24. Comparación del crecimiento simple y compuesto

24.1 Qué significa comparar correctamente

Una comparación financiera solo es válida si mantenemos constantes las condiciones relevantes. En este tema utilizaremos el mismo capital inicial C, la misma tasa i por período y la misma cantidad de períodos completos n.

Lo único que cambia es la regla con la que se calcula el interés: sobre el capital original en el modelo simple y sobre el monto acumulado en el compuesto.

Importante: una tasa mensual y una tasa anual no pueden compararse como si fueran equivalentes. Aquí las tasas tienen la misma unidad temporal y el plazo está expresado en esa unidad.

24.2 Las dos fórmulas frente a frente

Los subíndices s y c distinguen los montos simple y compuesto; no representan nuevas variables financieras.

24.3 La diferencia está en la base

Con interés simple, el interés periódico es siempre C × i. Con interés compuesto, es Mk−1 × i, donde Mk−1 ya contiene los intereses capitalizados anteriormente.

Esta diferencia de base explica todo el comportamiento posterior; no se debe a que la tasa nominal ingresada sea mayor.

24.4 Crecimiento lineal y crecimiento exponencial

El monto simple es una función lineal de n: por cada período adicional suma la misma cantidad C × i. Su representación forma una recta cuando el eje horizontal contiene los períodos.

El monto compuesto es una función exponencial de n: cada período multiplica el estado anterior por 1 + i. La pendiente no permanece constante; aumenta a medida que crece la base.

24.5 Los primeros períodos

Tomemos C = $100.000 e i = 10 % = 0,10 por período:

En el segundo período aparece la primera diferencia: el modelo compuesto calcula 10 % sobre $110.000, no sobre $100.000.

24.6 Cuándo coinciden

Bajo el dominio del curso —tasa no negativa y períodos completos— existen tres casos de control:

Estos valores son excelentes pruebas unitarias para una implementación.

24.7 Por qué el compuesto supera al simple

Para dos períodos podemos desarrollar el cuadrado:

El término adicional C × i² representa interés generado por el interés del primer período. Para más períodos aparecen otros términos positivos. Por eso, con C > 0, i > 0 y n > 1 completo, el monto compuesto es mayor.

24.8 Medir la brecha

La diferencia absoluta entre los montos se obtiene restando las fórmulas:

También puede expresarse la ventaja relativa del compuesto respecto del simple:

La diferencia absoluta responde “¿cuánto dinero los separa?”; el porcentaje responde “¿cuánto mayor es uno respecto del otro?”. No son medidas intercambiables.

24.9 Ejemplo completo

Para C = $100.000, i = 10 % por período y n = 5:

El 7,37 % compara los montos finales. No significa que la tasa periódica compuesta haya sido 17,37 %.

24.10 El plazo amplifica la diferencia

Al principio, ambas trayectorias pueden parecer cercanas. Sin embargo, el interés simple aumenta siempre en C × i, mientras que el incremento compuesto también crece. A igualdad de las demás condiciones, la brecha se amplía con el paso de los períodos.

Esto no permite afirmar que una operación real sea automáticamente “mejor”: cargos, impuestos, riesgo, liquidez, inflación, fechas y tasas efectivamente comparables también pueden cambiar una decisión. Aquí aislamos únicamente el mecanismo matemático.

24.11 Implementación con JavaScript

function compararCrecimientos(capital, tasa, periodos) {
  const montoSimple = capital * (1 + tasa * periodos);
  const montoCompuesto = capital * (1 + tasa) ** periodos;
  const diferencia = montoCompuesto - montoSimple;
  const ventajaRelativa = montoSimple === 0
    ? 0
    : diferencia / montoSimple;

  return {
    montoSimple,
    montoCompuesto,
    diferencia,
    ventajaRelativa
  };
}

const comparacion = compararCrecimientos(100000, 0.10, 5);

console.log("Monto simple:", comparacion.montoSimple.toFixed(2));
console.log("Monto compuesto:", comparacion.montoCompuesto.toFixed(2));
console.log("Diferencia:", comparacion.diferencia.toFixed(2));
console.log(
  "Ventaja relativa:",
  (comparacion.ventajaRelativa * 100).toFixed(2) + "%"
);

La función recibe la tasa en forma decimal: 10 % se envía como 0.10. Conserva los valores completos y deja el redondeo para la presentación. Las últimas instrucciones ejecutan un caso de prueba para que el botón Ejecutar muestre los cuatro resultados.

