Límites mediante tablas y gráficos

01 · Dos representaciones

Dos ventanas hacia el mismo comportamiento

En el tema anterior vimos que un límite describe qué sucede con f(x) cuando x se acerca a un punto. Ahora necesitamos herramientas para observar ese proceso. Una tabla muestra valores concretos; un gráfico permite ver la forma general y lo que ocurre alrededor del punto.

Ninguna representación es infalible. Una tabla contiene una cantidad finita de muestras y un gráfico depende de la escala, la resolución y el algoritmo que lo dibuja. Utilizadas juntas, permiten formular una conjetura razonable y detectar errores que podrían pasar inadvertidos al usar una sola.

02 · Muestreo

Cómo construir una tabla de aproximación

Para explorar el comportamiento cerca de x = a, elegimos distancias positivas h cada vez menores y evaluamos en dos puntos:

Este procedimiento genera valores a la misma distancia de a, uno a cada lado. Por ejemplo, para estudiar f(x) = (x² − 4)/(x − 2) cerca de a = 2:

Los resultados del lado izquierdo aumentan hacia 4 y los del lado derecho disminuyen hacia 4. Aunque la expresión no se puede evaluar en x = 2, la tabla sugiere una tendencia común.

03 · Diseño de la exploración

Elegir muestras que aporten información

Una tabla útil no consiste en acumular números al azar. Las entradas deben acercarse sistemáticamente al punto y permitir comparar los dos lados.

1. 1
   Identificar el punto.

   Determinar el valor a alrededor del cual queremos observar la función.

2. 2
   Elegir distancias decrecientes.

   Usar, por ejemplo, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001.

3. 3
   Muestrear ambos lados.

   Calcular a − h y a + h para cada distancia.

4. 4
   Conservar suficiente precisión.

   No redondear prematuramente los cálculos internos.

5. 5
   Buscar estabilidad.

   Comprobar si ambos grupos de salidas parecen acercarse a un mismo valor.

Reducir h por un factor constante, como 10, permite comparar niveles de aproximación. Esta progresión se denomina geométrica: cada distancia es una décima parte de la anterior.

04 · Interpretación numérica

Qué debemos buscar en una tabla

Una tendencia no significa que todas las cifras sean idénticas. Significa que, al disminuir la distancia de entrada, los resultados se estabilizan alrededor de un valor.

Acuerdo entre lados

Las salidas de la izquierda y de la derecha se aproximan al mismo número.

Error decreciente

La distancia entre cada salida y el valor propuesto se hace menor.

Crecimiento persistente

Los valores aumentan en magnitud sin estabilizarse en un número finito.

Oscilación persistente

Los resultados cambian repetidamente sin concentrarse alrededor de un único valor.

También conviene comparar la diferencia entre los dos lados. Si para la misma distancia h obtenemos valores muy separados y esa separación no disminuye, no hay evidencia de una tendencia común.

Esta diferencia es una herramienta exploratoria. Que sea pequeña para algunas muestras no constituye una prueba, pero ayuda a evaluar la estabilidad del patrón observado.

05 · Interpretación visual

Cómo leer un límite en un gráfico

Para explorar gráficamente el comportamiento cerca de x = a, imaginamos un punto que recorre la curva desde la izquierda y otro que lo hace desde la derecha. Observamos hacia qué altura se dirigen al acercarse a la línea vertical x = a.

Si las dos ramas se aproximan a la misma altura L, el gráfico sugiere un límite. La existencia de un punto lleno, un círculo vacío o ningún punto exactamente sobre x = a no cambia por sí sola esa tendencia cercana.

Círculos abiertos y puntos llenos

• Un círculo abierto suele representar un punto que no pertenece al gráfico, aunque la curva se aproxime a él.
• Un punto lleno representa el valor que la función toma exactamente en esa entrada.
• Si aparecen ambos en la misma vertical, el círculo abierto puede sugerir el límite y el punto lleno indica f(a).

06 · Ventana de observación

La escala puede revelar u ocultar información

Un gráfico es una ventana finita. Sus límites horizontales y verticales, el tamaño de los píxeles y la cantidad de muestras influyen en lo que vemos. Una discontinuidad pequeña puede parecer una curva continua en una escala amplia; una oscilación rápida puede convertirse en una mancha o desaparecer.

