Entorno de un punto

01 · Punto de partida

“Cerca” necesita una medida

Un sensor informa 19.98 °C cuando esperábamos 20 °C. Una aproximación produce 3.1416 en lugar de π. Un objeto de una animación debería llegar a la posición 500, pero queda en 499.999. En todos estos casos podemos decir que los valores están cerca, aunque esa palabra por sí sola no establece un criterio verificable.

Para convertir la proximidad en una condición matemática debemos indicar:

• ¿cerca de qué punto estamos midiendo?
• ¿qué distancia separa ambos valores?
• ¿cuál es la distancia máxima permitida?
• ¿el borde de la región está incluido?
• ¿nos interesa incluir o excluir el punto central?

02 · Medir separación

Distancia entre números reales

Sobre la recta real, la distancia entre x y a es el valor absoluto de su diferencia:

El valor absoluto elimina el signo porque una distancia no depende de la dirección. Los puntos 7 y 3 están ambos a distancia 2 del centro 5:

Esta definición cumple propiedades intuitivas:

• |x−a| ≥ 0: una distancia nunca es negativa;
• |x−a| = 0 solamente cuando x=a;
• |x−a| = |a−x|: medir de x a a da lo mismo que medir al revés;
• cuanto menor es |x−a|, más cerca está x de a.

function distancia(x, centro) {
  return Math.abs(x - centro);
}

console.log(distancia(7, 5)); // 2
console.log(distancia(3, 5)); // 2
console.log(distancia(5, 5)); // 0

03 · Definición

Centro, radio y entorno

Elegimos un número real a, llamado centro, y un número positivo ε, llamado radio. La letra griega epsilon se usa habitualmente para representar una distancia positiva que puede ser pequeña.

La expresión se lee: “el entorno de centro a y radio ε es el conjunto de reales x cuya distancia a a es menor que ε”.

Por ejemplo, para a=4 y ε=1.5:

Pertenecen 4, 3, 5 y 5.49. No pertenecen 2.5 ni 5.5 porque están exactamente a distancia 1.5, y la desigualdad es estricta.

04 · Tres escrituras equivalentes

Del valor absoluto al intervalo

La condición de distancia puede transformarse paso a paso:

Por lo tanto, un entorno es un intervalo abierto centrado en a:

Las tres expresiones describen exactamente el mismo conjunto. Elegimos una u otra según lo que queramos calcular o comunicar.

05 · Geometría del entorno

Radio no es lo mismo que longitud

El radio ε mide desde el centro hasta cualquiera de los extremos. La longitud total del intervalo es el doble:

Para E(10,3)=(7,13), el radio es 3 y la longitud es 6. El centro puede recuperarse promediando los extremos, y el radio tomando la mitad de la longitud:

Un intervalo abierto cualquiera (p,q), con p<q, puede verse como un entorno: su centro es (p+q)/2 y su radio es (q−p)/2.

06 · Grados de proximidad

Entornos grandes y pequeños

Al conservar el centro y cambiar el radio obtenemos regiones anidadas. Para un centro a=2:

Si 0<ε₁<ε₂, entonces E(a,ε₁) está contenido en E(a,ε₂). Todo punto suficientemente cercano para el criterio más exigente también satisface el más amplio.

07 · Cerca, pero no en el centro

Entorno reducido o perforado

En algunos razonamientos interesa estudiar qué ocurre alrededor de a sin usar el propio punto a. El entorno reducido elimina el centro:

La primera desigualdad, 0<|x−a|, asegura que x≠a. La segunda mantiene a x dentro del radio elegido.

Por ejemplo:

2.9 y 3.1 pertenecen; 3 no. Esta distinción será esencial al estudiar límites: podremos analizar valores de una función tan cerca como queramos de un punto incluso si la función no está definida allí o posee un valor diferente.

08 · Elegir una dirección

Entornos laterales

A veces queremos observar únicamente valores a un lado del centro. Los entornos laterales separan las dos direcciones:

Ambos excluyen el centro. Su unión forma el entorno reducido completo. Esta mirada direccional permite distinguir comportamientos diferentes a izquierda y derecha.

Imaginemos el costo de envío C(p) según el peso p, con una tarifa que cambia al llegar a 1 kg. Los pesos cercanos pero menores que 1 pueden tener un costo, y los cercanos pero mayores, otro. Mirar ambos lados por separado revela el salto.

