Proyecto integrador: aproximar, medir y visualizar

01 · El desafío final

Construir una herramienta que explique su resultado

El proyecto consiste en aproximar la raíz cuadrada de un número no negativo S sin usar Math.sqrt dentro de los algoritmos. No buscamos solamente obtener un decimal: queremos saber cómo fue producido, cuánto puede confiarse en él y por qué terminó el cálculo.

La raíz exacta se utilizará mediante Math.sqrt(S) únicamente para validar y medir el error del experimento. Los métodos no pueden consultarla para producir su aproximación ni decidir cuándo detenerse.

02 · Antes del código

Requisitos y criterios de aceptación

Escribir requisitos evita adaptar el objetivo después de observar los resultados. La herramienta deberá:

1. aceptar un número finito S≥0;
2. implementar Newton y bisección de manera independiente;
3. registrar aproximación, cambio, residuo, cota y error de validación;
4. detenerse por tolerancia, estancamiento, fallo o máximo de iteraciones;
5. mostrar una tabla y un gráfico comparables;
6. distinguir una salida aceptada de una ejecución incompleta;
7. funcionar con objetivos menores y mayores que 1.

Adoptaremos una escala mixta para no exigir la misma distancia absoluta en todos los tamaños:

Para Newton exigiremos cambio pequeño y residuo escalado. Para bisección aceptaremos cuando la mitad del intervalo que encierra la raíz quede dentro del umbral. Son garantías diferentes y el informe debe conservar esa diferencia.

03 · Traducir el problema

La raíz como ecuación y como intervalo

Buscar √S equivale a encontrar un x≥0 que satisfaga:

Esta formulación proporciona el residuo |x²−S|. También permite construir un intervalo inicial:

Si S≥0, entonces a₀²≤S≤b₀². La raíz queda encerrada entre ambos extremos. Para S=0 podemos responder inmediatamente.

Las unidades merecen atención: si S representa un área en m², su raíz representa una longitud en m. El residuo está en m² y no debería compararse sin escala con una tolerancia expresada en m.

04 · Dos caminos complementarios

Newton y bisección

Comparar métodos no busca declarar un vencedor universal. Muestra que velocidad, robustez, costo y garantía son dimensiones diferentes.

05 · Separar responsabilidades

Arquitectura del experimento

Mezclar cálculo, dibujo y manipulación de controles dificulta probar el proyecto. Organizaremos el flujo en componentes:

Cada método devolverá un objeto con la misma forma:

{
  metodo: 'newton',
  ok: true,
  motivo: 'tolerancia',
  valor: 1.414213562373095,
  iteraciones: 5,
  traza: [
    { iteracion: 0, valor: 1, cambio: null, residuo: 1 },
    // ...
  ]
}

Una interfaz común permite comparar, tabular y graficar sin incorporar condiciones específicas del método en cada componente visual.

06 · Núcleo numérico

Implementar métodos que conserven evidencia

Newton registra cada candidato y aplica un criterio combinado:

function aproximarNewton(S, tolerancia, maxIteraciones) {
  if (S === 0) return resultadoExacto('newton', 0);

  let x = Math.max(1, S);
  const traza = [crearFila(0, x, null, S)];

  for (let n = 1; n <= maxIteraciones; n += 1) {
    const siguiente = (x + S / x) / 2;
    const cambio = Math.abs(siguiente - x);
    const residuo = Math.abs(siguiente * siguiente - S);
    traza.push(crearFila(n, siguiente, cambio, S));

    const pasoOk = cambio <= tolerancia * (1 + Math.abs(siguiente));
    const residuoOk = residuo <= tolerancia * (1 + S);
    if (pasoOk && residuoOk) {
      return completar('newton', true, 'tolerancia', traza);
    }
    if (Object.is(siguiente, x)) {
      return completar('newton', false, 'estancamiento', traza);
    }
    x = siguiente;
  }
  return completar('newton', false, 'max-iteraciones', traza);
}

En bisección, la evidencia principal es el intervalo:

function aproximarBiseccion(S, tolerancia, maxIteraciones) {
  let a = 0;
  let b = Math.max(1, S);
  const traza = [];

  for (let n = 0; n <= maxIteraciones; n += 1) {
    const medio = (a + b) / 2;
    const cota = (b - a) / 2;
    traza.push(crearFila(n, medio, n ? cota : null, S, cota));

    if (cota <= tolerancia * (1 + Math.abs(medio))) {
      return completar('biseccion', true, 'intervalo', traza);
    }
    if (n === maxIteraciones) break;
    if (medio * medio <= S) a = medio;
    else b = medio;
  }
  return completar('biseccion', false, 'max-iteraciones', traza);
}

07 · No reducir la calidad a un solo número

Medir cambio, residuo, cota y error

Cada fila de la traza puede contener varias medidas:

Cambio

|xₙ−xₙ₋₁|. Describe cuánto avanzó el método.

Residuo

|xₙ²−S|. Mide cuánto incumple la ecuación.

Cota

En bisección, (b−a)/2 limita el error del punto medio.

