Razón de cambio promedio

01 · Punto de partida

No basta con saber cuánto cambió

Una descarga aumenta 600 MB. Ese dato describe el cambio de la cantidad recibida, pero no informa si ocurrió en diez segundos o en veinte minutos. Para caracterizar el proceso debemos relacionar el cambio de una cantidad con el cambio de otra.

Si los 600 MB se descargaron durante 30 segundos, el cociente 600 MB / 30 s = 20 MB/s expresa que, en promedio, se recibieron 20 megabytes por cada segundo del intervalo.

La razón de cambio promedio responde preguntas como:

• ¿Cuánto cambia una salida por cada unidad que cambia la entrada?
• ¿Qué intervalo estamos resumiendo?
• ¿Qué significa el signo del resultado?
• ¿Qué unidades debe tener el cociente?
• ¿El promedio representa todo el comportamiento o solo los extremos?

02 · Definición

El cociente entre dos incrementos

Sea y = f(x). Comparamos dos entradas distintas, x₀ y x₁, y sus salidas correspondientes. Definimos:

La razón de cambio promedio de f en el intervalo considerado es:

La palabra promedio indica que el cociente resume el cambio a lo largo de todo el intervalo. No afirma que la salida haya cambiado de manera uniforme en cada punto.

Condición indispensable

Las entradas deben ser distintas. Si x₁ = x₀, entonces Δx = 0 y el cociente exigiría dividir por cero. En ese caso, la razón promedio entre esos dos estados no está definida.

03 · Cálculo completo

Un ejemplo paso a paso

Una aplicación registra 1400 usuarios activos a las 9:00 y 1880 a las 13:00. Tomemos el tiempo en horas como entrada y los usuarios como salida:

1. 1
   Identificar estados.

   x₀ = 9 h, x₁ = 13 h, y₀ = 1400 usuarios, y₁ = 1880 usuarios.

2. 2
   Calcular cambios.

   Δx = 13 − 9 = 4 h y Δy = 1880 − 1400 = 480 usuarios.

3. 3
   Dividir.

   Δy / Δx = 480 / 4 = 120 usuarios/hora.

4. 4
   Interpretar.

   Entre las 9:00 y las 13:00, la cantidad aumentó en promedio 120 usuarios por hora.

No sabemos cuántos usuarios se incorporaron en cada hora individual. Pudieron sumarse 300 durante la primera hora y disminuir después. El resultado solo resume los extremos y la duración total.

04 · Significado del resultado

Las unidades se dividen

La unidad de la razón de cambio se obtiene dividiendo la unidad de la salida por la de la entrada:

Decir solamente que la razón vale 12 oculta su significado. 12 MB/s, 12 USD/GB y 12 °C/min describen procesos completamente diferentes.

05 · Dirección

Qué informa el signo de la razón

Si recorremos el intervalo desde una entrada menor hacia una mayor, Δx es positivo. Entonces el signo de la razón coincide con el cambio de la salida:

Una razón negativa no es necesariamente desfavorable. Si la salida es el tiempo de respuesta y la entrada es el número de optimizaciones aplicadas, una disminución puede ser el objetivo.

Invertir ambos extremos

Si intercambiamos x₀ con x₁, cambian de signo tanto Δx como Δy. El cociente permanece igual:

Esta propiedad diferencia la razón promedio del cambio relativo porcentual estudiado antes, cuya base cambia al invertir la comparación.

06 · Interpretación geométrica

Pendiente de la recta secante

En el gráfico de y = f(x), los puntos (x₀, f(x₀)) y (x₁, f(x₁)) determinan una recta. Esa recta se llama secante porque atraviesa el gráfico en los puntos seleccionados.

La pendiente de la secante es exactamente la razón de cambio promedio:

• Una pendiente positiva sube de izquierda a derecha.
• Una pendiente negativa baja de izquierda a derecha.
• Una pendiente cero corresponde a una secante horizontal.
• Cuanto mayor es la magnitud, más inclinada resulta la secante para una escala fija.

07 · Comportamiento de funciones

Razón constante y razón variable

En una función lineal f(x) = a + bx, la razón de cambio promedio es b para cualquier par de entradas distintas:

El parámetro a se cancela y todas las secantes tienen la misma pendiente. Por eso una relación lineal describe un cambio constante por unidad de entrada.

En una función no lineal, la razón depende del intervalo. Para f(x) = x²:

La entrada avanza una unidad en todos los casos, pero la salida cambia cada vez más. La razón promedio permite detectar que el crecimiento no es constante.