09 · Proximidad computacional

Comparar con una tolerancia

Los cálculos de punto flotante pueden producir resultados muy próximos pero no idénticos. En JavaScript, por ejemplo, 0.1+0.2 no es exactamente igual a 0.3. Una comparación con tolerancia pregunta si la distancia es suficientemente pequeña:

function aproximadamenteIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  if (![a, b, tolerancia].every(Number.isFinite)) return false;
  if (tolerancia <= 0) {
    throw new RangeError("La tolerancia debe ser positiva");
  }
  return Math.abs(a - b) < tolerancia;
}

console.log(0.1 + 0.2 === 0.3); // false
console.log(aproximadamenteIguales(0.1 + 0.2, 0.3)); // true

La condición afirma que a pertenece a un entorno de centro b y radio igual a la tolerancia. No declara que los números sean iguales.

Tolerancia absoluta y escala

Una tolerancia absoluta fija puede ser adecuada cerca de cero, pero insuficiente al comparar números de escalas muy distintas. Una estrategia combina tolerancia absoluta y relativa:

function casiIguales(a, b, absoluta = 1e-12, relativa = 1e-9) {
  const distancia = Math.abs(a - b);
  const escala = Math.max(Math.abs(a), Math.abs(b));
  return distancia <= Math.max(absoluta, relativa * escala);
}

console.log(casiIguales(1_000_000, 1_000_000.0001));

La tolerancia correcta depende del problema y de las unidades. No debe elegirse solo para conseguir que una prueba pase.

10 · Exploración

Laboratorio: centro, radio y distancia

Mové el centro, el radio y el punto de prueba. También podés perforar el entorno para excluir el centro y comprobar cómo una sola condición cambia la pertenencia.

La banda violeta representa la región del entorno, el círculo dorado señala el centro y el rombo coral muestra el punto evaluado. Los extremos abiertos no pertenecen.

Preguntas para explorar

1. Colocá el punto exactamente a una distancia igual al radio. ¿Pertenece?
2. Reducí el radio sin mover el centro ni el punto. ¿En qué momento deja de pertenecer?
3. Ubicá el punto en el centro y alterná entre entorno común y reducido.
4. Compará los entornos laterales usando puntos a igual distancia, uno a cada lado.

11 · Implementación general

Representar distintos entornos en JavaScript

Una función puede centralizar las validaciones y expresar cada tipo mediante condiciones explícitas:

function perteneceAlEntorno(x, centro, radio, tipo = "comun") {
  if (![x, centro, radio].every(Number.isFinite)) return false;
  if (radio <= 0) throw new RangeError("El radio debe ser positivo");

  const diferencia = x - centro;
  const distancia = Math.abs(diferencia);

  switch (tipo) {
    case "comun":
      return distancia < radio;
    case "reducido":
      return distancia > 0 && distancia < radio;
    case "izquierdo":
      return diferencia < 0 && diferencia > -radio;
    case "derecho":
      return diferencia > 0 && diferencia < radio;
    default:
      throw new RangeError("Tipo de entorno desconocido");
  }
}

console.log(perteneceAlEntorno(4, 2, 3)); // true
console.log(perteneceAlEntorno(2, 2, 3, "reducido")); // false
console.log(perteneceAlEntorno(1, 2, 3, "izquierdo")); // true

Calcular primero diferencia y distancia vuelve visible qué información usa cada caso: la distancia ignora la dirección; el signo de la diferencia permite distinguir izquierda y derecha.

Comprobar puntos de borde

Una prueba completa no debería limitarse a un valor interior. Para E(2,3)=(−1,5) conviene probar:

• el centro: 2;
• un punto interior a cada lado: 0 y 4;
• los extremos exactos: −1 y 5;
• puntos apenas interiores y exteriores.

Los casos de borde revelan rápidamente si usamos < o <= de forma incorrecta.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir un entorno

Escribí E(−2,0.5) como desigualdad de valor absoluto, desigualdad doble e intervalo. Determiná si pertenecen −2, −1.5 y −2.49.

Ejercicio 2: recuperar centro y radio

Expresá el intervalo (3,11) como un entorno E(a,ε).

Ejercicio 3: entorno reducido

Enumerá cuáles de los valores 3, 3.001, 2.2 y 4 pertenecen a E*(3,1).

Ejercicio 4: tolerancia en código

Escribí una función que indique si una medición está dentro de una tolerancia abierta alrededor del valor esperado. Probala con esperado 100, tolerancia 0.5 y mediciones 99.5, 99.51, 100 y 100.5.

function dentroDeTolerancia(medicion, esperado, tolerancia) {
  return Number.isFinite(medicion)
    && Number.isFinite(esperado)
    && Number.isFinite(tolerancia)
    && tolerancia > 0
    && Math.abs(medicion - esperado) < tolerancia;
}

[99.5, 99.51, 100, 100.5].forEach(medicion => {
  console.log(medicion, dentroDeTolerancia(medicion, 100, 0.5));
});

// false, true, true, false

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema exploraremos la idea de acercarse sin necesariamente llegar: construiremos sucesiones de valores cada vez más próximos y separaremos el proceso de aproximación del hecho de alcanzar el punto.