Propiedades y teoremas de continuidad

01 · Por qué importan

Demostrar sin revisar cada punto

Las propiedades de continuidad permiten deducir el comportamiento de funciones complejas a partir de componentes conocidos. Los teoremas, por su parte, convierten la continuidad en garantías de existencia.

En lugar de calcular un límite desde cero en cada punto, podemos razonar:

Y sobre un intervalo cerrado podemos obtener conclusiones globales:

• la función alcanza todos los niveles intermedios;
• un cambio de signo garantiza al menos una raíz;
• la función alcanza un mínimo y un máximo absolutos.

02 · Propiedades algebraicas

Sumar, restar y multiplicar conserva continuidad

Si f y g son continuas en a, también lo son:

Esto se deduce de las propiedades de los límites. Por ejemplo:

Como las funciones constantes y la identidad x son continuas, estas propiedades permiten construir todos los polinomios mediante sumas y productos.

Ejemplo:

es continua en todo ℝ sin necesidad de verificar punto por punto.

03 · Cocientes

Dividir conserva continuidad si el denominador no se anula

Si f y g son continuas en a y g(a) ≠ 0, entonces:

Para afirmar continuidad en todo un intervalo, necesitamos que g(x) ≠ 0 en cada punto del intervalo.

Así, la función:

es continua en (−∞, 3) y (3, +∞), pero no en un intervalo que incluya 3.

04 · Composición

Una función continua dentro de otra

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la composición:

es continua en a. La condición sobre g(a) asegura que la salida de la función interior cae en una región válida para la función exterior.

Ejemplo:

El polinomio interior x² + 4 es continuo y siempre positivo. La raíz cuadrada es continua para argumentos no negativos. Por tanto, h es continua en todo ℝ.

En cambio, ln(1 − x²) solo está definida y es continua cuando 1 − x² > 0, es decir, en (−1, 1).

05 · Construcción por propiedades

Reconocer expresiones continuas

Las propiedades indican dónde la continuidad se conserva; las restricciones de dominio indican dónde podemos aplicarlas.

06 · Teorema del Valor Intermedio

Una función continua no puede saltear alturas

Si f es continua en [a, b] y N está entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un c ∈ [a, b] tal que:

Si N está estrictamente entre los valores de los extremos, el punto c pertenece a (a, b).

Ejemplo: f(x) = x³ es continua en [1, 2]. Como f(1) = 1 y f(2) = 8, la función debe tomar todos los valores comprendidos entre 1 y 8, incluido 5.

El teorema garantiza existencia, pero no afirma que el punto sea único ni proporciona automáticamente un método para calcularlo.

07 · Teorema de Bolzano

Un cambio de signo garantiza una raíz

Bolzano es el caso del Valor Intermedio en el que el nivel buscado es N = 0.

Si f es continua en [a, b] y:

entonces existe al menos un c ∈ (a, b) con:

Por ejemplo, para f(x) = x³ − x − 2:

Como el polinomio es continuo y cambia de signo, existe al menos una raíz entre 1 y 2.

08 · Teorema de los Valores Extremos

En un intervalo cerrado se alcanzan mínimo y máximo

Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existen puntos c y d en ese intervalo tales que:

Es decir, la función alcanza un mínimo absoluto y un máximo absoluto.

Para f(x) = x² en [−2, 3]:

• el mínimo absoluto es 0 y se alcanza en x = 0;
• el máximo absoluto es 9 y se alcanza en x = 3.

El teorema asegura existencia. Encontrar los puntos concretos puede requerir herramientas adicionales en problemas más complejos.

09 · Hipótesis esenciales

Qué puede fallar si quitamos una condición

Para aplicar un teorema debemos nombrar explícitamente la función, el intervalo y cada hipótesis comprobada.

