10. Tasas vencidas y tasas anticipadas

10.1 Un mismo importe financiero, dos bases posibles

Una operación conecta un capital disponible al comienzo, C0, con un capital al final del período, C1. La diferencia I = C1 − C0 representa el interés o cargo financiero del período.

Ese mismo importe puede compararse con el capital inicial o con el valor final. Cuando se lo divide por C0 se obtiene una tasa vencida de interés; cuando se lo divide por C1 se obtiene una tasa anticipada, también denominada tasa efectiva de descuento.

Idea central: “10 % vencida” y “10 % anticipada” no producen la misma operación. Aunque el porcentaje escrito sea igual, cambia el denominador y, por lo tanto, cambia el factor financiero.

10.2 Tasa vencida: el interés respecto del capital inicial

El factor 1 + i lleva valores desde el inicio hacia el final. Se dice “vencida” porque la liquidación del interés se ubica al vencimiento del período, aunque su cálculo relaciona ambos extremos temporales.

10.3 Tasa anticipada: el descuento respecto del valor final

El factor 1 − d traslada un valor final hacia el inicio. Si se conoce el capital disponible hoy y se busca el valor que debe cancelarse al vencimiento, la relación se despeja:

10.4 La línea de tiempo evita confusiones

Antes de operar conviene marcar la fecha de cada capital y la dirección del traslado. Así se evita sumar una tasa anticipada como si fuera una tasa vencida.

10.5 Ejemplo: 10 % vencida

Supongamos que se reciben $100.000 al inicio y se aplica una tasa vencida del 10 % por un período:

Los $10.000 de interés representan el 10 % de los $100.000 iniciales. Al vencimiento se devuelve el capital inicial más el interés.

10.6 Ejemplo: 10 % anticipada

Ahora mantengamos los $100.000 disponibles al inicio, pero utilicemos una tasa anticipada del 10 %. El valor final debe satisfacer C0 = C1 × 0,90:

El 10 % se calcula sobre $111.111,11, no sobre $100.000. Por eso, con igual número porcentual, la modalidad anticipada exige un valor final mayor que la vencida.

10.7 Tasas equivalentes para una misma operación

Dos tasas son equivalentes cuando relacionan exactamente los mismos capitales en las mismas fechas. Para que una tasa vencida i y una anticipada d describan la misma operación, sus factores de capitalización deben coincidir:

Por ejemplo, una tasa vencida del 10 % equivale a una tasa anticipada del 0,10 / 1,10 = 0,090909, es decir, 9,090909 %. A la inversa, una anticipada del 10 % equivale a una vencida del 0,10 / 0,90 = 0,111111, es decir, 11,111111 %.

Comparación correcta: no se comparan directamente los porcentajes de distinta modalidad. Primero se convierte una tasa a la base de la otra o se comparan sus factores sobre un horizonte común.

10.8 Varios períodos bajo capitalización compuesta

Si la misma tasa efectiva actúa durante n períodos completos, los factores se repiten:

Cuando i y d son equivalentes para un período, también generan el mismo factor para cualquier cantidad entera de esos períodos: (1 + i)n = (1 − d)−n.

10.9 El importe retenido y el costo efectivo

En una operación anticipada puede anunciarse un valor nominal de $100.000 y descontarse 10 % al inicio. En ese caso, se entregan $90.000 y al vencimiento se cobran $100.000.

El descuento anunciado es 10 % del valor final, pero el costo respecto del dinero efectivamente recibido es 11,111111 %. Esta diferencia es esencial al comparar préstamos, documentos descontados o propuestas con cargos retenidos al comienzo.

10.10 Dominio y casos límite

Para conservar capitales positivos, los factores de un período deben ser mayores que cero:

Una tasa vencida de −100 % anula el capital y una inferior lo cambia de signo. Una tasa anticipada del 100 % haría cero el valor presente y además impediría despejar un valor final finito a partir de un capital inicial positivo.

Matemáticamente pueden existir tasas negativas dentro del dominio: una i negativa representa disminución hacia el futuro y una d negativa representa un valor inicial mayor que el final. Su interpretación económica depende del contrato.

10.11 La terminología debe declararse

En distintos textos y mercados aparecen expresiones como “interés anticipado”, “descuento”, “tasa adelantada” o “tasa de descuento efectiva”. No siempre se emplean con idéntica convención.

Una descripción sin ambigüedad debe indicar el porcentaje, el período, si la tasa es vencida o anticipada, la base de cálculo y la regla de capitalización. Si es nominal anual, también necesita su frecuencia, como vimos en los temas 8 y 9.