Error de validación

|xₙ−Math.sqrt(S)|. Evalúa el experimento sin guiar el método.

El error relativo de validación puede escribirse como:

Para S=0 se necesita una escala mínima o un tratamiento especial. Como la respuesta cero puede devolverse exactamente, el proyecto resuelve ese caso antes de iterar.

08 · Convertir la traza en explicación

Tabla para exactitud, gráfico para tendencia

La tabla permite inspeccionar valores concretos y el motivo de cada paso. El gráfico permite comparar velocidades y reconocer regímenes. Ninguno sustituye al otro.

Como el error puede pasar de unidades a 10⁻¹⁵, una escala vertical lineal comprimiría las últimas iteraciones. Usaremos el logaritmo decimal del error:

En esa escala, bajar una unidad vertical significa reducir el error aproximadamente diez veces. Una línea con descenso pronunciado indica una rápida ganancia de cifras correctas.

09 · Antes de confiar

Plan de pruebas y casos frontera

Las pruebas deben cubrir casos diseñados, no solamente valores aleatorios:

function verificarResultado(resultado, S, tolerancia) {
  if (!resultado.ok) return false;
  const residuo = Math.abs(resultado.valor ** 2 - S);
  return residuo <= tolerancia * (1 + S);
}

console.assert(verificarResultado(aproximarNewton(2, 1e-10, 50), 2, 1e-10));
console.assert(aproximarNewton(-1, 1e-10, 50).motivo === 'entrada-invalida');

10 · Proyecto en funcionamiento

Laboratorio: comparar aproximaciones

Modificá el objetivo, la tolerancia y el presupuesto. Podés observar un método o ambos. La referencia exacta se usa para dibujar el error, no para calcular las aproximaciones.

El eje vertical usa el logaritmo decimal del error absoluto validado. El piso representa errores cero o inferiores a la resolución mostrada.

Experimentos propuestos

1. Compará las pendientes de error de ambos métodos. ¿Cuál gana cifras correctas más rápido?
2. Reducí el máximo a 5. ¿Qué método alcanza la tolerancia 10⁻¹⁰ para S=2?
3. Probá objetivos menores que 1 y mayores que 50. ¿Cómo cambia la cantidad de iteraciones?
4. Llevá la tolerancia a 10⁻¹⁵. ¿Aparece estancamiento o un límite de precisión?

11 · Leer el resultado completo

Rapidez, garantía y costo

Para S=2, Newton suele alcanzar precisión cercana a la de Number en pocas iteraciones. Bisección necesita muchas más, pero cada paso reduce de manera garantizada el intervalo a la mitad.

Una comparación justa debe indicar:

• el mismo objetivo y tolerancia;
• qué criterio usa cada método;
• cantidad de iteraciones y evaluaciones;
• residuo final y, si existe, cota del error;
• estado de finalización y precisión numérica disponible.

Contar solo iteraciones también puede ser insuficiente: una iteración costosa puede realizar más evaluaciones que varias iteraciones simples. En este proyecto ambas operaciones son baratas, pero la arquitectura deja espacio para registrar tiempo o evaluaciones.

12 · El informe también es parte del programa

Guardar un resultado reproducible

El informe puede exportarse como un objeto JSON con entrada, configuración, salidas y metadatos:

function crearInforme({ S, tolerancia, maxIteraciones, resultados }) {
  return {
    proyecto: 'aproximacion-raiz-cuadrada',
    creadoEn: new Date().toISOString(),
    entrada: { S },
    configuracion: { tolerancia, maxIteraciones },
    resultados: resultados.map(resultado => ({
      metodo: resultado.metodo,
      ok: resultado.ok,
      motivo: resultado.motivo,
      valor: resultado.valor,
      iteraciones: resultado.iteraciones,
      residuo: Math.abs(resultado.valor ** 2 - S)
    }))
  };
}

const texto = JSON.stringify(informe, null, 2);

La fecha no basta para reproducir si el código cambia. En un proyecto real conviene agregar versión, identificador de revisión, entorno y cualquier configuración relevante. La traza completa puede guardarse separadamente si el informe resumido debe ser pequeño.

La accesibilidad también comunica: controles con etiquetas, resultados textuales además del color, descripción del gráfico y estados anunciados permiten que el experimento no dependa exclusivamente de la visión.

13 · Extender y comprobar

Desafíos de integración

Desafío 1: validar entradas

Definí qué debe hacer la API ante S=-1, NaN, tolerancia negativa o máximo de iteraciones no entero.

Desafío 2: estimar pasos de bisección

Si el intervalo inicial tiene ancho L, calculá cuántos pasos garantizan ancho no mayor que ε.

Desafío 3: método híbrido

Proponé una estrategia que combine la garantía de bisección con la rapidez de Newton.

Desafío 4: ampliar el experimento

Agregá una raíz cúbica o una ecuación general y determiná qué componentes pueden reutilizarse.

Desafío 5: evitar una prueba circular

Explicá por qué no debe usarse Math.sqrt(S) en la condición de parada del método.

14 · Cierre del recorrido

Del número aislado a una conclusión defendible