16. De una tasa efectiva subperiódica a una efectiva anual

16.1 Qué significa anualizar

Una tasa subperiódica corresponde a un intervalo menor que un año: mes, bimestre, trimestre, semestre, semana o día. Anualizarla consiste en hallar la tasa efectiva anual que produce exactamente el mismo factor durante un año.

El resultado se denomina tasa efectiva anual (TEA). No es una simple proyección proporcional: incorpora la capitalización de los intereses generados dentro del año.

Idea central: si el año contiene m períodos y la tasa efectiva de cada uno es im, el factor anual es (1+im)m.

16.2 Los datos necesarios

Decir “3 % periódico” no alcanza: debe saberse si el período es mensual, trimestral u otro. La frecuencia forma parte de la conversión.

16.3 Fórmula de la TEA

La ecuación de equivalencia sobre un año es:

La tasa entra como tanto por uno. Si im=2 %, se utiliza 0,02, no 2.

16.4 Ejemplo mensual

Una tasa efectiva mensual del 2 % actúa doce veces durante el año:

Sobre $100.000, el valor al final del año es $126.824,18. La diferencia de $26.824,18 representa la TEA aplicada al capital inicial.

16.5 Frecuencias habituales

16.6 Ejemplo trimestral

Con 5 % efectivo trimestral, el factor de cada trimestre es 1,05 y hay cuatro aplicaciones:

La proyección proporcional sería 20 %, pero omitiría los intereses generados por los primeros trimestres sobre la base de los siguientes.

16.7 TEA y tasa nominal proporcional

A partir de una tasa efectiva subperiódica pueden construirse dos cotizaciones anuales diferentes:

Con 2 % mensual, la TNA es 24 % y la TEA es 26,824179 %. La TNA declara proporcionalmente la tasa periódica; la TEA mide el efecto compuesto del año.

16.8 El recorrido completo

16.9 Anualización diaria

Para una tasa efectiva diaria, m depende de la base: 360, 365 o la cantidad real de días del año. Con 0,05 % diario:

La diferencia no proviene de la tasa diaria, sino del número de veces que se aplica. La convención debe declararse.

16.10 Tasas negativas

La fórmula admite −1<im<0. Con −1 % mensual:

No se obtiene −12 %, porque cada disminución actúa sobre un capital menor. El factor anual continúa siendo positivo.

16.11 Efecto de la frecuencia y la tasa

Para una tasa periódica positiva fija, aumentar m aumenta la TEA porque se repite el mismo crecimiento más veces. Esta comparación no mantiene una misma TNA: mantiene una misma tasa efectiva por período.

No debe concluirse que “más frecuencia siempre conviene” sin aclarar qué dato permanece fijo. Si se mantiene fija una TEA, las tasas subperiódicas equivalentes disminuyen al aumentar la frecuencia.

16.12 Tasas que cambian dentro del año

Si las tasas efectivas no son iguales en todos los períodos, no existe una única im para elevar. Se multiplican los factores observados:

La tasa periódica constante equivalente es la media geométrica de los factores menos uno: [(∏(1+ik))1/m]−1.

16.13 Aproximación lineal

Para tasas pequeñas, (1+i)m−1≈mi. La diferencia se debe a términos de orden superior del desarrollo binomial.

Uso: la aproximación ayuda a estimar mentalmente, pero una equivalencia financiera exacta debe utilizar la potencia completa.

16.14 Laboratorio: anualizar una tasa periódica

Ingresá una tasa y su cantidad de aplicaciones anuales. Se muestran simultáneamente la TEA, la TNA proporcional y el efecto monetario.

16.15 Implementación con JavaScript

function anualizarTasaEfectiva(tasaPeriodica, periodosPorAnio) {
  if (!Number.isFinite(tasaPeriodica) || tasaPeriodica <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa periódica debe ser mayor que -1");
  }
  if (!Number.isFinite(periodosPorAnio) || periodosPorAnio <= 0) {
    throw new RangeError("La frecuencia anual debe ser positiva");
  }
  return Math.expm1(periodosPorAnio * Math.log1p(tasaPeriodica));
}

console.log({
  desdeMensual: anualizarTasaEfectiva(0.02, 12),
  desdeTrimestral: anualizarTasaEfectiva(0.05, 4),
  desdeDiaria365: anualizarTasaEfectiva(0.0005, 365)
});

La combinación Math.log1p/Math.expm1 mejora la precisión para tasas muy cercanas a cero.

16.16 Errores frecuentes

• Confundir TEA con TNA: una mide el efecto anual y la otra cotiza proporcionalmente.
• Multiplicar la tasa por m: eso no incorpora composición.
• Elevar la tasa: se eleva el factor 1+i.
• Restar uno antes de terminar: primero se calcula el factor anual completo.
• Usar 365 automáticamente: la base diaria debe estar indicada.
• Promediar tasas variables: deben multiplicarse sus factores.

16.17 Ejercicio propuesto

Una inversión ofrece 0,45 % efectivo semanal bajo una convención de 52 semanas por año. Calculá la TNA proporcional, la TEA y el valor de $1.200.000 después de 18 meses.

const semanal = 0.0045;
const frecuencia = 52;
const tna = frecuencia * semanal;
const tea = (1 + semanal) ** frecuencia - 1;
const capitalFinal = 1200000 * (1 + tea) ** 1.5;
console.log({ tna, tea, capitalFinal });

16.18 Ideas para recordar

• La TEA reproduce en un año el efecto de la tasa subperiódica.
• Se calcula como (1+im)m−1.
• La TNA proporcional es mim y no coincide normalmente con la TEA.
• La frecuencia y la convención temporal son datos indispensables.
• Para tasas variables se multiplican factores.
• La potencia completa da la equivalencia exacta.

En el próximo tema recorreremos el camino inverso: de una tasa efectiva anual a una tasa subperiódica.