7. Potencias, raíces y crecimiento multiplicativo

7.1 Sumar una cantidad o multiplicar por un factor

En un crecimiento aditivo incorporamos siempre la misma cantidad: 100, 110, 120, 130. En un crecimiento multiplicativo aplicamos siempre el mismo factor: 100, 110, 121, 133,1.

En el segundo caso el incremento cambia porque cada etapa comienza con un valor diferente. Esta repetición aparece en numerosos modelos financieros y se expresa de forma compacta mediante potencias.

7.2 Potencia como multiplicación repetida

La expresión 1,05⁴ indica que el factor 1,05 se multiplica cuatro veces por sí mismo:

Multiplicar $100.000 por ese factor acumulado produce $121.550,625.

7.3 Base, exponente y valor de la potencia

No debemos confundir la base de la potencia con el valor inicial del problema. En V₀ × fⁿ, V₀ es el valor inicial y f es la base de la potencia.

7.4 Propiedades útiles

7.5 Factor de crecimiento

Un cambio de p % puede expresarse mediante el factor f = 1 + p/100. Un aumento de 8 % corresponde a f = 1,08; una disminución de 8 %, a f = 0,92.

Cuando el mismo factor se aplica n veces, el factor acumulado es fⁿ. Así evitamos escribir una larga cadena de multiplicaciones.

7.6 Modelo general de repetición

Con $100.000, factor 1,08 y tres etapas: 100.000 × 1,08³ = 125.971,20. El exponente cuenta aplicaciones completas del factor.

7.7 Recuperar el valor inicial

Si conocemos el valor final, el factor y la cantidad de etapas, dividimos por la potencia:

Si el valor final es $125.971,20 después de tres aplicaciones de 1,08, entonces 125.971,20 / 1,08³ = 100.000.

7.8 La raíz como operación inversa

Si conocemos los valores inicial y final y la cantidad de etapas, podemos recuperar el factor constante mediante una raíz:

Si $100.000 se transforman en $133.100 en tres etapas iguales, f = (133.100/100.000)^(1/3) = 1,10.

7.9 Exponentes especiales

Dominio: en nuestros ejemplos monetarios usamos valores iniciales y factores positivos. Las raíces de números negativos requieren un tratamiento diferente según el índice.

7.10 Tabla de crecimiento

La fórmula directa y el cálculo iterativo deben producir los mismos valores. Para $100.000 y factor 1,08:

7.11 Potencias y raíces en JavaScript

function valorFinal(valorInicial, factor, etapas) {
  return valorInicial * factor ** etapas;
}

function recuperarFactor(valorInicial, valorFinal, etapas) {
  if (valorInicial <= 0 || etapas <= 0) {
    throw new Error("Los datos deben ser positivos");
  }
  return (valorFinal / valorInicial) ** (1 / etapas);
}

console.log(valorFinal(100000, 1.08, 3).toFixed(2));
console.log(recuperarFactor(100000, 133100, 3).toFixed(4));

El operador ** calcula potencias. También existe Math.pow(base, exponente). Una raíz cuadrada puede calcularse con Math.sqrt y una raíz cúbica con Math.cbrt.

7.12 Simulador de crecimiento multiplicativo

Elegí qué valor querés calcular. La tabla y el gráfico muestran la secuencia completa. El simulador trabaja con un único factor constante.

7.13 Límites y errores frecuentes

• Multiplicar el valor inicial por factor × etapas en vez de utilizar factor ** etapas.
• Confundir un porcentaje de 8 con un factor de 1,08.
• Aplicar la raíz al valor final sin dividir antes por el valor inicial.
• Redondear cada etapa cuando el problema no establece ese criterio.
• Intentar despejar el exponente usando una raíz; esa incógnita requiere logaritmos.

7.14 Ejercicio propuesto

Un valor inicial de $100.000 se multiplica por un factor constante de 1,05 durante 4 etapas.

1. Escribí la potencia que representa el factor acumulado.
2. Calculá el valor después de cada etapa y el valor final.
3. Calculá el crecimiento porcentual total.
4. Recuperá el factor mediante una raíz cuarta.
5. Implementá los cálculos en JavaScript.

const inicial = 100000;
const factor = 1.05;
const etapas = 4;
const final = inicial * factor ** etapas;
const crecimiento = (final / inicial - 1) * 100;
const factorRecuperado = (final / inicial) ** (1 / etapas);

console.log("Valor final:", final.toFixed(3));
console.log("Crecimiento:", crecimiento.toFixed(6), "%");
console.log("Factor recuperado:", factorRecuperado.toFixed(4));

7.15 Ideas para recordar

• Una potencia resume la aplicación repetida de un factor.
• El modelo general es Vₙ = V₀ × fⁿ.
• Dividir por fⁿ permite recuperar el valor inicial.
• La raíz n-ésima permite recuperar el factor constante.
• El despeje del exponente se estudiará mediante logaritmos.

En el próximo tema utilizaremos logaritmos para calcular cantidades de períodos.