13. Qué significa que dos tasas sean equivalentes

13.1 Igual efecto, aunque los números sean diferentes

Las tasas pueden pertenecer a períodos o modalidades diferentes. Por eso sus porcentajes no siempre se pueden comparar directamente. Una tasa efectiva mensual del 2 % no “es menor” que una efectiva anual del 20 % sin antes definir un horizonte común.

Si el 2 % mensual se capitaliza durante doce meses, su factor anual es 1,0212 = 1,26824179. Por lo tanto, equivale a una tasa efectiva anual del 26,824179 %, no al 24 %.

Idea central: equivalencia no significa igualdad numérica entre tasas. Significa igualdad de factores —y, por lo tanto, de capitales resultantes— entre las mismas fechas.

13.2 Los tres requisitos de la equivalencia

También deben mantenerse las convenciones temporales relevantes. Si una tasa usa ACT/365 y otra ACT/360, la cantidad de períodos o la fracción de año puede cambiar aun cuando las fechas sean iguales.

13.3 El factor es el lenguaje común

Una vez expresadas como factores, tasas nominales, efectivas, anticipadas y fuerzas de interés pueden compararse sin mezclar sus definiciones.

13.4 Equivalencia para cualquier capital inicial

Si un capital C0 evoluciona linealmente mediante un factor, los resultados son CA = C0FA y CB = C0FB. Cuando los factores coinciden, los capitales finales coinciden para cualquier C0.

No hace falta probar $1, $1.000 y $1.000.000 por separado. Basta comparar los factores. El capital de prueba sirve para interpretar el resultado monetario, pero no define la equivalencia.

Alcance: esto supone un modelo proporcional sin importes fijos. Una comisión fija puede hacer que dos propuestas coincidan para un capital y difieran para otro.

13.5 Ejemplo: tasa mensual y tasa anual

Comparemos una tasa efectiva vencida mensual del 2 % con una efectiva vencida anual del 26,824179 % durante un año:

Sobre $100.000, ambas producen $126.824,18. Los porcentajes 2 y 26,824179 no son iguales porque se refieren a períodos diferentes; sus efectos anualizados sí lo son.

13.6 Igual porcentaje no implica equivalencia

Una tasa efectiva mensual del 10 % y una efectiva anual del 10 % comparten el número, pero no el efecto anual:

La segunda acumula 213,842838 % en un año. Comparar solo el porcentaje oculta el período y conduce a una conclusión incorrecta.

13.7 Equivalencia entre vencida y anticipada

Para un mismo período, una tasa vencida i tiene factor 1 + i y una anticipada d tiene factor 1/(1 − d). La equivalencia exige:

Así, 10 % vencido equivale a 9,090909 % anticipado. Un 10 % anticipado, en cambio, equivale a 11,111111 % vencido. La base diferente explica la desigualdad numérica.

13.8 Equivalencia con capitalización continua

Una fuerza anual constante δ genera el factor eδt. Para un año, su tasa efectiva vencida equivalente es:

Una fuerza anual del 12 % equivale a 12,749685 % efectivo anual. Ambas acumulan mediante el mismo factor e0,12 = 1,12749685.

13.9 Una tasa nominal depende de su frecuencia

Una TNA vencida j(m) produce el factor anual (1 + j(m)/m)m. Dos TNA con frecuencias distintas son equivalentes si esos factores coinciden, no si sus valores nominales coinciden.

La TNA trimestral equivalente es mayor porque su tasa periódica actúa menos veces. Las dos generan la misma tasa efectiva anual del 26,824179 %.

13.10 El horizonte común

La equivalencia siempre debe asociarse a un intervalo. Para tasas constantes bajo capitalización compuesta, igualar el factor de un período base suele garantizar igualdad en múltiplos y fracciones compatibles de ese período.

Sin embargo, si las tasas cambian por tramos, existen promociones temporales, escalones o reglas distintas para períodos incompletos, dos alternativas pueden coincidir a un año y no a seis meses. Por eso conviene escribir “equivalentes para el horizonte de un año” en lugar de omitirlo.

13.11 Proporcionalidad no es equivalencia compuesta

Multiplicar una tasa mensual por doce produce una cotización nominal, no necesariamente una tasa efectiva anual equivalente. Con 2 % mensual:

La aproximación 12imensual puede acercarse cuando la tasa es pequeña, pero no satisface exactamente la igualdad de factores.

