9. Correlación entre variables

La correlación mide el grado y la dirección de la relación lineal o monotónica entre dos variables.

9.1 Covarianza

Indica cómo varían dos variables juntas.

  • Positiva → ambas crecen o decrecen a la vez.
  • Negativa → una sube mientras la otra baja.
  • Depende de las unidades, por lo que no es directamente comparable.

Cov(X,Y) = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ) / (n-1)

9.2 Coeficiente de correlación de Pearson

Normaliza la covarianza entre -1 y 1.

  • 1 = relación lineal perfecta positiva.
  • -1 = relación lineal perfecta negativa.
  • 0 = no hay relación lineal (pero puede existir relación no lineal).

9.3 Correlación de Spearman

Basada en rangos, no en valores absolutos.

  • Útil para relaciones monotónicas (no necesariamente lineales).
  • Menos sensible a outliers.

9.4 Ejemplos en Python

Covarianza y correlación simple


import numpy as np
import pandas as pd

# Simulación de datos
np.random.seed(42)
x = np.random.normal(50, 10, 100)
y = 2 * x + np.random.normal(0, 10, 100)  # y depende linealmente de x

df = pd.DataFrame({"X": x, "Y": y})

# Covarianza
print("Matriz de covarianza:\n", np.cov(df["X"], df["Y"]))

# Correlación de Pearson
print("\nCorrelación de Pearson:", df["X"].corr(df["Y"]))

👉 Se espera una correlación alta y positiva, cercana a 1.

Correlación de Spearman


import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import spearmanr

np.random.seed(42)
x = np.random.normal(50, 10, 100)
y = 2 * x + np.random.normal(0, 10, 100)
df = pd.DataFrame({"X": x, "Y": y})

coef, p_value = spearmanr(df["X"], df["Y"])
print("Correlación de Spearman:", coef)

Matriz de correlaciones entre múltiples variables


import numpy as np
import pandas as pd

# Dataset con 3 variables
np.random.seed(0)
a = np.random.normal(50, 10, 100)
b = a * 1.5 + np.random.normal(0, 5, 100)
c = np.random.normal(30, 5, 100)

df = pd.DataFrame({"A": a, "B": b, "C": c})

print("Matriz de correlación de Pearson:")
print(df.corr())

Heatmap de correlación con Seaborn


import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(0)
a = np.random.normal(50, 10, 100)
b = a * 1.5 + np.random.normal(0, 5, 100)
c = np.random.normal(30, 5, 100)
df = pd.DataFrame({"A": a, "B": b, "C": c})

corr_matrix = df.corr()

plt.figure(figsize=(6,4))
sns.heatmap(corr_matrix, annot=True, cmap="coolwarm", center=0)
plt.title("Mapa de calor de correlaciones (Pearson)")
plt.show()

👉 El heatmap facilita visualizar relaciones fuertes (positivas o negativas).

Mapa de calor de correlaciones

Ejemplo de correlación no lineal


import numpy as np
import pandas as pd

# Relación cuadrática: no es lineal
x = np.linspace(-10, 10, 200)
y = x**2 + np.random.normal(0, 5, 200)

df = pd.DataFrame({"X": x, "Y": y})

print("Correlación de Pearson:", df["X"].corr(df["Y"]))
print("Correlación de Spearman:", df["X"].corr(df["Y"], method="spearman"))

👉 Aquí Pearson ≈ 0 (porque no hay relación lineal), pero Spearman ≈ 1 (porque la relación es monotónica creciente en valores absolutos).

9.5 Conclusión práctica

  • Covarianza: mide la variación conjunta, pero depende de la escala.
  • Pearson: detecta relaciones lineales.
  • Spearman: útil en relaciones no lineales y con outliers.
  • Mapas de calor: herramienta clave para ver correlaciones entre muchas variables.
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