Tasas de Interés y Equivalencias Financieras - 11. Capitalización continua y fuerza de interés

11.1 De capitalizar muchas veces a capitalizar continuamente

En la capitalización discreta, los intereses se incorporan al capital al final de períodos identificables: años, meses, días u otras fracciones. Si aumenta la frecuencia, cada período se vuelve más corto y la incorporación ocurre más veces.

La capitalización continua es el modelo límite en el que esa frecuencia crece sin cota. No significa que una computadora ejecute infinitas liquidaciones, sino que el valor del capital se representa mediante una función continua del tiempo.

Idea central: con fuerza de interés constante δ, el capital evoluciona según C(t) = C₀e^δt. El exponente combina una intensidad por unidad de tiempo con la duración de la operación.

11.2 El límite de la capitalización discreta

Consideremos una tasa nominal anual j convertible m veces por año. Para un plazo de t años, su factor es:

F_m(t) = (1 + j / m)^mt

Al aumentar m, la tasa de cada subperíodo disminuye y la cantidad de factores aumenta. El límite utiliza el número de Euler e ≈ 2,718281828:

lim_m→∞ (1 + j / m)^mt = e^jt

En este caso límite, el valor j pasa a actuar como fuerza constante de interés. Para evitar confundirlo con una TNA discreta, se acostumbra representarlo con la letra griega delta: δ.

11.3 Tres elementos del modelo continuo

Fuerza de interés

Intensidad instantánea de crecimiento por unidad de tiempo.

Factor de acumulación

Traslada un capital desde el instante 0 hasta el instante t.

a(t) = e^δt

Factor de actualización

Traslada un capital futuro desde t hasta el instante 0.

v(t) = e^−δt

Como e^δt × e^−δt = 1, ambos factores son recíprocos. El tiempo t debe expresarse en la unidad asociada con δ.

11.4 La fuerza de interés como tasa instantánea

La fuerza de interés no es simplemente una tasa efectiva aplicada en un período muy pequeño. Se define como la tasa relativa instantánea de cambio del capital:

δ(t) = C′(t) / C(t) = d[ln C(t)] / dt

Si δ(t) = δ es constante, entonces C′(t) = δC(t). La solución de esta ecuación diferencial, con capital inicial C(0) = C₀, es:

C(t) = C₀e^δt

La derivada es proporcional al capital vigente: cuanto mayor es el capital acumulado, mayor es su variación instantánea cuando δ > 0.

11.5 Ejemplo con fuerza anual del 12 %

Un capital de $100.000 se acumula durante dos años con fuerza anual constante del 12 %. Primero convertimos el porcentaje a tanto por uno: δ = 0,12.

C(2) = $100.000 × e^{0,12 × 2}
C(2) = $100.000 × e^0,24
C(2) = $127.124,92

El crecimiento total es 27,124915 %. No corresponde multiplicar simplemente 12 % × 2, porque la función exponencial incorpora crecimiento compuesto durante todo el intervalo.

11.6 Fuerza de interés y tasa efectiva

Para que una fuerza δ y una tasa efectiva vencida i_t sean equivalentes en un intervalo de longitud t, sus factores deben coincidir:

1 + i_t = e^δt
i_t = e^δt − 1
δ = ln(1 + i_t) / t

Con δ = 0,12 anual, la tasa efectiva anual equivalente es e^0,12 − 1 = 0,12749685, es decir, 12,749685 %. Aunque ambos valores describen el mismo año, 12 % es una fuerza y 12,749685 % es una tasa efectiva.

11.7 Relación con la tasa anticipada

En el tema anterior vimos que una tasa anticipada efectiva d_t utiliza el factor de actualización 1 − d_t. En capitalización continua:

1 − d_t = e^−δt
d_t = 1 − e^−δt
δ = −ln(1 − d_t) / t

Para una fuerza anual del 12 %, la tasa anticipada anual equivalente es 1 − e^−0,12 = 11,307956 %. Las tres cotizaciones —fuerza, vencida y anticipada— pueden describir exactamente el mismo par de capitales.

