17. De una tasa efectiva anual a una tasa subperiódica

17.1 Recorrer el camino inverso

En el tema anterior repetimos un factor subperiódico para obtener la tasa efectiva anual. Ahora conocemos la TEA y buscamos la tasa efectiva de cada mes, trimestre, semana u otro período.

Si el factor anual es 1+TEA y el año contiene m períodos iguales, necesitamos un factor que, elevado a m, reproduzca el anual. Por eso aparece una raíz.

Idea central: la tasa subperiódica equivalente no se obtiene dividiendo la TEA por la frecuencia. Se obtiene extrayendo la raíz m-ésima del factor anual.

17.2 La ecuación de equivalencia

La ecuación exige TEA>−1, de modo que el factor anual sea positivo. La frecuencia m debe ser positiva y coherente con la convención temporal.

17.3 Interpretar la raíz

La raíz distribuye multiplicativamente el factor anual. No reparte aritméticamente el porcentaje.

17.4 Ejemplo: de TEA a tasa mensual

Para una TEA del 24 %, el factor anual es 1,24. La tasa efectiva mensual equivalente es:

La comprobación recupera el factor de origen: 1,018087582512=1,24.

17.5 Por qué no se divide por doce

Dividir 24 % por doce produce 2 % mensual. Pero doce factores de 1,02 generan:

El 2 % mensual corresponde a una TNA proporcional del 24 %, no a una TEA del 24 %. Para tasas positivas, la división entrega una tasa periódica mayor que la equivalente compuesta.

17.6 Ejemplo: de TEA a tasa trimestral

Una TEA del 30 % equivale a una tasa trimestral obtenida con m=4:

Cuatro trimestres con esa tasa reproducen exactamente el factor anual 1,30.

17.7 Conversiones habituales

17.8 TNA asociada a la tasa obtenida

Después de calcular la tasa efectiva periódica puede construirse la TNA vencida convertible con esa frecuencia:

Para una TEA del 24 %, la tasa mensual equivalente es 1,808758 % y la TNA convertible mensualmente equivalente es 21,705099 %. Esa TNA no es 24 %.

17.9 Tasa diaria y base de días

La tasa diaria equivalente depende del número de días convencionales del año:

Para una misma TEA positiva, la tasa diaria con base 365 es ligeramente menor porque el factor anual se distribuye en más períodos.

17.10 Tasas anuales negativas

Con una TEA de −20 %, el factor anual es 0,80 y la tasa mensual equivalente es:

Doce disminuciones mensuales de ese porcentaje generan exactamente una disminución anual del 20 %. Dividir −20 % por doce no conserva el factor.

17.11 Comportamiento al aumentar la frecuencia

Para una TEA positiva fija, la tasa efectiva de cada período disminuye cuando aumenta m. El factor de cada tramo se acerca a uno, pero se aplica más veces.

La TNA equivalente m[(1+TEA)1/m−1] también disminuye y se aproxima a ln(1+TEA), la fuerza anual equivalente, cuando m tiende a infinito.

17.12 Relación con la fuerza de interés

Tomando logaritmos en la ecuación anual:

Por lo tanto, im=eδ/m−1. La fuerza sirve como una escala aditiva: cada subperíodo igual aporta δ/m al logaritmo del factor.

17.13 Períodos irregulares y fechas

La raíz m-ésima supone que el año se divide en m períodos equivalentes. Meses calendario tienen distinta cantidad de días, y una operación diaria puede atravesar un año bisiesto.

Si la equivalencia se basa en fracciones exactas de año, puede usarse i(t)=(1+TEA)t−1, donde t surge de la convención temporal. Esa convención debe ser parte del dato.

17.14 Aproximación y error

Para una TEA pequeña, im≈TEA/m. La aproximación pierde precisión al aumentar la tasa.

Regla práctica: use la división solo como estimación mental. Para contratos, comparaciones o código, calcule la raíz con toda la precisión disponible y verifique elevando el factor obtenido.

17.15 Laboratorio: desanualizar una TEA

Ingresá una TEA y la cantidad de subperíodos anuales. El laboratorio calcula la tasa periódica, la TNA asociada y verifica el capital en cualquier plazo.

17.16 Implementación con JavaScript

function tasaSubperiodica(tea, periodosPorAnio) {
  if (!Number.isFinite(tea) || tea <= -1) {
    throw new RangeError("La TEA debe ser finita y mayor que -1");
  }
  if (!Number.isFinite(periodosPorAnio) || periodosPorAnio <= 0) {
    throw new RangeError("La frecuencia debe ser positiva");
  }
  return Math.expm1(Math.log1p(tea) / periodosPorAnio);
}

const tea = 0.24;
const mensual = tasaSubperiodica(tea, 12);
console.log({
  mensual,
  trimestral: tasaSubperiodica(tea, 4),
  diaria365: tasaSubperiodica(tea, 365),
  comprobacion: (1 + mensual) ** 12 - 1
});

Math.log1p y Math.expm1 conservan mejor la precisión cuando la TEA o la tasa periódica son muy pequeñas.

17.17 Errores frecuentes

• Dividir la TEA por la frecuencia: no conserva la composición.
• Extraer la raíz de la tasa: la raíz se aplica al factor 1+TEA.
• Olvidar restar uno: la raíz produce un factor, no una tasa.
• Confundir tasa periódica con TNA: la TNA multiplica la primera por m.
• Elegir automáticamente 365 días: la base debe estar especificada.
• Redondear antes de comprobar: puede impedir reconstruir la TEA.

17.18 Ejercicio propuesto

Una inversión informa una TEA del 42 %. Calculá las tasas efectivas trimestral, mensual y diaria con base 365. Luego obtené el valor de $900.000 después de 20 meses.

const tea = 0.42;
const trimestral = (1 + tea) ** (1 / 4) - 1;
const mensual = (1 + tea) ** (1 / 12) - 1;
const diaria365 = (1 + tea) ** (1 / 365) - 1;
const capitalFinal = 900000 * (1 + tea) ** (20 / 12);
console.log({ trimestral, mensual, diaria365, capitalFinal });

17.19 Ideas para recordar

• La tasa subperiódica se obtiene de la raíz del factor anual.
• La fórmula es im=(1+TEA)1/m−1.
• Dividir la TEA genera una aproximación, no una equivalencia compuesta.
• La TNA asociada es m·im.
• La base temporal determina la frecuencia diaria.
• La comprobación consiste en reconstruir (1+im)m=1+TEA.

En el próximo tema integraremos estos procedimientos en la conversión entre tasas nominales y efectivas.