13.12 Propiedades de la relación de equivalencia

Fijados el horizonte y las convenciones, la equivalencia de tasas tiene tres propiedades:

• Reflexiva: toda tasa es equivalente a sí misma.
• Simétrica: si A es equivalente a B, entonces B es equivalente a A.
• Transitiva: si A equivale a B y B equivale a C, entonces A equivale a C.

Estas propiedades permiten usar una tasa efectiva del horizonte como referencia intermedia: convertir A a efectiva anual y luego esa tasa a B conserva el factor, salvo errores de redondeo.

13.13 Equivalencia teórica y propuestas reales

Dos tasas equivalentes describen el mismo crecimiento dentro del modelo. Dos productos financieros solo son económicamente equivalentes si además coinciden todos sus flujos: desembolsos, cuotas, comisiones, impuestos, seguros y fechas.

Una “tasa equivalente” no compensa automáticamente una comisión inicial fija ni un costo mensual adicional. En esos casos se necesita construir la secuencia completa de flujos y compararla mediante una ecuación de valor.

13.14 Laboratorio: comparar dos cotizaciones

Ingresá dos tasas. Cada una se transforma primero en factor anual y luego se evalúa durante el horizonte elegido.

13.15 Implementación con JavaScript

Una estrategia segura consiste en normalizar cada cotización a un factor anual:

function factorAnual(tasa, tipo) {
  if (!Number.isFinite(tasa)) throw new TypeError("La tasa debe ser finita");

  const factores = {
    efectivaAnual: () => 1 + tasa,
    efectivaMensual: () => (1 + tasa) ** 12,
    nominalMensual: () => (1 + tasa / 12) ** 12,
    anticipadaAnual: () => 1 / (1 - tasa),
    fuerzaAnual: () => Math.exp(tasa)
  };
  if (!factores[tipo]) throw new RangeError("Tipo desconocido");

  const factor = factores[tipo]();
  if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
    throw new RangeError("La cotización no produce un factor válido");
  }
  return factor;
}

function sonEquivalentes(a, tipoA, b, tipoB, tolerancia = 1e-10) {
  const factorA = factorAnual(a, tipoA);
  const factorB = factorAnual(b, tipoB);
  return Math.abs(factorA - factorB) <= tolerancia *
    Math.max(1, Math.abs(factorA), Math.abs(factorB));
}

console.log(sonEquivalentes(0.02, "efectivaMensual",
  (1.02 ** 12) - 1, "efectivaAnual"));

La comparación usa tolerancia relativa porque los números de punto flotante y las tasas publicadas con pocos decimales rara vez coinciden bit a bit.

13.16 Errores frecuentes

• Igualar porcentajes: la equivalencia exige igualar factores.
• Comparar períodos distintos directamente: primero deben llevarse a un horizonte común.
• Multiplicar tasas efectivas: en interés compuesto se multiplican factores, no tasas.
• Dividir una tasa efectiva anual por doce: eso no produce la mensual equivalente.
• Omitir modalidad o frecuencia: impide construir correctamente el factor.
• Exigir igualdad exacta en código: debe contemplarse una tolerancia numérica justificada.
• Ignorar costos externos: tasas equivalentes no garantizan productos equivalentes.

13.17 Ejercicio propuesto

Una inversión ofrece una TNA vencida del 30 % convertible mensualmente. Otra ofrece una tasa efectiva trimestral del 7,70 %.

1. Calculá el factor trimestral de la primera alternativa.
2. Obtené su tasa efectiva trimestral equivalente.
3. Decidí si 7,70 % trimestral es exactamente equivalente.
4. Compará los capitales finales sobre $500.000 durante un año.

const capital = 500000;
const factorA = (1 + 0.30 / 12) ** 12;
const factorB = (1 + 0.077) ** 4;
console.log({
  trimestralEquivalente: (1 + 0.30 / 12) ** 3 - 1,
  capitalA: capital * factorA,
  capitalB: capital * factorB,
  diferencia: capital * (factorB - factorA)
});

13.18 Ideas para recordar

• Dos tasas son equivalentes si producen el mismo factor entre las mismas fechas.
• La igualdad numérica de porcentajes no demuestra equivalencia.
• Los factores permiten comparar cotizaciones de distinta naturaleza.
• En modelos proporcionales, la equivalencia no depende del capital usado como prueba.
• El horizonte, la modalidad, la frecuencia y la convención temporal deben estar definidos.
• Comisiones y otros flujos requieren analizar la operación completa.

En el próximo tema construiremos formalmente la ecuación de equivalencia mediante factores de acumulación.