10.12 Tasas nominales anticipadas

También puede declararse una tasa nominal anual anticipada f(m) convertible m veces por año. En esa cotización, la tasa anticipada de cada período se obtiene por proporcionalidad:

El factor anual de capitalización asociado es (1 − dm)−m. Por ejemplo, una tasa nominal anticipada del 24 % convertible mensualmente produce d12 = 2 % mensual y un factor anual de 0,98−12 = 1,274345.

Esta convención no debe mezclarse con una TNA vencida del 24 % convertible mensualmente, cuyo factor anual es 1,0212 = 1,268242. La frecuencia coincide, pero la base de la tasa periódica es diferente.

10.13 Laboratorio: vencida, anticipada y equivalente

Ingresá el capital disponible al inicio, una tasa efectiva por período y la cantidad de períodos. El laboratorio calcula el valor final y la tasa equivalente de la otra modalidad.

10.14 Implementación con JavaScript

Las conversiones pueden expresarse mediante funciones pequeñas que validen el dominio:

function vencidaAAnticipada(tasaVencida) {
  if (!Number.isFinite(tasaVencida) || tasaVencida <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa vencida debe ser finita y mayor que -1");
  }
  return tasaVencida / (1 + tasaVencida);
}

function anticipadaAVencida(tasaAnticipada) {
  if (!Number.isFinite(tasaAnticipada) || tasaAnticipada >= 1) {
    throw new RangeError("La tasa anticipada debe ser finita y menor que 1");
  }
  return tasaAnticipada / (1 - tasaAnticipada);
}

function capitalFinal(capitalInicial, tasa, periodos, modalidad) {
  if (!Number.isFinite(capitalInicial) || capitalInicial <= 0) {
    throw new RangeError("El capital debe ser positivo");
  }
  if (!Number.isInteger(periodos) || periodos < 0) {
    throw new RangeError("Los períodos deben ser un entero no negativo");
  }

  const factor = modalidad === "vencida"
    ? 1 + tasa
    : 1 / (1 - tasa);

  if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
    throw new RangeError("La tasa no produce un factor válido");
  }
  return capitalInicial * factor ** periodos;
}

const i = 0.10;
const d = vencidaAAnticipada(i);
console.log({ i, d, finalVencida: capitalFinal(100000, i, 1, "vencida"),
  finalAnticipada: capitalFinal(100000, d, 1, "anticipada") });

Las tasas entran como tanto por uno. Las dos formas producen el mismo capital final porque d se obtiene como tasa equivalente de i.

10.15 Errores frecuentes

• Sumar una tasa anticipada al capital inicial: su factor hacia el futuro es 1 / (1 − d), no 1 + d.
• Restar una tasa vencida del valor final: para actualizar se utiliza 1 / (1 + i).
• Comparar porcentajes sin convertirlos: un 10 % anticipado tiene mayor efecto que un 10 % vencido.
• Confundir momento de cobro y base matemática: que un cargo se retenga al inicio no basta para definir la tasa; hay que identificar el importe usado como denominador.
• Omitir el período: una tasa mensual no puede compararse directamente con una anual.
• Aceptar d ≥ 100 %: no permite obtener un capital final positivo y finito a partir de un capital inicial positivo.

10.16 Ejercicio propuesto

Una entidad ofrece entregar hoy $750.000 y cobrar el saldo dentro de tres meses. Compará estas alternativas para ese único período trimestral:

• Alternativa A: tasa vencida trimestral del 8 %.
• Alternativa B: tasa anticipada trimestral del 8 %.

1. Calculá el valor final de cada alternativa.
2. Obtené el cargo financiero en cada caso.
3. Convertí la tasa de B a una tasa vencida equivalente.
4. Determiná cuál exige menor pago y por cuánto.
5. Comprobá los resultados con JavaScript.

const capital = 750000;
const tasa = 0.08;
const finalA = capital * (1 + tasa);
const finalB = capital / (1 - tasa);

console.log({
  finalA,
  cargoA: finalA - capital,
  finalB,
  cargoB: finalB - capital,
  vencidaEquivalenteB: tasa / (1 - tasa),
  diferencia: finalB - finalA
});

10.17 Ideas para recordar

• La tasa vencida mide la variación respecto del capital inicial: i = I / C0.
• La tasa anticipada mide la variación respecto del valor final: d = I / C1.
• Los factores hacia el futuro son 1 + i y 1 / (1 − d).
• Las tasas equivalentes cumplen d = i / (1 + i) e i = d / (1 − d).
• Para tasas positivas equivalentes, el valor numérico de d es menor que el de i.
• Porcentaje, período, modalidad, frecuencia y base de cálculo deben declararse juntos.

En el próximo tema estudiaremos la capitalización continua y la fuerza de interés, donde la acumulación se modela mediante la función exponencial.