15. Conversión entre tasas efectivas de distintos períodos

15.1 Cambiar el período sin cambiar el efecto

Una tasa efectiva mide la variación relativa durante un período determinado. Al pasar de mensual a anual, trimestral o diario no se cambia solamente la etiqueta: se busca una nueva tasa cuyo factor sea compatible con el original.

Si una tasa mensual es 2 %, cada mes multiplica el capital por 1,02. La tasa anual equivalente debe representar el resultado de repetir ese factor doce veces.

Idea central: se convierten factores mediante potencias o raíces. Multiplicar o dividir porcentajes corresponde a proporcionalidad nominal o simple, no a equivalencia compuesta exacta.

15.2 Describir los dos períodos

Por ejemplo, un mes representa p=1/12 de año y un trimestre q=1/4. En un trimestre caben q/p=3 meses.

15.3 Fórmula general

Sean ip e iq tasas efectivas vencidas para períodos de longitudes p y q. La igualdad de factores es:

La fórmula funciona tanto para ampliar como para reducir el período, siempre que 1+ip>0 y las unidades temporales sean coherentes.

15.4 De un período corto a uno largo

Cuando q>p, el exponente q/p es mayor que uno y el factor se repite. Con 1,5 % efectivo mensual:

La tasa anual supera 12×1,5 %=18 % porque los intereses de cada mes se incorporan a la base de los meses siguientes.

15.5 De un período largo a uno corto

Cuando q<p, el exponente está entre cero y uno: aparece una raíz. Para convertir 24 % efectivo anual a mensual:

Doce aplicaciones de 1,808759 % reproducen 24 % anual. Dividir 24 % por doce daría 2 % y generaría 26,824179 % anual, por lo que no sería equivalente.

15.6 Usar períodos por año

Si el período de origen ocurre m veces por año y el de destino k veces por año, entonces p=1/m, q=1/k y q/p=m/k:

Los subíndices indican frecuencias, no duración: i12 es mensual e i4 es trimestral bajo esta convención.

15.7 Ejemplo completo: trimestral a mensual y anual

Sea una tasa efectiva trimestral del 6 %. Como hay cuatro trimestres y doce meses por año:

La comprobación es (1+imensual)3=1,06 y (1+imensual)12=1,26247696.

15.8 Tabla de relaciones habituales

15.9 Conversión diaria y base temporal

La etiqueta “diaria” no determina por sí sola cuántos períodos hay en un año. Puede utilizarse 360, 365 o 366 según la convención y las fechas.

Una misma tasa diaria produce tasas anuales distintas si cambia N. La base temporal forma parte del dato y debe conservarse durante la conversión.

15.10 Períodos no enteros

La fórmula admite un cociente q/p no entero bajo una extensión compuesta del modelo. Una tasa bimestral aplicada durante cinco meses corresponde a 5/2=2,5 períodos:

Esta extensión debe ser compatible con el contrato. Algunas operaciones definen otra regla para fracciones de período.

15.11 Tasas efectivas negativas

La conversión sigue siendo válida para −1<ip<0. El factor está entre cero y uno, y cualquier potencia positiva permanece positiva y menor que uno.

Por ejemplo, −2 % mensual equivale a 0,9812−1=−21,528328 % anual. No equivale a −24 %: la disminución de cada mes actúa sobre una base cada vez menor.

15.12 Orden y monotonicidad

Para un mismo período de origen y dentro del dominio, una tasa mayor produce un factor mayor y, por lo tanto, una tasa equivalente mayor en cualquier período de destino.

Para tasas positivas, ampliar el período aumenta el porcentaje efectivo; reducirlo lo disminuye. Para tasas negativas ocurre el orden temporal opuesto en valor numérico: una pérdida acumulada durante más tiempo se vuelve más negativa.

15.13 Cuándo no se puede usar una sola conversión

La fórmula supone que el mismo factor periódico se repite. Si la tasa cambia mes a mes, primero se multiplican los factores observados:

Luego puede expresarse ese factor mediante una tasa efectiva equivalente para el intervalo completo. Promediar aritméticamente tasas periódicas no conserva, en general, la acumulación.

15.14 Laboratorio: convertir períodos efectivos

Indicá cuántos períodos de cada tipo contiene un año. El laboratorio construye el exponente y verifica ambas tasas sobre un horizonte común.

15.15 Implementación con JavaScript

function convertirTasaEfectiva(tasaOrigen, periodosOrigen, periodosDestino) {
  if (!Number.isFinite(tasaOrigen) || tasaOrigen <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser finita y mayor que -1");
  }
  if (!Number.isFinite(periodosOrigen) || periodosOrigen <= 0 ||
      !Number.isFinite(periodosDestino) || periodosDestino <= 0) {
    throw new RangeError("Las frecuencias deben ser positivas");
  }
  const exponente = periodosOrigen / periodosDestino;
  return Math.expm1(exponente * Math.log1p(tasaOrigen));
}

const mensual = 0.02;
console.log({
  trimestral: convertirTasaEfectiva(mensual, 12, 4),
  semestral: convertirTasaEfectiva(mensual, 12, 2),
  anual: convertirTasaEfectiva(mensual, 12, 1)
});

Math.log1p y Math.expm1 mejoran la precisión para tasas cercanas a cero. La expresión es algebraicamente igual a (1+tasaOrigen)**exponente−1.

15.16 Errores frecuentes

• Multiplicar o dividir tasas efectivas: deben convertirse sus factores.
• Invertir el exponente: con frecuencias por año se usa m/k.
• Confundir frecuencia con duración: 12 períodos por año significa un período de 1/12 de año.
• Omitir la base diaria: impide saber el exponente anual.
• Redondear la tasa corta demasiado pronto: el error se repite al elevar.
• Suponer constancia: tasas variables requieren multiplicar factores reales.

15.17 Ejercicio propuesto

Una inversión rinde 3,5 % efectivo bimestral. Convertí la tasa a efectiva mensual, trimestral y anual. Luego calculá el valor de $600.000 después de 15 meses bajo extensión compuesta.

const tasaBimestral = 0.035;
const mensual = (1 + tasaBimestral) ** 0.5 - 1;
const trimestral = (1 + tasaBimestral) ** 1.5 - 1;
const anual = (1 + tasaBimestral) ** 6 - 1;
const capitalFinal = 600000 * (1 + tasaBimestral) ** (15 / 2);
console.log({ mensual, trimestral, anual, capitalFinal });

15.18 Ideas para recordar

• Una tasa efectiva siempre pertenece a un período.
• La conversión general es iq=(1+ip)q/p−1.
• De períodos cortos a largos aparecen potencias; en sentido inverso, raíces.
• Con frecuencias por año, el exponente es origen dividido destino.
• La base temporal define las conversiones diarias.
• La tasa convertida debe comprobarse mediante factores.

En el próximo tema estudiaremos específicamente el paso de una tasa efectiva subperiódica a una efectiva anual.