08 · Datos discretos

Calcular razones desde una tabla

No siempre conocemos una fórmula. Si disponemos de mediciones, podemos calcular razones promedio entre pares de filas. Consideremos:

Entre 0 y 2 minutos, la razón es (29 − 20)/(2 − 0) = 4.5 °C/min. Entre 5 y 9, es (42 − 38)/(9 − 5) = 1 °C/min. La temperatura sigue aumentando, pero lo hace más lentamente en el segundo intervalo.

function razonesConsecutivas(muestras) {
  const resultados = [];

  for (let i = 1; i < muestras.length; i += 1) {
    const anterior = muestras[i - 1];
    const actual = muestras[i];
    const cambioEntrada = actual.x - anterior.x;

    resultados.push({
      desde: anterior.x,
      hasta: actual.x,
      razon: cambioEntrada === 0
        ? null
        : (actual.y - anterior.y) / cambioEntrada
    });
  }
  return resultados;
}

const datos = [
  { x: 0, y: 20 },
  { x: 2, y: 29 },
  { x: 5, y: 38 },
  { x: 9, y: 42 }
];

console.table(razonesConsecutivas(datos));

09 · Límites de la información

El promedio no describe cada instante

Dos procesos pueden tener la misma razón promedio y comportarse de forma muy distinta. Dos vehículos recorren 120 km en 2 horas, así que ambos tienen velocidad promedio de 60 km/h. Uno puede mantener 60 km/h; el otro detenerse y luego circular a mayor velocidad.

La razón promedio utiliza únicamente cuatro valores: dos entradas y dos salidas. No registra:

• qué ocurrió entre los extremos;
• si la salida cambió uniformemente;
• si hubo máximos, mínimos u oscilaciones;
• cuál fue la razón de cambio en un instante particular.

Esta limitación no vuelve inútil al promedio. Lo convierte en un resumen que debemos interpretar según la pregunta. El estudio de intervalos cada vez más pequeños conducirá más adelante a la idea de derivada.

10 · Exploración

Laboratorio: mover una recta secante

Elegí una función y dos entradas. El gráfico mostrará los puntos extremos y la secante. Si las entradas coinciden, el laboratorio indicará que la razón promedio no está definida.

La curva dorada representa la función. Los puntos violeta y coral son los extremos del intervalo; la línea punteada es la secante cuya pendiente coincide con la razón promedio.

Preguntas para explorar

1. En el modelo lineal, mové ambos extremos. ¿La razón promedio cambia?
2. En el cuadrático, conservá intervalos de longitud 1 en distintas posiciones. ¿Qué patrón aparece?
3. En el oscilatorio, buscá un intervalo con razón positiva, otro con razón negativa y otro con razón cero.
4. Hacé coincidir x₀ con x₁. ¿Qué operación impide calcular la razón?

11 · Implementación segura

Calcular razones promedio en JavaScript

Una función general debe validar entradas finitas y representar el intervalo degenerado:

function razonCambioPromedio(funcion, xInicial, xFinal) {
  if (![xInicial, xFinal].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las entradas deben ser números finitos");
  }

  const cambioEntrada = xFinal - xInicial;
  if (cambioEntrada === 0) return null;

  const yInicial = funcion(xInicial);
  const yFinal = funcion(xFinal);

  return {
    cambioEntrada,
    cambioSalida: yFinal - yInicial,
    razon: (yFinal - yInicial) / cambioEntrada
  };
}

const cuadratica = x => x ** 2 / 2;
console.log(razonCambioPromedio(cuadratica, 1, 3));
console.log(razonCambioPromedio(cuadratica, 2, 2)); // null

No confundir promedio de razones con razón global

Si los intervalos tienen distinta longitud, promediar sus razones sin ponderar puede producir un resultado incorrecto. La razón global debe calcularse con los cambios totales:

const tramos = [
  { cambioX: 1, cambioY: 10 },
  { cambioX: 9, cambioY: 18 }
];

const cambioXTotal = tramos.reduce((suma, tramo) => suma + tramo.cambioX, 0);
const cambioYTotal = tramos.reduce((suma, tramo) => suma + tramo.cambioY, 0);
const razonGlobal = cambioYTotal / cambioXTotal;

console.log(razonGlobal); // 2.8, no (10 + 2) / 2 = 6

El primer tramo tiene razón 10 y el segundo 2, pero el segundo abarca nueve veces más entrada. La razón global pondera naturalmente cada tramo mediante su cambio de entrada.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: interpretar una razón

El tamaño de un archivo procesado pasa de 250 MB a 730 MB entre los segundos 8 y 20.

1. Calculá Δt y Δs.
2. Calculá la razón promedio con unidades.
3. Escribí una interpretación completa.

Ejercicio 2: función no lineal

Para f(x)=x²−2x, calculá la razón promedio en los intervalos [0,2], [2,4] y [0,4]. Compará los resultados.

Ejercicio 3: datos con intervalos desiguales

Un sensor registra (0 min, 12 °C), (3 min, 24 °C) y (10 min, 31 °C). Calculá las razones de ambos tramos y la razón global. Explicá por qué el promedio simple de las dos razones parciales no coincide con la global.

const puntos = [
  { minuto: 0, temperatura: 12 },
  { minuto: 3, temperatura: 24 },
  { minuto: 10, temperatura: 31 }
];

function razonEntre(a, b) {
  return (b.temperatura - a.temperatura) / (b.minuto - a.minuto);
}

console.log(razonEntre(puntos[0], puntos[1])); // 4
console.log(razonEntre(puntos[1], puntos[2])); // 1
console.log(razonEntre(puntos[0], puntos[2])); // 1.9

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos procesos continuos y pasos discretos: cómo una computadora aproxima evoluciones continuas mediante una sucesión finita de actualizaciones.