11.8 Equivalencia con una TNA de frecuencia m

Una TNA vencida j^(m) convertible m veces por año tiene factor anual (1 + j^(m)/m)^m. Al igualarlo con e^δ se obtienen las conversiones:

δ = m × ln(1 + j^(m) / m)
j^(m) = m × (e^δ/m − 1)

Con fuerza anual del 12 %, la tasa efectiva mensual equivalente es e^0,12/12 − 1 = 1,005017 %. La TNA convertible mensualmente equivalente es doce veces ese valor: 12,060200 %.

Atención: una fuerza anual del 12 % no equivale a una TNA del 12 % convertible mensualmente. La primera genera 12,749685 % efectivo anual; la segunda, 12,682503 %.

11.9 Una misma cotización nominal con frecuencias crecientes

Mantengamos una tasa nominal del 12 % y aumentemos la frecuencia. El factor discreto se aproxima a e^0,12:

Capitalización de una cotización nominal anual del 12 % durante un año.
Frecuencia	m	Factor anual	Tasa efectiva anual
Anual	1	1,120000	12,000000 %
Trimestral	4	1,125509	12,550881 %
Mensual	12	1,126825	12,682503 %
Diaria	365	1,127475	12,747462 %
Continua	∞	1,127497	12,749685 %

La sucesión crece hacia un límite finito. “Continua” no significa que el capital crezca infinitamente rápido: la intensidad δ permanece fija y lo que cambia es el modelo de incorporación.

11.10 Plazos fraccionarios y coherencia temporal

Una ventaja del modelo exponencial es que acepta directamente cualquier duración real. Si la fuerza es anual, nueve meses se representan como t = 9/12 = 0,75 años y 45 días requieren una convención temporal, por ejemplo t = 45/365.

C(0,75) = C₀e^{0,12 × 0,75} = C₀e^0,09

La continuidad matemática no elimina la necesidad de definir la base de días. Si las fechas son datos del problema, debe declararse cómo se transforma su distancia en la variable t.

11.11 Dominio, tasas negativas y crecimiento

Para todo valor real y finito de δt, el factor e^δt es estrictamente positivo. Por eso una fuerza constante no necesita una restricción como i > −1: la tasa efectiva equivalente cumplirá esa condición automáticamente.

Comportamiento según el signo de la fuerza.
Condición	Factor para t > 0	Evolución
`δ > 0`	`e^δt > 1`	El capital crece.
`δ = 0`	`e⁰ = 1`	El capital permanece constante.
`δ < 0`	`0 < e^δt < 1`	El capital disminuye sin cambiar de signo.

11.12 Fuerza variable en el tiempo

La fuerza puede depender del instante. Si δ(s) varía, la acumulación entre los instantes 0 y t depende del área bajo su curva:

C(t) = C₀ × exp(∫₀^t δ(s) ds)

La fuerza constante es el caso particular en que la integral vale δt. Si la fuerza es 8 % anual durante el primer año y 10 % durante el segundo, el factor total es e^0,08e^0,10 = e^0,18.

Esta propiedad permite combinar tramos: las fuerzas integradas se suman en el exponente, mientras que los factores de acumulación se multiplican.

11.13 Laboratorio: fuerza y tasas equivalentes

Ingresá un capital, una fuerza anual y un plazo. La frecuencia seleccionada determina la TNA discreta equivalente a la misma acumulación continua.

Acumulación exponencial

Todas las tasas de la tabla generan el mismo factor anual que la fuerza ingresada.

Capital inicial Fuerza anual δ (%) Plazo en años Frecuencia equivalente

Factor del plazo1,271249

Tasa efectiva del plazo27,124915 %

Capital final$127.124,92

TNA equivalente elegida12,060200 %

Equivalencias discretas anuales

m	Tasa periódica	TNA equivalente	Factor anual

Una fuerza anual del 12 % equivale a una TNA del 12,060200 % convertible mensualmente.

