Introducción a las sucesiones

01 · Punto de partida

Cuando el orden de los valores importa

Un programa registra los usuarios activos al finalizar cada día, calcula una aproximación mejor en cada iteración o mide cuánto tarda una función al aumentar el tamaño de la entrada. En todos estos casos obtenemos valores asociados a posiciones sucesivas:

La posición contiene información. El primer valor puede representar el estado inicial; el segundo, el resultado después de una actualización; el tercero, después de dos. Si intercambiamos dos valores, ya no describimos el mismo proceso. Esta es la idea que distingue a una sucesión de una colección sin orden.

Estudiar sucesiones permite responder preguntas fundamentales:

• ¿Cómo se obtiene el término que ocupa una posición determinada?
• ¿Qué patrón relaciona un término con los anteriores?
• ¿Los valores aumentan, disminuyen u oscilan?
• ¿Se acercan a un valor o crecen sin límite?
• ¿Cuántos términos debe calcular un programa para lograr cierta precisión?

02 · Definición

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión real es una función cuyo dominio son los números naturales —o una parte infinita de ellos— y cuyos valores son números reales. Si usamos índices desde 1, escribimos:

Para cada índice natural n, la función produce un único número aₙ. La letra a nombra la sucesión, n es el índice y aₙ es el término situado en esa posición.

Por ejemplo, aₙ = 2n + 1, con n ≥ 1, produce:

Algunos textos escriben {aₙ}, aunque las llaves también se utilizan para conjuntos. Siempre debemos interpretar la notación según el contexto.

03 · Anatomía de una sucesión

Índice, término y valor

En a₅ = 11, el número 5 identifica una posición y 11 es el valor asociado. Confundirlos es parecido a confundir el índice de un arreglo con el elemento que se encuentra allí.

¿La numeración comienza en 0 o en 1?

No existe una única convención obligatoria. En análisis suele comenzarse con n = 1; en programación es común numerar desde 0. Ambas opciones son válidas si se declaran, pero cambian la fórmula y la correspondencia entre posiciones.

04 · Distinciones necesarias

Sucesión, conjunto, arreglo y función

Estos conceptos se relacionan, pero no son equivalentes. Separarlos evita trasladar propiedades de una estructura a otra sin justificación.

Las sucesiones (1, 2, 1, 2, …) y (2, 1, 2, 1, …) tienen los mismos valores posibles, pero no son iguales: no coinciden posición por posición. Ambas determinan el conjunto {1, 2}.

Un arreglo puede guardar una porción finita, por ejemplo los primeros mil términos. La sucesión matemática no queda limitada a ellos: la regla permite continuar para cualquier índice admitido.

05 · Formas de representación

Una misma sucesión, varias miradas

Cada representación revela información distinta y ninguna reemplaza siempre a las demás.

También podemos describirla verbalmente o mediante un algoritmo: «el término n es la cantidad de comparaciones que realiza un algoritmo con una entrada de tamaño n». Aunque no haya fórmula simple, la sucesión está bien definida si cada índice determina un único valor.

En un gráfico los puntos están separados porque el índice recorre naturales. Unirlos puede ayudar a percibir una tendencia, pero los puntos intermedios no son términos.

06 · Primeros ejemplos

Familias que conviene reconocer

Los puntos suspensivos no son una definición. 1, 2, 4, … podría continuar con 8, con 7 o de muchas otras formas. Una regla debe permitir decidir sin ambigüedad cuál es cada término.

07 · Implementación

Generar términos con JavaScript

Una función representa la regla y otra materializa un prefijo finito. Separar responsabilidades vuelve reutilizable el código.

function generarTerminos(regla, cantidad, indiceInicial = 1) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 0) {
    throw new Error("La cantidad debe ser un entero no negativo");
  }
  return Array.from(
    { length: cantidad },
    (_, posicion) => regla(indiceInicial + posicion)
  );
}

const imparMayorQueUno = n => 2 * n + 1;
const reciproca = n => 1 / n;
console.log(generarTerminos(imparMayorQueUno, 6));
console.log(generarTerminos(reciproca, 5));

posicion comienza en 0 porque así funcionan los arreglos, mientras el índice matemático comienza en 1. La suma hace explícita la traducción.

Consultar sin generar términos anteriores

function terminoAritmetico(primero, diferencia, n) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) {
    throw new Error("n debe ser un entero mayor o igual que 1");
  }
  return primero + (n - 1) * diferencia;
}

console.log(terminoAritmetico(3, 2, 1));   // 3
console.log(terminoAritmetico(3, 2, 100)); // 201

Una sucesión potencialmente infinita

Un generador produce términos bajo demanda. Nunca almacena infinitos valores: conserva estado y calcula el próximo cuando se solicita.

function* naturales() {
  let n = 1;
  while (true) {
    yield n;
    n += 1;
  }
}

const generador = naturales();
console.log(generador.next().value); // 1
console.log(generador.next().value); // 2
console.log(generador.next().value); // 3

08 · Exploración visual

Laboratorio: índices y términos

Elegí una regla y cuántos términos observar. Cada punto representa (n, aₙ). No se unen porque la sucesión solo está definida en los índices naturales.

Las líneas verticales relacionan cada punto con su índice; no representan valores intermedios.

Preguntas para explorar

1. En la recíproca, aumentá los términos. ¿Qué cambia y qué permanece?
2. En la aritmética, compará los incrementos de índices y términos.
3. En la geométrica, ¿qué factor relaciona términos consecutivos?
4. En la alternante, ¿por qué observar solo valores distintos pierde información?

09 · Conexión con programación

¿Dónde aparecen las sucesiones?

La sucesión registra evolución por pasos, pero no explica por sí sola sus causas. Para interpretar un término necesitamos regla, unidades, índice inicial y supuestos.

Ejemplo: error iterativo

Si un procedimiento comienza con error 8 y lo reduce a la mitad en cada iteración, numerando desde 0:

Los términos son 8, 4, 2, 1, 0.5, …. Más adelante formalizaremos si converge, su límite y cuántas iteraciones garantizan una tolerancia.

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: leer una fórmula

Sea aₙ = n² − 1, n ≥ 1.

1. Calculá los cinco primeros términos.
2. ¿Cuál es el índice del término 24?
3. ¿Por qué n = 3.5 no identifica un término?

Ejercicio 2: distinguir estructuras

Considerá a=(1,2,1,2,…) y b=(2,1,2,1,…). ¿Son iguales? ¿Forman el mismo conjunto? Escribí fórmulas con n ≥ 1.

Ejercicio 3: índices y arreglos

const terminos = Array.from({ length: 5 }, (_, n) => 1 / n);
console.log(terminos);

¿Qué falla en el primer elemento? Corregilo para obtener los primeros cinco términos de 1/n.

const terminos = Array.from(
  { length: 5 },
  (_, posicion) => 1 / (posicion + 1)
);
console.log(terminos);

Ejercicio 4: modelar

Una aplicación comienza con 1200 usuarios y conserva cada mes el 90 % del mes anterior. Definí el índice, escribí cuatro términos desde n=0 y programá una función.

function usuariosActivos(n) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 0) throw new Error("Índice inválido");
  return 1200 * 0.9 ** n;
}
for (let n = 0; n < 4; n += 1) console.log(usuariosActivos(n));

12 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos cómo definir una sucesión: fórmulas explícitas, reglas recursivas y descripciones algorítmicas.