14. Ecuación de equivalencia mediante factores de acumulación

14.1 Del significado a la ecuación

En el tema anterior definimos tasas equivalentes como aquellas que producen el mismo efecto entre las mismas fechas. Ahora transformaremos esa idea en un método de cálculo.

Si las alternativas A y B actúan desde t0 hasta t1, sus factores son FA(t0,t1) y FB(t0,t1). La ecuación fundamental es:

Idea central: primero se igualan efectos financieros; recién después se despeja la tasa. No existe una única fórmula de conversión aislada de la modalidad, el período y la ley de cada lado.

14.2 Procedimiento general en cuatro pasos

14.3 Función de acumulación

Una función de acumulación a(t) indica cuánto vale en t una unidad monetaria colocada en el instante 0. Por convención, a(0)=1.

Si el origen no coincide con la fecha inicial, el factor entre s y t es a(t)/a(s). En modelos estacionarios con tasa constante depende solo de la duración t−s; con tasas variables puede depender de ambas fechas.

14.4 Catálogo de factores

14.5 Conversión entre tasas efectivas

Si una tasa efectiva ip corresponde a un período de longitud p años y buscamos la equivalente para un período de longitud q, igualamos los factores sobre q años:

Con 2 % mensual, p=1/12 y q=1. Así, ianual=1,0212−1=26,824179 %.

14.6 El exponente cuenta períodos

El cociente q/p expresa cuántos períodos de la tasa original caben en el nuevo horizonte. Para pasar de una tasa trimestral a una mensual, q/p=(1/12)/(1/4)=1/3.

La raíz no es una corrección arbitraria: es el despeje del factor mensual que, repetido tres veces, reproduce el factor trimestral.

14.7 De nominal a efectiva y viceversa

Para una TNA vencida convertible m veces por año y una tasa efectiva anual:

El segundo despeje construye primero la tasa efectiva de cada subperíodo y luego la expresa como cotización nominal anual.

14.8 Entre frecuencias nominales

Dos TNA vencidas j(m) y j(k) son equivalentes si:

Puede utilizarse la tasa efectiva anual como puente, pero no es obligatorio. Para una TNA del 24 % mensual y una frecuencia trimestral: j(4)=4[(1+0,24/12)12/4−1]=24,4832 %.

14.9 Modalidad anticipada

Al convertir una tasa anticipada no se reemplaza d por i. Debe usarse su factor propio. Para hallar la tasa vencida equivalente del mismo período:

Para convertir una anticipada mensual en efectiva anual vencida, la ecuación es 1+ianual=(1−dmensual)−12.

14.10 Capitalización continua y logaritmos

Al igualar una fuerza anual constante con una tasa efectiva anual obtenemos eδ=1+i. El logaritmo natural permite bajar la incógnita del exponente:

En ecuaciones como (1+i)n=F, el mismo principio permite despejar un plazo: n=ln(F)/ln(1+i), siempre que los argumentos sean válidos.

14.11 Factores de actualización

También puede escribirse la equivalencia hacia atrás. Si vA=1/FA y vB=1/FB, entonces:

Elegir acumulación o actualización depende de la dirección más cómoda. Mezclar un factor de acumulación con uno de actualización sin invertirlo produce una ecuación incorrecta.

14.12 Dominio y unicidad

Los factores deben ser positivos para admitir potencias reales y logaritmos. Esto exige i>−1, d<1 y factores periódicos nominales positivos.

Dentro de esos dominios, las transformaciones usuales son monótonas: a cada factor positivo corresponde una única tasa de cada tipo para un período y frecuencia fijados. Si la frecuencia no está fijada, una “TNA equivalente” no es única.

14.13 Redondear después de despejar

La tasa equivalente suele tener muchos decimales. Redondearla y reutilizarla durante numerosos períodos puede romper la igualdad exacta.

Control numérico: conserve precisión completa durante el cálculo, redondee para mostrar y vuelva a evaluar ambos factores. Informe la tolerancia si el programa decide automáticamente si una ecuación se cumple.

14.14 Laboratorio: resolver la ecuación de factores

Ingresá una cotización de origen y elegí la forma de destino. La herramienta conserva el factor anual y verifica ambos lados durante el horizonte indicado.

14.15 Implementación con JavaScript

Separar la conversión a factor de la conversión desde factor reduce fórmulas duplicadas:

function desdeFactorAnual(factor, tipo) {
  if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
    throw new RangeError("El factor debe ser positivo y finito");
  }
  switch (tipo) {
    case "efectivaAnual": return factor - 1;
    case "efectivaMensual": return factor ** (1 / 12) - 1;
    case "nominalMensual": return 12 * (factor ** (1 / 12) - 1);
    case "anticipadaAnual": return 1 - 1 / factor;
    case "fuerzaAnual": return Math.log(factor);
    default: throw new RangeError("Tipo desconocido");
  }
}

const factor = (1 + 0.24 / 12) ** 12;
console.log({
  efectivaAnual: desdeFactorAnual(factor, "efectivaAnual"),
  anticipadaAnual: desdeFactorAnual(factor, "anticipadaAnual"),
  fuerzaAnual: desdeFactorAnual(factor, "fuerzaAnual")
});

14.16 Errores frecuentes

• Igualar tasas en lugar de factores: las cotizaciones pueden tener escalas distintas.
• Olvidar el número de períodos: el exponente representa cuántas veces actúa el factor.
• Dividir una tasa efectiva: la conversión compuesta requiere raíces o potencias.
• Aplicar 1+d a una anticipada: su factor es 1/(1−d).
• Usar logaritmo decimal: las fórmulas continuas utilizan logaritmo natural.
• Redondear antes de verificar: puede crear diferencias acumuladas.

14.17 Ejercicio propuesto

Convertí una TNA vencida del 36 % convertible trimestralmente a una tasa efectiva mensual y a una fuerza anual. Luego calculá el valor de $800.000 después de 18 meses.

const factorAnual = (1 + 0.36 / 4) ** 4;
const mensual = factorAnual ** (1 / 12) - 1;
const fuerza = Math.log(factorAnual);
const capitalFinal = 800000 * factorAnual ** 1.5;
console.log({ factorAnual, mensual, fuerza, capitalFinal });

14.18 Ideas para recordar

• La ecuación general de equivalencia es la igualdad de factores en fechas comunes.
• El exponente cuenta períodos y su inversa aparece como una raíz.
• Toda cotización debe traducirse usando su propio factor.
• Un factor anual positivo puede expresarse de manera única en cada tipo y frecuencia fijados.
• Los logaritmos despejan fuerzas o plazos ubicados en exponentes.
• La solución debe comprobarse sustituyéndola en ambos lados.

En el próximo tema aplicaremos este método a la conversión entre tasas efectivas de distintos períodos.