23. Descuento racional simple

23.1 Anticipar un capital bajo interés simple

Un documento promete pagar un valor nominal N en una fecha futura. Si su tenedor desea recibir dinero antes, debe determinarse qué capital actual A, colocado a interés simple, alcanzaría exactamente ese valor al vencimiento.

El descuento racional —también llamado matemático— responde esa pregunta utilizando como base el valor actual. Se construye como la operación inversa de la capitalización simple.

Idea central: primero se plantea N=A(1+it); luego se despeja A=N/(1+it). La racionalidad del método proviene de esa equivalencia exacta.

23.2 Capitales y fechas

El plazo t mide la distancia entre ambas fechas en la unidad de la tasa i. Si la tasa es anual, t debe expresarse como fracción de año.

23.3 El factor simple y su inversa

23.4 Fórmula del valor actual

Partimos de la ecuación de interés simple:

La tasa i es una tasa simple vencida por unidad de tiempo. No debe reemplazarse por una tasa efectiva compuesta sin cambiar el modelo.

23.5 Importe del descuento racional

El descuento racional Dr es la diferencia entre el nominal y el valor actual:

La última igualdad muestra que el descuento racional coincide con el interés simple calculado sobre el valor efectivamente anticipado.

23.6 Ejemplo básico

Un documento de $120.000 vence dentro de seis meses. Se descuenta racionalmente con una tasa simple anual del 20 %. Como t=6/12=0,5:

La comprobación es $109.090,91×1,10=$120.000, salvo la diferencia mínima causada por redondear centavos.

23.7 Interpretación de la tasa

El 20 % anual del ejemplo no se aplica al nominal. Se aplica proporcionalmente al valor actual durante medio año:

Esta base distingue el descuento racional del comercial simple, donde el descuento se calcula sobre N.

23.8 Tasa efectiva de descuento del plazo

Puede medirse el descuento respecto del nominal:

En el ejemplo, it=10 % y la tasa anticipada efectiva del semestre es 0,10/1,10=9,090909 %. La tasa simple anual del 20 % y ese descuento efectivo no son porcentajes directamente comparables.

23.9 Diferencia con el descuento comercial

Con tasas positivas de igual valor numérico y mismo plazo, el descuento comercial es mayor. El próximo tema desarrollará ese modelo y sus restricciones.

23.10 Coherencia temporal

Si i es anual, un plazo mensual se expresa como meses/12. Para días se utiliza la base acordada:

Con los mismos días y tasa, la base 360 produce una fracción de año mayor que la base 365 y, para tasas positivas, un valor actual menor.

23.11 Despejar el nominal

Si se conoce cuánto se desea recibir hoy, el nominal equivalente al vencimiento es:

Recibir $500.000 hoy con una tasa simple anual del 30 % durante 90 días sobre base 360 requiere un nominal de $500.000×1,075=$537.500.

23.12 Despejar la tasa

Conocidos N, A y t>0:

La tasa resultante pertenece a la unidad usada para t. Si t está en años, será una tasa simple anual.

23.13 Despejar el plazo

Con una tasa no nula:

Después de obtener t, debe convertirse a días o meses con la misma convención temporal del planteo.

23.14 Dominio y casos límite

El modelo requiere 1+it>0. Con tasa positiva y plazo no negativo, la condición se cumple y 0<A≤N.

• Si t=0 o i=0, entonces A=N y el descuento es cero.
• Si i<0 dentro del dominio, el valor actual puede superar al nominal.
• Si 1+it=0, la división no está definida.

23.15 Sensibilidad y no linealidad del descuento

Aunque el interés simple Ait es lineal respecto del valor actual, el descuento expresado como función del nominal es Nit/(1+it), que no crece linealmente con t.

Para tasa positiva, aumentar el plazo reduce el valor actual y aumenta el descuento, pero este siempre permanece por debajo del nominal.

23.16 Redondeo y comprobación

Conviene calcular A con precisión completa, obtener Dr=N−A y redondear los importes al final. Calcular por separado dos expresiones redondeadas puede hacer que A+Dr no coincida exactamente con N.

Control: verifique siempre A(1+it)=N y A+Dr=N dentro de la tolerancia monetaria acordada.

23.17 Laboratorio: descuento racional simple

Ingresá el nominal, la tasa simple anual y un plazo en días, meses o años. Para días, elegí la base anual.

23.18 Implementación con JavaScript

function descuentoRacionalSimple(nominal, tasaAnual, tiempoAnios) {
  if (!Number.isFinite(nominal) || nominal <= 0) {
    throw new RangeError("El nominal debe ser positivo");
  }
  if (!Number.isFinite(tasaAnual) ||
      !Number.isFinite(tiempoAnios) || tiempoAnios < 0) {
    throw new RangeError("Tasa o plazo no válido");
  }
  const factor = 1 + tasaAnual * tiempoAnios;
  if (factor <= 0) throw new RangeError("El factor debe ser positivo");

  const valorActual = nominal / factor;
  const descuento = nominal - valorActual;
  return { factor, valorActual, descuento,
    tasaDescuentoPlazo: descuento / nominal };
}

console.log(descuentoRacionalSimple(120000, 0.20, 6 / 12));

23.19 Errores frecuentes

• Restar Nit: eso corresponde al descuento comercial, no al racional.
• Aplicar la tasa sobre el nominal: en el racional, el interés se calcula sobre el valor actual.
• Usar meses con tasa anual: deben convertirse a fracción de año.
• Omitir la base de días: cambia el plazo y el resultado.
• Componer la tasa: este tema usa una ley simple.
• Redondear antes de comprobar: puede romper la igualdad contable.

23.20 Ejercicio propuesto

Un documento de $2.400.000 vence dentro de 150 días. Calculá su valor actual y el descuento racional con una tasa simple anual del 32 % y base 360. Obtené también la tasa efectiva de descuento del plazo.

const nominal = 2400000;
const tasa = 0.32;
const tiempo = 150 / 360;
const factor = 1 + tasa * tiempo;
const actual = nominal / factor;
console.log({ tiempo, factor, actual, descuento: nominal - actual,
  tasaDescuento: 1 - 1 / factor });

23.21 Ideas para recordar

• El descuento racional simple invierte el factor 1+it.
• El valor actual es A=N/(1+it).
• El descuento es Dr=N−A=Ait.
• La tasa simple se mide sobre el valor actual, no sobre el nominal.
• La base temporal determina la fracción de año.
• Capitalización y actualización deben reconstruirse mutuamente.

En el próximo tema estudiaremos el descuento comercial simple, cuya base de cálculo es el valor nominal.