10 · Razonamiento correcto

Distinguir existencia, unicidad y cálculo

Los teoremas estudiados formulan garantías de existencia:

• Valor Intermedio: existe al menos un punto que alcanza el nivel;
• Bolzano: existe al menos una raíz;
• Valores Extremos: existen puntos donde se alcanzan mínimo y máximo.

No garantizan por sí solos:

• que el punto sea único;
• que podamos escribirlo con una fórmula elemental;
• que una cantidad finita de muestras vaya a encontrarlo;
• que una aproximación obtenida sea exacta.

Separar estas afirmaciones evita prometer más de lo que las hipótesis permiten concluir.

11 · Aplicación computacional

Los teoremas funcionan como certificados

En software, una comprobación de hipótesis puede producir un certificado lógico:

• «la función se declaró continua en [a, b]»;
• «los valores extremos del intervalo tienen signos opuestos»;
• «por Bolzano, existe al menos una raíz interior».

Ese certificado no localiza la raíz. Solo garantiza que cualquier procedimiento de búsqueda compatible parte de un intervalo que contiene al menos una solución.

La continuidad tampoco puede inferirse probando miles de entradas. Debe derivarse de la estructura de la función o establecerse como una precondición documentada.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: buscar un nivel intermedio

Elegí una función y mové el nivel N. Los modelos continuos garantizan un punto testigo cuando el nivel está entre los valores de los extremos. Los contraejemplos muestran por qué la continuidad es indispensable.

La línea horizontal marca el nivel elegido. En los modelos válidos, el punto destacado muestra una entrada que alcanza ese nivel.

Preguntas para explorar

1. ¿Puede un nivel tener más de un punto testigo?
2. ¿Qué caso continuo no es uno a uno?
3. ¿Por qué el salto cambia de signo sin tomar el valor cero?
4. ¿Qué hipótesis falla para 1/x en [−1, 1]?

13 · Implementación

Componer funciones

function componer(exterior, interior) {
  return x => exterior(interior(x));
}

const cuadradoMasCuatro = x => x ** 2 + 4;
const raiz = Math.sqrt;
const f = componer(raiz, cuadradoMasCuatro);

console.log(f(3)); // √13

Construir un certificado de Bolzano

function certificarBolzano({ funcion, a, b, continuaEnIntervalo }) {
  const fa = funcion(a);
  const fb = funcion(b);
  const cambiaDeSigno = fa * fb < 0;

  return {
    intervalo: [a, b],
    fa,
    fb,
    garantizadaRaiz: continuaEnIntervalo && cambiaDeSigno
  };
}

const polinomio = x => x ** 3 - x - 2;
console.log(certificarBolzano({
  funcion: polinomio,
  a: 1,
  b: 2,
  continuaEnIntervalo: true
}));

Distinguir garantía de localización

const informe = {
  teorema: "Valor Intermedio",
  hipotesisVerificadas: true,
  nivelBuscado: 5,
  existeTestigo: true,
  testigoCalculado: false
};

console.log(informe);

El campo continuaEnIntervalo representa una precondición justificada matemáticamente; no debe establecerse en true solo porque algunas muestras parezcan correctas.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: operaciones

Justificá que f(x) = eˣ + x² sen(x) es continua en todo ℝ.

Ejercicio 2: composición y dominio

Determiná dónde es continua √(x + 3).

Ejercicio 3: valor intermedio

Explicá por qué x³ + x toma el valor 10 en algún punto de [2, 3].

Ejercicio 4: Bolzano

Demostrá que x³ + x − 1 = 0 tiene al menos una solución en (0, 1).

Ejercicio 5: valores extremos

¿Qué garantiza el Teorema de los Valores Extremos para cos(x) en [0, 4]?

Ejercicio 6: pensar como programador

Explicá el error en el siguiente «certificado»:

const f = x => x < 0 ? -1 : 1;
const a = -1;
const b = 1;

console.log({
  cambiaDeSigno: f(a) * f(b) < 0,
  raizGarantizada: true
});

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cerraremos el curso con la aproximación numérica de límites mediante JavaScript.