6. Ecuaciones y despeje de incógnitas financieras

6.1 Qué es una ecuación

Una ecuación afirma que dos expresiones tienen el mismo valor. La igualdad M = C + I, por ejemplo, indica que el monto debe coincidir con la suma del capital y el interés.

Una incógnita es el valor que no conocemos. Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que hace verdadera la igualdad, respetando el significado y las restricciones del problema.

6.2 Del enunciado al modelo

Antes de despejar debemos traducir el enunciado. Si sabemos que un monto de $126.000 está formado por un capital desconocido y $6.000 de interés:

La incógnita es el capital. La ecuación conserva la estructura financiera: total igual a capital más interés. Identificar correctamente cada cantidad es tan importante como operar bien.

6.3 El principio de equilibrio

Podemos imaginar la igualdad como una balanza. Si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos un lado por una cantidad, debemos realizar la misma operación en el otro para conservar el equilibrio.

Restar 6.000 en ambos lados elimina el término que acompaña a la incógnita sin alterar las soluciones.

6.4 Operaciones inversas

En este tema trabajaremos principalmente con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Potencias, raíces y logaritmos se desarrollarán en los temas siguientes.

6.5 Despejar capital, interés o monto

Partimos de la identidad M = C + I. Según la incógnita elegida:

Un despeje no crea una fórmula nueva: expresa la misma relación con otra variable aislada.

6.6 Despejar en una relación porcentual

La relación entre una base B, un porcentaje p y una parte P puede escribirse:

Si buscamos la base, dividimos por p/100: B = P / (p/100). Si buscamos el porcentaje: p = P/B × 100.

Los divisores introducen restricciones: para despejar B, el porcentaje no puede ser cero; para despejar p, la base no puede ser cero.

6.7 Un modelo con componente fijo y variable

Supongamos que un costo total combina un importe fijo y otro proporcional a una base:

Con un fijo de $5.000, una base de $200.000 y un 3 %, el componente variable es $6.000 y el total es $11.000. Este modelo servirá para practicar varios despejes sin representar un producto financiero específico.

6.8 Despejar cada variable del modelo

1. Elegir la variable que debe quedar aislada.
2. Eliminar primero las sumas o restas que están fuera del producto.
3. Deshacer multiplicaciones mediante divisiones.
4. Conservar paréntesis cuando agrupan una diferencia completa.
5. Sustituir el resultado en la ecuación original.

6.9 Paréntesis y orden de operaciones

En el despeje de la base, T − F debe calcularse antes de dividir. Los paréntesis lo expresan claramente:

Escribir T - F / (p / 100) en JavaScript daría otro resultado, porque la división se ejecutaría antes que la resta.

6.10 Comprobar por sustitución

La sustitución reemplaza la incógnita por el valor encontrado. Si ambos lados coinciden, el cálculo algebraico es consistente:

Atención: la sustitución comprueba la aritmética, pero no demuestra que el modelo elegido describa correctamente una situación real.

6.11 Implementar despejes con funciones

function calcularTotal(fijo, base, porcentaje) {
  return fijo + base * porcentaje / 100;
}

function calcularBase(total, fijo, porcentaje) {
  if (porcentaje === 0) {
    throw new Error("El porcentaje no puede ser cero");
  }
  return (total - fijo) / (porcentaje / 100);
}

const base = calcularBase(11000, 5000, 3);
console.log("Base:", base.toFixed(2));
console.log("Comprobación:", calcularTotal(5000, base, 3));

Separar cada despeje en una función permite documentar sus entradas, validar divisores y probar cada caso de manera independiente.

6.12 Simulador de despejes financieros

Elegí la incógnita e ingresá los otros tres valores. La herramienta mostrará el resultado, el despeje utilizado y la sustitución en la ecuación original.

6.13 Ejercicio propuesto

Un total de $18.000 se compone de un importe fijo de $3.000 más el 5 % de una base desconocida.

1. Escribí la ecuación.
2. Despejá la base paso a paso.
3. Calculá su valor.
4. Comprobá el resultado por sustitución.
5. Implementá el cálculo en JavaScript.

const total = 18000;
const fijo = 3000;
const porcentaje = 5;

const base = (total - fijo) / (porcentaje / 100);
const comprobacion = fijo + base * porcentaje / 100;

console.log("Base:", base.toFixed(2));
console.log("Comprobación:", comprobacion.toFixed(2));

6.14 Ideas para recordar

• Una ecuación expresa que dos cantidades o expresiones son iguales.
• Despejar consiste en aislar la incógnita mediante transformaciones equivalentes.
• Las operaciones inversas permiten deshacer sumas, productos y otras operaciones.
• Los paréntesis conservan la agrupación correcta del cálculo.
• Sustituir el resultado en la ecuación original permite comprobarlo.

En el próximo tema estudiaremos potencias, raíces y crecimiento multiplicativo.