Aproximación de sumas infinitas

01 · De la teoría al cálculo

Converger no indica cuándo detenerse

Decir que ∑aₙ converge asegura que sus sumas parciales se acercan a un número S. Un programa, sin embargo, solo puede efectuar una cantidad finita de operaciones y debe elegir algún índice N.

La pregunta computacional no es únicamente «¿converge?», sino también:

• ¿Qué tan cerca está Sₙ de S?
• ¿Cuántos términos garantizan un error menor que ε?
• ¿La cota se conoce antes del cálculo o se actualiza durante él?
• ¿Qué significa pedir cierta cantidad de cifras decimales?
• ¿Cuándo un criterio de parada aparente puede fallar?

02 · Lenguaje del error

Suma parcial y resto

Para una serie convergente que comienza en n=1, definimos:

Sₙ es el valor calculado y Rₙ es el error exacto de truncamiento. Normalmente no conocemos Rₙ, pues conocerlo equivaldría a conocer S, pero buscamos una función explícita B(N) tal que:

Entonces elegir N con B(N)≤ε garantiza |S−Sₙ|≤ε.

03 · Dos fuentes distintas

Truncamiento y redondeo

Error de truncamiento

Surge por omitir la cola infinita después de N. Es el resto Rₙ.

Error de redondeo

Surge porque la computadora representa y opera con una cantidad finita de bits.

Error total

Combina el truncamiento matemático y los errores acumulados de aritmética.

En este tema se controla principalmente el truncamiento. Una cota matemática de 10⁻¹⁵ no implica quince decimales confiables si la suma en coma flotante ya acumuló un error comparable.

04 · Cola exacta

Resto de una serie geométrica

Para |r|<1:

Si se conservan los términos desde n=0 hasta n=N, la cola vuelve a ser geométrica:

Por lo tanto:

Aquí no solo existe una cota: conocemos el resto exacto, incluido su signo.

05 · Diseñar N

Resolver la desigualdad geométrica

Para garantizar |Rₙ|≤ε se resuelve:

Como 0<|r|<1, su logaritmo es negativo y hay que cuidar el sentido de la desigualdad:

El índice final debe redondearse hacia arriba y verificarse en la fórmula original. Esta última comprobación evita errores de redondeo y de indexación.

06 · Cancelación favorable

Resto de una serie alternada

Si bₙ≥0, bₙ decrece y bₙ→0, el criterio de Leibniz garantiza para:

la cota:

El primer término omitido controla toda la cola porque los términos posteriores se compensan por pares. Además, S queda entre dos sumas parciales consecutivas, lo que proporciona un intervalo certificado.

07 · Series positivas

Cotas del resto mediante integrales

Si f es positiva, continua y decreciente, y aₙ=f(n), entonces para el resto después de sumar hasta N:

Como todos los términos son positivos, Rₙ>0: las sumas parciales aproximan la suma desde abajo. Las dos integrales también encierran la suma total:

08 · Fórmula práctica

Error para una serie p

Para p>1 y f(x)=1/xᵖ:

En particular, para ∑1/n²:

Garantizar un error menor que 10⁻⁶ mediante la cota superior exige N≥10⁶. La convergencia está demostrada, pero es demasiado lenta para un cálculo directo eficiente.

09 · Transferir garantías

Acotar el resto por comparación

Si desde cierto índice se cumple |aₙ|≤bₙ y conocemos una cota para la cola de ∑bₙ, entonces:

Por ejemplo, como 1/(n²+1)≤1/n²:

La cota puede ser conservadora. Su propósito es garantizar el error, no predecirlo con exactitud.

10 · Dominación geométrica

Convertir un cociente en cota del resto

Supongamos que, para todo n≥N+1, los términos satisfacen:

Entonces cada término de la cola está dominado por una progresión geométrica y:

El criterio del cociente habitual solo afirma convergencia a partir de un límite. Para obtener esta cota hace falta una desigualdad válida en toda la cola, no una estimación numérica del cociente en un único índice.

11 · Especificar precisión

Error absoluto y error relativo

Error absoluto

|S−Sₙ|. Se mide en las mismas unidades que la suma.

Error relativo

|S−Sₙ|/|S|, cuando S≠0. Mide el error respecto del tamaño del resultado.

Tolerancia absoluta

Se exige |Rₙ|≤ε_abs.

Tolerancia relativa

Se exige |Rₙ|≤ε_rel|S|, pero normalmente S es desconocida.

Una condición práctica combina ambas escalas:

La cota del resto debe adaptarse con cuidado a esta condición; usar únicamente error relativo cerca de una suma igual a cero resulta inestable.

12 · Cifras correctas

De decimales pedidos a una tolerancia

Para redondear correctamente una cantidad a d cifras después de la coma, una condición suficiente habitual es:

Por ejemplo, para cuatro decimales se busca una cota estrictamente menor que 0,00005. Pedir simplemente 10⁻⁴ asegura una precisión del orden de cuatro decimales, pero no siempre el redondeo correcto del último.

