25. Descuento compuesto y tasa efectiva de descuento

25.1 Descontar período por período

En un régimen compuesto, actualizar varios períodos no significa restar repetidamente el mismo importe. Cada paso hacia atrás multiplica el valor por un factor de actualización.

Si la tasa efectiva de descuento por período es d, el factor es 1−d. Para retroceder n períodos desde un valor nominal N, ese factor se aplica n veces.

Idea central: A=N(1−d)n. La tasa d es efectiva y anticipada: mide la reducción de un período respecto del valor situado al final de ese período.

25.2 Magnitudes del modelo

25.3 Valor actual

Sea N el capital al vencimiento y A su valor actual:

Para 0<d<1 y n>0, el factor está entre cero y uno, de modo que A<N.

25.4 Importe del descuento compuesto

El descuento monetario es la diferencia entre nominal y valor actual:

El término entre corchetes es la tasa efectiva de descuento correspondiente a todo el horizonte.

25.5 Tasa efectiva de descuento acumulada

Con 4 % efectivo de descuento mensual durante seis meses:

No equivale a 6×4 %=24 %. Cada descuento posterior se aplica sobre un valor ya reducido al retroceder.

25.6 Ejemplo completo

Un documento de $500.000 vence dentro de cuatro trimestres y se descuenta al 5 % efectivo trimestral:

El valor actual representa 81,450625 % del nominal.

25.7 Lectura paso a paso

La dirección temporal importa: 1−d actualiza. Para avanzar hacia el futuro se utiliza su recíproco 1/(1−d).

25.8 Tasa vencida equivalente

Una tasa efectiva vencida i y una de descuento d son equivalentes en un período cuando:

Con d=5 %, la tasa vencida equivalente es 0,05/0,95=5,263158 %. Ambas generan el mismo factor hacia el futuro.

25.9 Equivalencia para varios períodos

Si i y d son equivalentes por período, entonces:

El descuento compuesto puede calcularse con cualquiera de las dos cotizaciones, siempre que se conviertan correctamente y pertenezcan al mismo período.

25.10 Comparación con descuento comercial simple

Para 0<d<1 y n>1, el descuento simple es mayor porque resta sobre el nominal original; el compuesto multiplica factores sobre valores sucesivos.

25.11 Tasa nominal anticipada

Una tasa nominal anual anticipada f(m) convertible m veces determina dm=f(m)/m. Para t años:

Su tasa efectiva anual de descuento es da=1−(1−f(m)/m)m.

25.12 De tasa anual de descuento a subperiódica

Si se conoce una tasa efectiva anual de descuento da y se buscan m períodos equivalentes:

La nominal anticipada equivalente será f(m)=m·dm.

25.13 Descuento continuo

Con fuerza de interés constante δ, el factor de actualización es e−δt. La tasa efectiva de descuento del horizonte es:

También se cumple δ=−ln(1−da) para una tasa anual de descuento.

25.14 Despejar el nominal

Conocidos el valor actual, la tasa y el plazo:

El denominador positivo evita ambigüedades y representa el factor total de actualización.

25.15 Despejar la tasa

Si N>0, A>0 y n>0:

La raíz obtiene el factor de actualización de un período. Restarlo de uno produce la tasa efectiva anticipada.

25.16 Despejar la cantidad de períodos

Cuando d≠0 y los logaritmos están definidos:

Con tasa positiva, ambos logaritmos son negativos y el cociente es positivo. Después debe traducirse n a meses, días o años.

25.17 Dominio y tasas negativas

El requisito fundamental es 1−d>0, es decir, d<1. Una tasa de 100 % anula el factor periódico y una mayor puede producir signos o potencias sin interpretación financiera usual.

Si d<0, el factor 1−d>1 y el valor al retroceder puede superar el nominal. El modelo sigue siendo matemáticamente válido dentro del dominio.

25.18 Plazos fraccionarios y convenciones

La potencia admite n real si el factor es positivo. Sin embargo, usar una fracción de período supone una extensión compuesta que debe estar autorizada por el contrato.

Tiempo: para tasas diarias o plazos definidos por fechas, declare la base y la regla de conteo antes de determinar n.

25.19 Laboratorio: descuento compuesto

Ingresá el valor nominal, la tasa efectiva de descuento, los períodos hasta el vencimiento y la frecuencia anual para obtener equivalencias anuales.

25.20 Implementación con JavaScript

function descuentoCompuesto(nominal, tasaDescuento, periodos) {
  if (!Number.isFinite(nominal) || nominal <= 0) {
    throw new RangeError("El nominal debe ser positivo");
  }
  if (!Number.isFinite(tasaDescuento) || tasaDescuento >= 1 ||
      !Number.isFinite(periodos) || periodos < 0) {
    throw new RangeError("Tasa o períodos no válidos");
  }
  const factor = Math.exp(periodos * Math.log1p(-tasaDescuento));
  const valorActual = nominal * factor;
  return { factor, valorActual, descuento: nominal - valorActual,
    tasaDescuentoPlazo: 1 - factor,
    tasaInteresEquivalente: tasaDescuento / (1 - tasaDescuento) };
}

console.log(descuentoCompuesto(500000, 0.05, 4));

25.21 Errores frecuentes

• Usar 1−dn: esa es la ley comercial simple.
• Elevar la tasa: se eleva el factor 1−d.
• Sumar descuentos periódicos: los factores se multiplican.
• Confundir d con i: sus bases son diferentes.
• Permitir d≥100 %: viola el dominio periódico.
• Omitir frecuencia: impide obtener equivalencias anuales.

25.22 Ejercicio propuesto

Un documento de $3.000.000 vence dentro de 18 meses. Se aplica una tasa efectiva de descuento mensual del 1,8 %. Calculá valor actual, descuento, tasa efectiva de descuento del plazo y tasa vencida mensual equivalente.

const nominal = 3000000;
const descuentoMensual = 0.018;
const periodos = 18;
const factor = (1 - descuentoMensual) ** periodos;
const actual = nominal * factor;
console.log({ factor, actual, descuento: nominal - actual,
  descuentoDelPlazo: 1 - factor,
  interesMensual: descuentoMensual / (1 - descuentoMensual) });

25.23 Ideas para recordar

• El factor periódico de actualización es 1−d.
• El valor actual compuesto es A=N(1−d)n.
• El descuento acumulado es 1−(1−d)n.
• La tasa vencida equivalente cumple i=d/(1−d).
• Una nominal anticipada divide su valor por la frecuencia para obtener d.
• Las potencias fraccionarias requieren factor positivo y una convención temporal.

En el próximo tema profundizaremos la relación entre tasa efectiva de interés y tasa efectiva de descuento.