18. Conversión entre tasas nominales y efectivas

La tasa periódica funciona como puente entre una cotización nominal, su factor de capitalización y la tasa efectiva del horizonte.

18.1 Dos maneras de expresar una misma operación

Una tasa efectiva mide directamente la variación relativa ocurrida en su período. Una tasa nominal anual es una cotización proporcional que necesita una frecuencia para determinar la tasa efectiva de cada subperíodo.

Por eso una TNA del 24 % convertible mensualmente no significa 24 % efectivo anual. Primero produce 2 % efectivo mensual y luego doce factores mensuales generan 26,824179 % efectivo anual.

Idea central: no se convierte una tasa nominal en efectiva cambiando su nombre. Se identifica la tasa periódica, se construye el factor del horizonte y se expresa ese factor en la cotización buscada.

18.2 El puente de tres etapas

j(m)tasa nominal declarada
im=j(m)/mtasa efectiva periódica
(1+im)nfactor del horizonte
it=F−1tasa efectiva resultante

En sentido inverso, se parte del factor efectivo, se extrae la raíz correspondiente al subperíodo y se anualiza proporcionalmente la tasa periódica para obtener la nominal.

18.3 Nominal vencida a efectiva periódica

Para una TNA vencida j(m) convertible m veces por año, la tasa efectiva de cada período es:

im=j(m)/m

Esta división es válida porque forma parte de la definición de la tasa nominal. No es la regla general para dividir tasas efectivas.

Ejemplo: j(4)=28 % determina i4=28 %/4=7 % efectivo trimestral.

18.4 Nominal vencida a TEA

Durante un año se aplican m factores periódicos:

1+TEA=(1+j(m)/m)m
TEA=(1+j(m)/m)m−1

Con una TNA del 24 % convertible mensualmente:

i12=0,24/12=0,02
TEA=1,0212−1=26,824179 %

18.5 Nominal vencida a una efectiva no anual

Si el horizonte contiene n períodos de capitalización, la tasa efectiva es:

in períodos=(1+j(m)/m)n−1

Con la TNA mensual del 24 %, la tasa efectiva trimestral es 1,023−1=6,1208 % y la semestral es 1,026−1=12,616242 %.

18.6 TEA a nominal vencida

Para encontrar una TNA de frecuencia m equivalente a una TEA, primero se obtiene la tasa efectiva del subperíodo:

im=(1+TEA)1/m−1
j(m)=m[(1+TEA)1/m−1]

Una TEA del 30 % equivale, con frecuencia mensual, a una tasa efectiva mensual de 2,210445 % y una TNA de 26,525341 %.

18.7 La frecuencia cambia el valor nominal

Una misma TEA genera diferentes tasas nominales equivalentes según m:

Cotizaciones nominales vencidas equivalentes a una TEA del 30 %.
FrecuenciaTasa periódicaTNA equivalente
Anual, m=130,000000 %30,000000 %
Semestral, m=214,017543 %28,035085 %
Trimestral, m=46,778997 %27,115989 %
Mensual, m=122,210445 %26,525341 %

La frecuencia debe acompañar siempre al valor nominal. “26,525341 % nominal anual” queda incompleto si no se dice que es convertible mensualmente.

18.8 Cambiar entre tasas nominales vencidas

Dos tasas nominales con frecuencias m y k son equivalentes cuando sus factores anuales coinciden:

(1+j(m)/m)m=(1+j(k)/k)k

La TEA puede utilizarse como puente, aunque también puede despejarse directamente j(k)=k[(1+j(m)/m)m/k−1].

18.9 Nominal anticipada

Una tasa nominal anual anticipada f(m) determina una tasa anticipada periódica dm=f(m)/m. Su factor hacia el futuro es el recíproco de 1−dm:

TEA=(1−f(m)/m)−m−1

Con 24 % nominal anual anticipada y frecuencia mensual, d12=2 % y la TEA vencida equivalente es 0,98−12−1=27,434521 %.

18.10 TEA a nominal anticipada

El camino inverso iguala el factor anual efectivo con el factor anticipado:

1+TEA=(1−f(m)/m)−m
f(m)=m[1−(1+TEA)−1/m]

La expresión entre corchetes es la tasa anticipada efectiva de cada subperíodo; multiplicarla por m construye la cotización nominal anticipada.

18.11 Igual porcentaje, distinto efecto

Una tasa nominal del 24 % mensual vencida y otra del 24 % mensual anticipada comparten porcentaje y frecuencia, pero no factor:

vencida: (1+0,24/12)12=1,26824179
anticipada: (1−0,24/12)−12=1,27434521

Las TEA respectivas son 26,824179 % y 27,434521 %. La modalidad es tan necesaria como la frecuencia.

