19. Equivalencia entre capitalización discreta y continua

19.1 Dos modelos para describir el crecimiento

En capitalización discreta, el interés se incorpora en períodos identificables. En capitalización continua, el capital evoluciona mediante una función exponencial en cada instante.

Ningún modelo es automáticamente “más rentable”: eso depende del valor de la cotización. Una tasa discreta y una fuerza de interés pueden elegirse para que produzcan exactamente el mismo capital en todas las fechas compatibles.

Idea central: convertir entre ambos modelos significa igualar (1+i)n con eδt, no igualar directamente los porcentajes i y δ.

19.2 Factores de cada modelo

19.3 La ecuación fundamental

Si hay m períodos discretos por año, durante t años hay mt períodos. La equivalencia exige:

Cuando las tasas son constantes, basta igualar el factor de un año: al elevar ambos lados a t, la igualdad se conserva para cualquier duración admitida por el modelo.

19.4 De tasa efectiva periódica a fuerza

Aplicamos logaritmo natural a la ecuación anual (1+im)m=eδ:

Si la tasa ya es efectiva anual, m=1 y queda δ=ln(1+TEA). El logaritmo transforma el producto compuesto en una intensidad anual aditiva.

19.5 De TNA vencida a fuerza

Como im=j(m)/m, sustituimos en la fórmula anterior:

Una TNA vencida del 24 % convertible mensualmente equivale a:

Ambas cotizaciones producen el factor anual 1,0212=eδ=1,26824179.

19.6 De fuerza a tasa efectiva periódica

Para despejar el factor de uno de los m períodos:

Con una fuerza anual del 18 %, la tasa efectiva mensual equivalente es e0,18/12−1=1,511306 %.

19.7 De fuerza a TNA vencida

La TNA equivalente se obtiene multiplicando la tasa periódica por su frecuencia:

Para δ=18 % y m=12, la TNA vencida equivalente es 18,135677 %. Su factor mensual, repetido doce veces, genera e0,18.

19.8 Conversión directa con la TEA

Una TEA del 30 % equivale a una fuerza anual de ln(1,30)=26,236426 %. La fuerza es numéricamente menor para tasas positivas, aunque el efecto anual es idéntico.

19.9 Modalidad anticipada y fuerza

Una tasa anticipada efectiva dm tiene factor periódico hacia el futuro (1−dm)−1. Su equivalencia continua es:

Para una nominal anticipada f(m), se sustituye dm=f(m)/m. Una nominal anticipada del 24 % mensual equivale a δ=−12ln(0,98)=24,243249 %.

19.10 El límite al aumentar la frecuencia

Si se mantiene fija una cotización nominal j y aumenta m:

En este experimento, j se convierte en la fuerza del modelo límite. Para una TNA positiva fija, el factor discreto crece hacia el factor continuo sin superarlo.

19.11 Límite y equivalencia no son lo mismo

Hay dos preguntas distintas:

• Misma cotización numérica: comparar una TNA j con fuerza δ=j. La continua produce un factor mayor para frecuencia finita y tasa positiva.
• Mismo efecto: ajustar j(m)=m(eδ/m−1). Entonces ambos factores coinciden exactamente.

Confundir estos escenarios lleva a afirmar simultáneamente que la capitalización continua produce “más” y “lo mismo”. Cada afirmación mantiene fijo un dato diferente.

19.12 Aproximación para tasas pequeñas

Como ln(1+x)≈x y ex−1≈x cerca de cero, la fuerza, la tasa efectiva y la nominal equivalente tienen valores cercanos cuando las tasas son pequeñas.

Precisión: la aproximación explica la cercanía, pero las equivalencias exactas deben usar logaritmos y exponenciales.

19.13 Dominio y tasas negativas

La conversión discreta a continua exige un factor positivo: 1+im>0. Toda fuerza real y finita produce eδ/m>0, por lo que su tasa discreta equivalente siempre es mayor que −100 %.

Si δ<0, el factor continuo disminuye con el tiempo. Las mismas fórmulas funcionan sin cambiar signos manualmente.

19.14 Fuerza variable y factores discretos variables

Si las tasas periódicas son i1,…,in, la fuerza constante equivalente durante un intervalo de longitud t satisface:

En el modelo continuo variable, el factor es exp(∫δ(s)ds). La equivalencia general iguala la suma de logaritmos discretos con la integral de la fuerza.

19.15 Laboratorio: discreta ↔ continua

Elegí el sentido de conversión. La frecuencia interviene cuando la cotización discreta es nominal; el plazo comprueba que ambos modelos acumulan igual.

19.16 Implementación con JavaScript

function nominalAFuerza(nominal, frecuencia) {
  const periodica = nominal / frecuencia;
  if (1 + periodica <= 0) throw new RangeError("Factor no positivo");
  return frecuencia * Math.log1p(periodica);
}

function fuerzaANominal(fuerza, frecuencia) {
  if (!Number.isFinite(fuerza) || frecuencia <= 0) {
    throw new RangeError("Datos no válidos");
  }
  return frecuencia * Math.expm1(fuerza / frecuencia);
}

const nominal = 0.24;
const fuerza = nominalAFuerza(nominal, 12);
console.log({
  fuerza,
  nominalRecuperada: fuerzaANominal(fuerza, 12),
  factorDiscreto: (1 + nominal / 12) ** 12,
  factorContinuo: Math.exp(fuerza)
});

19.17 Errores frecuentes

• Igualar porcentajes: deben igualarse factores.
• Usar logaritmo decimal: la fuerza requiere logaritmo natural.
• Omitir la frecuencia nominal: impide construir el factor discreto.
• Confundir límite con equivalencia: mantener la cotización no es mantener el efecto.
• Aplicar ln a una tasa: se aplica al factor 1+i.
• Ignorar la modalidad anticipada: su logaritmo parte de 1−d.

19.18 Ejercicio propuesto

Una inversión ofrece una TNA vencida del 30 % convertible trimestralmente. Calculá la fuerza anual equivalente, la TNA mensual equivalente y el valor de $800.000 después de 30 meses.

const nominalTrimestral = 0.30;
const fuerza = 4 * Math.log1p(nominalTrimestral / 4);
const nominalMensual = 12 * Math.expm1(fuerza / 12);
const capitalFinal = 800000 * Math.exp(fuerza * 2.5);
console.log({ fuerza, nominalMensual, capitalFinal });

19.19 Ideas para recordar

• La equivalencia discreta-continua se define por igualdad de factores.
• δ=m·ln(1+im) convierte una tasa periódica en fuerza anual.
• im=eδ/m−1 recorre el camino inverso.
• Para una TNA, primero se usa im=j(m)/m.
• El límite de una cotización fija y la conversión equivalente son problemas diferentes.
• Logaritmos de factores discretos e integrales de fuerza son magnitudes comparables.

En el próximo tema aplicaremos estas herramientas a la comparación de alternativas sobre un horizonte común.