Hacer zoom no significa simplemente agrandar una imagen. Un buen programa vuelve a calcular muestras dentro de una ventana más pequeña para obtener nueva información.

07 · Patrones visuales

Cuatro comportamientos que conviene reconocer

Existe además el comportamiento oscilatorio: la función cambia repetidamente entre distintos valores, aun muy cerca del punto. Estos patrones se estudiarán formalmente en temas posteriores; aquí nos interesa aprender a distinguirlos en datos y gráficos.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar tabla y gráfico

Seleccioná un comportamiento y modificá el nivel de acercamiento. La tabla utiliza distancias sucesivamente menores; el gráfico ajusta su ventana alrededor del punto.

El gráfico muestra la función dentro de una ventana que se reduce alrededor del punto estudiado. Los puntos violeta y coral corresponden a las últimas muestras de la tabla.

Preguntas para explorar

1. En el modelo con hueco, ¿qué permanece estable al aumentar el acercamiento?
2. En el salto, ¿qué diferencia aparece entre las columnas izquierda y derecha?
3. En el crecimiento sin cota, ¿las salidas se estabilizan o aumentan?
4. En la oscilación, ¿por qué unas pocas filas pueden dar una impresión distinta al gráfico?

09 · Implementación

Generar una tabla de aproximación con JavaScript

Conviene separar el cálculo de las muestras de su presentación. La siguiente función devuelve datos que después pueden mostrarse en una tabla, un gráfico o una prueba automatizada:

function crearAproximaciones(funcion, a, niveles = 5) {
  const filas = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    const xIzquierda = a - h;
    const xDerecha = a + h;

    filas.push({
      h,
      xIzquierda,
      yIzquierda: funcion(xIzquierda),
      xDerecha,
      yDerecha: funcion(xDerecha)
    });
  }

  return filas;
}

const f = x => (x ** 2 - 4) / (x - 2);
console.log(crearAproximaciones(f, 2));

Formatear sin alterar los cálculos

El redondeo debería aplicarse al mostrar los resultados, no mientras se calculan. Así conservamos la precisión interna:

function mostrarNumero(valor, decimales = 8) {
  if (!Number.isFinite(valor)) return String(valor);
  return valor.toLocaleString("es-AR", {
    maximumFractionDigits: decimales
  });
}

const valorCalculado = 3.9999999997;
console.log("Cálculo interno:", valorCalculado);
console.log("Valor mostrado:", mostrarNumero(valorCalculado, 6));

Detectar resultados no finitos

Una tabla puede contener Infinity o NaN. No conviene ocultarlos: informan que la expresión creció fuera del rango representable o produjo una operación inválida.

function clasificarResultado(valor) {
  if (Number.isNaN(valor)) return "operación inválida";
  if (valor === Infinity) return "crecimiento positivo sin cota";
  if (valor === -Infinity) return "crecimiento negativo sin cota";
  return "valor finito";
}

console.log(clasificarResultado(1 / 0));
console.log(clasificarResultado(0 / 0));
console.log(clasificarResultado(3.99));

10 · Lectura crítica

Errores frecuentes con tablas y gráficos

11 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: leer una tabla

Una función produce los siguientes valores cerca de x = 5:

¿Qué límite sugiere la tabla? ¿Qué dato adicional pedirías antes de confiar más en esa conjetura?

Ejercicio 2: detectar un salto

Al acercarnos a x = 0, las salidas del lado izquierdo se aproximan a −2 y las del lado derecho a 3. ¿Qué mostrarían la tabla y el gráfico?

Ejercicio 3: programar las muestras

Usá crearAproximaciones para explorar f(x) = (x² − 9)/(x − 3) alrededor de a = 3. ¿Qué valor sugieren los resultados?

function crearAproximaciones(funcion, a, niveles = 5) {
  const filas = [];
  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    filas.push({
      h,
      izquierda: funcion(a - h),
      derecha: funcion(a + h)
    });
  }
  return filas;
}

const f = x => (x ** 2 - 9) / (x - 3);
console.log(crearAproximaciones(f, 3));

Ejercicio 4: cuestionar un gráfico

Un gráfico muestra una línea aparentemente continua cerca de x = 1. Escribí tres comprobaciones que realizarías antes de concluir que existe un límite allí.

12 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema precisaremos el lenguaje utilizado hasta ahora: estudiaremos la notación y el significado del límite, sus componentes y su correcta lectura.