23. Cálculo del capital inicial y del número de períodos

23.1 Dos problemas inversos

Partimos de la fórmula M = C × (1 + i)n. En este tema resolveremos dos situaciones:

23.2 Despejar el capital inicial

Dividimos ambos miembros por el factor acumulado:

El resultado utiliza la misma moneda que el monto porque el factor no tiene unidad monetaria.

23.3 Interpretar la división

Si el factor acumulado es mayor que uno, el capital inicial es menor que el monto. La división elimina matemáticamente el crecimiento aplicado durante los n períodos.

Esta operación solo es válida bajo la misma tasa, periodicidad y regla de capitalización con las que se definió el factor.

23.4 Ejemplo de capital desconocido

Se conoce un monto de $486.202,50, una tasa de 5 % por período y un plazo de 4 períodos:

La verificación es $400.000 × 1,05⁴ = $486.202,50.

23.5 Por qué necesitamos logaritmos

Cuando n es desconocido, no podemos aislarlo mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones ordinarias porque está en el exponente.

El logaritmo transforma una potencia en un producto: ln(an) = n × ln(a). Esa propiedad permite despejar n.

23.6 Despejar el número de períodos

23.7 Ejemplo de plazo desconocido

Un capital de $300.000 alcanza $364.651,88 con una tasa de 5 % por período:

El importe completo se conserva durante el cálculo; $364.651,88 es solo su presentación redondeada.

23.8 Resultado decimal y períodos completos

El despeje puede producir, por ejemplo, n = 6,32. Ese valor es una solución algebraica si el modelo admite fracciones de período.

Si la operación capitaliza únicamente al cierre de períodos completos y la pregunta es cuándo se alcanza o supera una meta, se necesitan 7 períodos completos. Redondear hacia abajo no alcanzaría el objetivo.

23.9 Condiciones para los logaritmos

Fuera de estas condiciones puede no existir una solución en el dominio elemental adoptado.

23.10 El caso de tasa cero

Si i = 0, el factor es uno y M = C para cualquier cantidad de períodos. Entonces:

• si M = C, el plazo no puede determinarse de manera única;
• si M ≠ C, no existe un plazo que produzca ese monto con tasa cero.

No debemos dividir por ln(1) = 0. El programa tiene que detectar este caso antes de calcular.

23.11 Verificar la respuesta

Después de obtener C o n, reconstruimos el monto:

Cuando se redondea n hacia arriba para obtener períodos completos, la comprobación esperada es M verificado ≥ M objetivo.

23.12 Implementación con JavaScript

function calcularCapital(monto, tasa, periodos) {
  return monto / (1 + tasa) ** periodos;
}

function calcularPeriodos(capital, monto, tasa) {
  if (capital <= 0 || monto <= 0 || tasa <= 0) {
    throw new Error("Datos fuera del dominio");
  }
  return Math.log(monto / capital) / Math.log1p(tasa);
}

const capitalCalculado = calcularCapital(486202.5, 0.05, 4);
const periodosCalculados = calcularPeriodos(300000, 364651.875, 0.05);

console.log("Capital inicial:", capitalCalculado.toFixed(2));
console.log("Cantidad de períodos:", periodosCalculados.toFixed(10));

Math.log1p(tasa) calcula ln(1 + tasa) con buena precisión incluso cuando la tasa es muy pequeña. Las llamadas finales permiten ejecutar y comprobar ambas funciones directamente.

23.13 Solucionador de capital y períodos

Elegí la incógnita. El campo correspondiente se deshabilitará y el resultado se verificará reconstruyendo el monto.

23.14 Ejercicio propuesto

Resolvé estas dos operaciones independientes:

1. Calculá el capital que produce $486.202,50 al 5 % por período durante 4 períodos.
2. Calculá cuántos períodos necesita un capital de $300.000 para alcanzar $364.651,875 al 5 % por período.
3. Indicá la cantidad de períodos completos necesaria.
4. Reconstruí ambos montos para verificar.
5. Implementá los cálculos con JavaScript.

function calcularCapital(monto, tasa, periodos) {
  return monto / (1 + tasa) ** periodos;
}

function calcularPeriodos(capital, monto, tasa) {
  return Math.log(monto / capital) / Math.log1p(tasa);
}

const capital = calcularCapital(486202.5, 0.05, 4);
const periodos = calcularPeriodos(300000, 364651.875, 0.05);
const casiEntero = Math.abs(periodos - Math.round(periodos)) < 1e-10;
const periodosCompletos = Math.ceil(
  casiEntero ? Math.round(periodos) : periodos
);

console.log("Capital inicial:", capital.toFixed(2));
console.log("Períodos algebraicos:", periodos.toFixed(10));
console.log("Períodos completos:", periodosCompletos);

23.15 Ideas para recordar

• C = M / (1 + i)ⁿ recupera el capital inicial.
• n = ln(M/C) / ln(1+i) aísla el exponente.
• El resultado de n usa la unidad temporal de la tasa.
• Los logaritmos requieren argumentos positivos y denominador no nulo.
• Un plazo decimal y una cantidad de períodos completos responden preguntas diferentes.
• La reconstrucción del monto verifica el resultado.

En el próximo tema compararemos el crecimiento simple y compuesto.