros, se expresa en metros.

194 y 206 tienen el mismo error absoluto respecto de 200, aunque se encuentran en lados opuestos.

04 · Diferencia respecto de la escala

Error relativo

El error relativo divide el error absoluto por la magnitud de la referencia:

Para el ejemplo anterior:

El error relativo no tiene unidad porque se dividen cantidades de la misma clase. El resultado 0.03 significa que la diferencia equivale a tres centésimos de la magnitud de referencia.

Usamos |x| en el denominador para que el error relativo sea no negativo incluso cuando la referencia sea negativa.

05 · Una lectura habitual

Error porcentual

Multiplicar el error relativo por 100 permite expresarlo como porcentaje:

En nuestro ejemplo:

Decimos que la aproximación presenta un error del 3 % respecto de la referencia 200. El porcentaje comunica escala, pero debe acompañarse de contexto: no informa por sí solo las unidades ni la dirección.

La tabla explica por qué el error absoluto no basta para comparar aproximaciones en escalas distintas.

06 · Caso especial

¿Qué ocurre cuando la referencia es cero?

Si x=0, la fórmula del error relativo exige dividir por cero:

Por lo tanto, el error relativo usual no está definido. No debemos reemplazarlo automáticamente por cero ni por infinito sin explicar otra convención.

Podemos informar:

• el error absoluto;
• una tolerancia absoluta propia del problema;
• una escala externa significativa;
• una métrica simétrica especialmente definida para la aplicación.

Si la referencia es 0 V y el sensor indica 0.002 V, el error absoluto es 0.002 V. Preguntar “qué porcentaje de cero” representa no produce una medida relativa útil.

07 · Elegir la métrica

Comparar aproximaciones en escalas diferentes

Supongamos dos predicciones:

• Modelo A: referencia 50, aproximación 48; error absoluto 2.
• Modelo B: referencia 5000, aproximación 4990; error absoluto 10.

Por error absoluto, A parece mejor. Pero sus errores relativos son:

En proporción a su escala, B presenta una diferencia mucho menor. Ninguna métrica reemplaza siempre a la otra:

08 · Criterios de aceptación

Tolerancia absoluta y tolerancia relativa

Una especificación puede aceptar un resultado cuando satisface una tolerancia absoluta:

o una tolerancia relativa:

En software numérico es frecuente combinarlas:

La parte absoluta protege las comparaciones cerca de cero; la relativa adapta la tolerancia a valores grandes.

function suficientementeCerca(a, x, toleranciaAbsoluta, toleranciaRelativa) {
  const diferencia = Math.abs(a - x);
  const limite = toleranciaAbsoluta + toleranciaRelativa * Math.abs(x);
  return diferencia <= limite;
}

console.log(suficientementeCerca(1000.5, 1000, 0.01, 0.001)); // true
console.log(suficientementeCerca(0.005, 0, 0.01, 0.001));     // true

Las tolerancias deben elegirse según las unidades, la incertidumbre de los datos y las consecuencias de aceptar una diferencia.

09 · Errores que viajan

Cómo se combinan las aproximaciones

Cuando usamos valores aproximados en nuevos cálculos, sus diferencias pueden propagarse. Si conocemos cotas de error absoluto Eₐ y Eᵦ para dos cantidades, al sumarlas o restarlas podemos garantizar:

Por ejemplo, dos longitudes aproximadas como 10±0.1 cm y 5±0.2 cm producen una suma de 15 cm con una cota conservadora de 0.3 cm.

En productos y cocientes, los errores relativos pequeños tienden a combinarse aproximadamente por suma. Sin embargo, cancelaciones, funciones muy sensibles y errores correlacionados pueden complicar el análisis.

Estas reglas son cotas o aproximaciones de primer orden, no permisos para ignorar el contexto. El análisis detallado depende de la operación y del problema.

10 · Exploración

Laboratorio: medir y aceptar una aproximación

Ingresá una referencia, una aproximación y dos tolerancias. La recta muestra ambos valores y la banda permitida por la tolerancia absoluta.

La banda violeta contiene los valores aceptados por la tolerancia absoluta. El punto dorado marca la referencia y el coral, la aproximación.

Preguntas para explorar

1. Conservá una diferencia de 6 y cambiá la referencia de 200 a 20 y luego a 2000. ¿Cómo cambia el error relativo?
2. Intercambiá una subestimación por una sobreestimación a igual distancia. ¿Qué medidas cambian?
3. Asigná referencia cero. ¿Qué resultado muestra el error relativo?
4. Construí un caso que cumpla la tolerancia absoluta pero no la relativa, y otro con el resultado opuesto.

11 · Implementación robusta

Calcular errores sin perder casos especiales

Una función general puede devolver todas las medidas y representar la ausencia de error relativo mediante null:

function medirError(referencia, aproximacion) {
  if (![referencia, aproximacion].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los valores deben ser números finitos");
  }

  const errorConSigno = aproximacion - referencia;
  const errorAbsoluto = Math.abs(errorConSigno);
  const errorRelativo = referencia === 0
    ? null
    : errorAbsoluto / Math.abs(referencia);

  return {
    errorConSigno,
    errorAbsoluto,
    errorRelativo,
    errorPorcentual: errorRelativo === null
      ? null
      : errorRelativo * 100
  };
}

console.log(medirError(200, 194));
console.log(medirError(0, 0.002));

No usar un valor mágico para “no definido”

Devolver 0 cuando la referencia es cero afirmaría falsamente que no existe error relativo. Devolver Infinity tampoco distingue adecuadamente todos los casos. null comunica que la medida no se calculó bajo esta definición y obliga al código consumidor a tratar el caso.

const resultado = medirError(0, 0.002);

const textoRelativo = resultado.errorRelativo === null
  ? "No definido para referencia cero"
  : `${resultado.errorPorcentual.toFixed(2)} %`;

console.log(textoRelativo);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: calcular las tres medidas

La referencia es 80 kg y la medición aproximada, 78 kg. Calculá error con signo, absoluto, relativo y porcentual.

Ejercicio 2: comparar escalas

La aproximación A tiene referencia 4 y valor 3.9. La B tiene referencia 4000 y valor 3995. ¿Cuál tiene menor error absoluto? ¿Cuál tiene menor error relativo?

Ejercicio 3: referencia negativa y cero

Calculá los errores para referencia −20 y aproximación −18. Luego explicá qué medida no puede calcularse para referencia 0 y aproximación 0.5.

Ejercicio 4: evaluar tolerancias

Una aproximación se acepta si su error absoluto no supera 0.2 y su error relativo no supera 1 %. Evaluá las aproximaciones 19.85 y 19.7 para la referencia 20.

function evaluar(referencia, aproximacion) {
  const absoluto = Math.abs(aproximacion - referencia);
  const relativo = absoluto / Math.abs(referencia);
  return {
    absoluto,
    relativo,
    aceptada: absoluto <= 0.2 && relativo <= 0.01
  };
}

console.log(evaluar(20, 19.85));
console.log(evaluar(20, 19.7));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos redondeo y truncamiento: dos procedimientos para reducir cifras que producen aproximaciones diferentes y pueden introducir sesgos.