18.12 Dominio de las conversiones

Condiciones para factores periódicos positivos.
CotizaciónCondiciónMotivo
Nominal vencida1+j(m)/m>0Factor periódico positivo.
Nominal anticipada1−f(m)/m>0Factor de actualización positivo.
Efectiva anualTEA>−1Factor anual positivo.

Las tasas negativas son admisibles dentro del dominio. Las fórmulas inversas conservan esas condiciones cuando se calculan con factores positivos.

18.13 La fuerza de interés como límite

La fuerza anual equivalente a una TEA es δ=ln(1+TEA). Para nominales vencidas equivalentes:

j(m)=m(eδ/m−1) → δ cuando m→∞

La fuerza no es una tasa nominal de “frecuencia infinita” en sentido operativo, pero aparece como el límite matemático de sus cotizaciones equivalentes al aumentar la frecuencia.

18.14 Laboratorio: conversión nominal y efectiva

Elegí uno de los cuatro sentidos de conversión. La herramienta calcula la tasa periódica operativa, el factor anual y el capital acumulado.

Conversor nominal ↔ efectiva

La frecuencia siempre representa capitalizaciones iguales por año.

Tasa periódica operativa2,000000 % vencida
Tasa convertida26,824179 % TEA
Factor anual1,268242
Capital al año$126.824,18

Ecuación utilizada

TEA = (1 + 0,24 / 12)^12 − 1

La cotización convertida reproduce el factor anual de origen.

18.15 Implementación con JavaScript

function nominalVencidaATEA(nominal, frecuencia) {
  const periodica = nominal / frecuencia;
  if (1 + periodica <= 0) throw new RangeError("Factor no positivo");
  return Math.expm1(frecuencia * Math.log1p(periodica));
}

function teaANominalVencida(tea, frecuencia) {
  if (tea <= -1) throw new RangeError("La TEA debe ser mayor que -1");
  return frecuencia * Math.expm1(Math.log1p(tea) / frecuencia);
}

function nominalAnticipadaATEA(nominal, frecuencia) {
  const descuento = nominal / frecuencia;
  if (1 - descuento <= 0) throw new RangeError("Factor no positivo");
  return Math.expm1(-frecuencia * Math.log1p(-descuento));
}

console.log({
  tea: nominalVencidaATEA(0.24, 12),
  nominalRecuperada: teaANominalVencida(
    nominalVencidaATEA(0.24, 12), 12),
  teaAnticipada: nominalAnticipadaATEA(0.24, 12)
});

Las funciones reciben tasas como tanto por uno. La composición con log1p y expm1 reduce la pérdida de precisión cerca de cero.

18.16 Errores frecuentes

  • Tratar la TNA como TEA: la nominal necesita convertirse mediante su frecuencia.
  • Omitir m: una tasa nominal sin frecuencia no determina un factor.
  • Dividir una TEA por m: primero debe extraerse la raíz del factor anual.
  • Confundir vencida y anticipada: utilizan factores periódicos diferentes.
  • Comparar TNA de distintas frecuencias: deben llevarse a una tasa efectiva común.
  • Redondear la tasa periódica: el error se eleva al componer muchos períodos.

18.17 Ejercicio propuesto

Una alternativa ofrece una TNA vencida del 32 % convertible trimestralmente. Otra informa una TEA del 36 %.

  1. Calculá la tasa efectiva trimestral y la TEA de la primera.
  2. Convertí la TEA del 36 % a TNA vencida trimestral.
  3. Compará los factores anuales y el valor final de $750.000.
  4. Obtené además la tasa nominal anticipada trimestral equivalente a la TEA del 36 %.
Ver solución
Los resultados se calculan al cargar la página.
const capital = 750000;
const teaA = (1 + 0.32 / 4) ** 4 - 1;
const teaB = 0.36;
const nominalVencidaB = 4 * ((1 + teaB) ** (1 / 4) - 1);
const nominalAnticipadaB = 4 * (1 - (1 + teaB) ** (-1 / 4));
console.log({ teaA, nominalVencidaB, nominalAnticipadaB,
  finalA: capital * (1 + teaA), finalB: capital * (1 + teaB) });

18.18 Ideas para recordar

  • La tasa efectiva periódica es el puente entre una nominal y su factor.
  • Para una nominal vencida, im=j(m)/m.
  • La TEA vencida es (1+j(m)/m)m−1.
  • La nominal equivalente a una TEA depende de la frecuencia elegida.
  • Las nominales anticipadas utilizan el factor (1−f(m)/m)−m.
  • Toda conversión debe verificarse comparando factores.

En el próximo tema estudiaremos la equivalencia entre capitalización discreta y continua.

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