Si el valor exacto está extremadamente cerca de un punto medio de redondeo, también hay que considerar el error de coma flotante.

13 · Fuente habitual de fallos

Índice final frente a cantidad de términos

«Sumar hasta N» no siempre equivale a «sumar N términos»:

• desde n=1 hasta n=N hay N términos;
• desde n=0 hasta n=N hay N+1 términos;
• si se suman N términos desde cero, el último índice es N−1.

Antes de programar una cota conviene escribir explícitamente cuál es el primer término omitido. Esa única línea previene la mayoría de los errores de «uno más».

14 · Caso resuelto

Aproximar una suma geométrica

Queremos aproximar:

usando términos hasta el índice N y con error menor que 10⁻⁸. El resto es:

La desigualdad da N≥17. Al sumar desde 0 hasta 17 se utilizan 18 términos.

function aproximarGeometrica(a, r, tolerancia) {
  if (!(Math.abs(r) < 1)) throw new Error("La serie no converge");
  let suma = 0;
  let termino = a;
  let n = 0;
  while (Math.abs(termino * r / (1 - r)) > tolerancia) {
    suma += termino;
    termino *= r;
    n += 1;
  }
  suma += termino;
  return { ultimoIndice: n, terminos: n + 1, suma,
    cota: Math.abs(termino * r / (1 - r)) };
}

console.log(aproximarGeometrica(1, 1 / 3, 1e-8));

15 · Caso resuelto

Aproximar la suma de 1/n²

Para conseguir |Rₙ|≤10⁻⁴, la cota integral Rₙ≤1/N indica que basta tomar N=10000.

function aproximarP2(tolerancia) {
  const N = Math.ceil(1 / tolerancia);
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += 1 / n ** 2;
  return {
    N,
    suma,
    cotaInferior: 1 / (N + 1),
    cotaSuperior: 1 / N,
    errorRealSoloParaVerificar: Math.PI ** 2 / 6 - suma
  };
}

console.log(aproximarP2(1e-4));

El valor conocido π²/6 se usa aquí solo para comprobar el resultado, no para decidir el punto de parada.

16 · Caso resuelto

La serie de Gregory–Leibniz y su lentitud

Después de conservar los términos con índices n=0,…,N, el primero omitido tiene magnitud 1/(2N+3). Para aproximar π, el error se multiplica por 4:

Lograr un error menor que 10⁻⁶ requiere aproximadamente dos millones de términos. La cota es sencilla y rigurosa, pero revela que esta fórmula es una mala elección computacional para calcular muchos dígitos de π.

17 · Diseño del algoritmo

Criterios de parada confiables

Un algoritmo certificado sigue esta estructura:

1. 1
   Elegir una cota.

   Derivarla a partir de un teorema cuyas hipótesis estén comprobadas.

2. 2
   Definir la tolerancia.

   Distinguir error absoluto, relativo o requisito de redondeo.

3. 3
   Acumular y actualizar.

   Calcular la suma parcial y la cota con una indexación coherente.

4. 4
   Detener por garantía.

   Finalizar cuando la cota, no solo el término actual, sea menor que la tolerancia.

5. 5
   Informar.

   Devolver aproximación, cantidad de términos y cota alcanzada.

18 · Diagnóstico numérico

Por qué «el término ya es pequeño» puede fallar

En una serie positiva, muchos términos pequeños pueden formar una cola grande. Para la serie ∑1/n², cuando aₙ≈10⁻⁸ tenemos n≈10000, pero el resto es del orden de 1/N≈10⁻⁴: unas diez mil veces mayor que el último término.

Otro criterio peligroso es detenerse cuando suma + término === suma en coma flotante. Esa igualdad solo indica que el término quedó por debajo de la resolución de la representación en esa escala; no demuestra que la cola matemática sea pequeña.

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: tolerancia, términos y error

Elegí una serie y una tolerancia. El laboratorio busca el primer N cuya cota teórica satisface el requisito y compara la cota con el error real cuando la suma exacta es conocida.

La línea amarilla representa el error real y la violeta la cota teórica, ambos en escala logarítmica.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de aproximación

Ejercicio 1: resto geométrico

¿Cuántos términos desde n=0 garantizan un error menor que 10⁻⁵ en ∑(1/4)ⁿ?

Ejercicio 2: cota integral

Determiná un N suficiente para aproximar ∑1/n³ con error menor que 10⁻⁶.

Ejercicio 3: serie alternada

¿Cuántos términos garantizan error menor que 10⁻⁴ al aproximar ln 2=∑ₙ₌₁∞(−1)ⁿ⁺¹/n?

Ejercicio 4: comparación de colas

Acotá el resto de ∑1/(n²+5) después de N términos.

Ejercicio 5: detectar una parada inválida

Un programa para ∑1/n² se detiene cuando 1/N²<10⁻⁸. ¿Garantiza error menor que 10⁻⁸?

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos precisamente la segunda fuente de error: cómo sumar muchos términos en coma flotante sin perder innecesariamente información.