24.12 Construir una tabla comparable

Una tabla permite verificar no solo el resultado final sino toda la trayectoria:

function crearComparacion(capital, tasa, periodos) {
  return Array.from({ length: periodos + 1 }, (_, k) => {
    const simple = capital * (1 + tasa * k);
    const compuesto = capital * (1 + tasa) ** k;

    return {
      periodo: k,
      simple,
      compuesto,
      diferencia: compuesto - simple
    };
  });
}

const tablaComparativa = crearComparacion(100000, 0.10, 5);

tablaComparativa.forEach(fila => {
  console.log(
    `Período ${fila.periodo}: simple = ${fila.simple.toFixed(2)}, ` +
    `compuesto = ${fila.compuesto.toFixed(2)}, ` +
    `brecha = ${fila.diferencia.toFixed(2)}`
  );
});

Incluir k = 0 deja visible el estado inicial y facilita comprobar que ambas series parten del mismo capital. El recorrido final imprime una fila por período en el área de resultados.

24.13 Comparador interactivo

Modificá el capital, la tasa y el plazo. Las barras resumen el resultado final y la tabla permite inspeccionar en qué período comienza y cómo evoluciona la brecha.

24.14 Ejercicio propuesto

Un capital de $250.000 se analiza durante 18 meses con una tasa de 3 % mensual.

1. Calculá el monto con interés simple.
2. Calculá el monto con interés compuesto.
3. Obtené la diferencia absoluta.
4. Calculá cuánto mayor es el monto compuesto respecto del simple, en porcentaje.
5. Verificá los casos n = 0 y n = 1 con una tabla generada por JavaScript.

function compararCrecimientos(capital, tasa, periodos) {
  const montoSimple = capital * (1 + tasa * periodos);
  const montoCompuesto = capital * (1 + tasa) ** periodos;
  const diferencia = montoCompuesto - montoSimple;

  return {
    montoSimple,
    montoCompuesto,
    diferencia,
    ventajaRelativa: diferencia / montoSimple
  };
}

function crearComparacion(capital, tasa, periodos) {
  return Array.from({ length: periodos + 1 }, (_, periodo) => ({
    periodo,
    simple: capital * (1 + tasa * periodo),
    compuesto: capital * (1 + tasa) ** periodo
  }));
}

const resultado = compararCrecimientos(250000, 0.03, 18);
const tabla = crearComparacion(250000, 0.03, 18);

console.log("Monto simple:", resultado.montoSimple.toFixed(2));
console.log("Monto compuesto:", resultado.montoCompuesto.toFixed(2));
console.log("Diferencia:", resultado.diferencia.toFixed(2));
console.log(
  "Ventaja relativa:",
  (resultado.ventajaRelativa * 100).toFixed(2) + "%"
);
console.log("Período 0:", JSON.stringify(tabla[0]));
console.log("Período 1:", JSON.stringify(tabla[1]));

24.15 Ideas para recordar

• Una comparación exige el mismo capital, tasa periódica, unidad temporal y plazo.
• El interés simple usa siempre el capital inicial como base y produce crecimiento lineal.
• El interés compuesto usa el monto anterior como base y produce crecimiento exponencial.
• Con tasa positiva, ambos modelos coinciden en n = 0 y n = 1; para períodos completos posteriores, el compuesto es mayor.
• La brecha monetaria es Mc − Ms; la ventaja relativa divide esa brecha por Ms.
• Conservar precisión interna y redondear solo al mostrar evita distorsionar la comparación.

En el próximo tema construiremos funciones reutilizables para cálculos de interés.