11.14 Implementación con JavaScript

JavaScript ofrece Math.exp para la exponencial y Math.log para el logaritmo natural:

function calcularCapitalContinuo(capital, fuerza, tiempo) {
  if (!Number.isFinite(capital) || capital <= 0) {
    throw new RangeError("El capital debe ser positivo");
  }
  if (!Number.isFinite(fuerza) || !Number.isFinite(tiempo) || tiempo < 0) {
    throw new RangeError("La fuerza debe ser finita y el tiempo no negativo");
  }

  const factor = Math.exp(fuerza * tiempo);
  if (!Number.isFinite(factor)) {
    throw new RangeError("El factor excede el rango numérico");
  }
  return capital * factor;
}

function fuerzaDesdeEfectiva(tasaEfectiva, tiempo = 1) {
  if (!Number.isFinite(tasaEfectiva) || tasaEfectiva <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa efectiva debe ser mayor que -1");
  }
  if (!Number.isFinite(tiempo) || tiempo <= 0) {
    throw new RangeError("El tiempo debe ser positivo");
  }
  return Math.log(1 + tasaEfectiva) / tiempo;
}

function nominalEquivalente(fuerzaAnual, frecuencia) {
  if (!Number.isInteger(frecuencia) || frecuencia <= 0) {
    throw new RangeError("La frecuencia debe ser un entero positivo");
  }
  return frecuencia * Math.expm1(fuerzaAnual / frecuencia);
}

const fuerza = 0.12;
console.log({
  capitalDosAnios: calcularCapitalContinuo(100000, fuerza, 2),
  efectivaAnual: Math.expm1(fuerza),
  nominalMensual: nominalEquivalente(fuerza, 12)
});

Math.expm1(x) calcula e^x − 1 con mayor precisión cuando x está cerca de cero. Su función inversa especializada es Math.log1p(x), que calcula ln(1 + x).

11.15 Errores frecuentes

Usar 1 + δt: esa es una expresión lineal; el factor continuo es e^δt.
Confundir fuerza con tasa efectiva: δ y e^δ − 1 son cotizaciones diferentes para un año.
Escribir el porcentaje dentro del exponente: 12 % debe convertirse a 0,12.
Mezclar unidades: una fuerza anual requiere expresar el plazo en años.
Suponer que frecuencia diaria es continua: 365 capitalizaciones siguen siendo discretas, aunque estén cerca del límite.
Usar logaritmo decimal: la conversión requiere el logaritmo natural ln, implementado como Math.log.

11.16 Ejercicio propuesto

Un capital de $500.000 se invierte durante 15 meses con una fuerza anual constante del 18 %.

Expresá el plazo en años.
Calculá el factor continuo y el capital final.
Obtené la tasa efectiva de los 15 meses.
Calculá la tasa efectiva mensual y la TNA convertible mensualmente equivalentes.
Comprobá los resultados con JavaScript.

Ver solución

El plazo es 1,25 años. El factor es 1,252323 y el capital final es $626.161,36. La tasa efectiva para los 15 meses es 25,232272 % y la TNA convertible mensualmente equivalente es 18,135677 %.

t = 15 / 12 = 1,25 años
F = e^{0,18 × 1,25} = e^0,225 = 1,252322716
C(1,25) = $500.000 × 1,252322716 = $626.161,36
i_mensual = e^0,18/12 − 1 = 1,511306 %
j⁽¹²⁾ = 12 × 1,511306 % = 18,135677 %

const capital = 500000;
const fuerzaAnual = 0.18;
const tiempo = 15 / 12;
const factor = Math.exp(fuerzaAnual * tiempo);
const tasaMensual = Math.expm1(fuerzaAnual / 12);

console.log({
  tiempo,
  factor,
  capitalFinal: capital * factor,
  efectivaDelPlazo: factor - 1,
  tasaMensual,
  tnaMensual: 12 * tasaMensual
});

11.17 Ideas para recordar

La capitalización continua es el límite de la capitalización discreta cuando la frecuencia tiende a infinito.
Con fuerza constante, el factor para t unidades es e^δt.
La fuerza es la variación relativa instantánea: δ(t) = C′(t)/C(t).
La tasa efectiva equivalente cumple i_t = e^δt − 1.
La tasa anticipada equivalente cumple d_t = 1 − e^−δt.
Las fuerzas se integran en el tiempo y los factores resultantes se multiplican.

En el próximo tema organizaremos la notación y la descripción completa de una tasa para comunicar sin ambigüedades su período, modalidad y frecuencia.

Volver al índice