26. Relación entre tasa efectiva de interés y tasa efectiva de descuento

26.1 Una operación, dos porcentajes

Consideremos un capital actual A y un capital al final del período N. La diferencia I=N−A puede medirse respecto de A o de N.

La tasa efectiva de interés i usa como base el capital inicial. La tasa efectiva de descuento d usa el capital final. Por eso sus porcentajes equivalentes normalmente no coinciden.

Idea central: i=I/A y d=I/N. Cambia el denominador, no el importe financiero ni las fechas de la operación.

26.2 Las dos bases

26.3 Derivación de d a partir de i

Como N=A(1+i) e I=Ai:

El capital se cancela. La conversión depende solo de la tasa y es válida para cualquier importe bajo el modelo proporcional.

26.4 Derivación de i a partir de d

Como A=N(1−d) e I=Nd:

Ambas fórmulas son inversas. Convertir de i a d y regresar debe recuperar el valor original.

26.5 Identidades equivalentes

La primera identidad iguala factores de actualización; la segunda, factores de acumulación. La tercera muestra la distancia numérica entre ambas tasas.

26.6 Ejemplo con capitales

Se reciben $100.000 y se pagan $112.000 al final del período. El importe financiero es $12.000:

La conversión confirma d=0,12/1,12=0,10714286. Los dos porcentajes describen exactamente los mismos capitales.

26.7 Orden entre las tasas

Para una operación positiva, N>A>0. Como el mismo importe se divide por una base final mayor, se cumple:

Que d sea menor no significa que la operación sea más barata. Es otra representación del mismo efecto. Comparar sus números sin convertir mezcla denominadores.

26.8 Tasas del 10 % no equivalentes

Un 10 % vencido genera factor 1,10. Un 10 % anticipado genera factor 1/0,90=1,111111.

El mismo porcentaje anticipado produce un efecto mayor que el vencido cuando ambos son positivos.

26.9 Varios períodos

Si i y d son equivalentes en cada período:

La equivalencia periódica se conserva al repetir factores. El capital final puede calcularse como A(1+i)n o A/(1−d)n.

26.10 Tasas efectivas del horizonte

Las tasas acumuladas para n períodos son:

También cumplen dn=in/(1+in). No debe convertirse la tasa periódica y luego multiplicarla por n.

26.11 TEA y descuento efectivo anual

Si ia es una TEA, su tasa efectiva anual de descuento equivalente es:

Una TEA del 30 % equivale a 0,30/1,30=23,076923 % efectivo anual de descuento. Ambas usan el factor anual 1,30 en sentidos recíprocos.

26.12 Tasas nominales con igual frecuencia

Sea j(m) una nominal vencida y f(m) una nominal anticipada equivalentes, ambas con frecuencia m. Sus tasas periódicas son j/m y f/m:

La conversión se realiza en el período y luego se anualiza proporcionalmente.

26.13 Frecuencias diferentes

Si las frecuencias no coinciden, no basta la relación periódica anterior. Deben igualarse los factores anuales:

La TEA o el factor anual sirven como puente entre ambas cotizaciones.

26.14 Relación con la fuerza de interés

La fuerza anual constante es el logaritmo del factor:

Así, interés, descuento y fuerza son tres coordenadas para el mismo factor anual positivo.

26.15 Dominio completo

Las fórmulas de conversión llevan cada dominio exactamente al otro.

26.16 Tasas negativas

Si −1<i<0, entonces d=i/(1+i) también es negativa y su magnitud puede ser mayor. Por ejemplo, i=−20 % equivale a d=−25 %.

La identidad sigue vigente. El capital final es menor que el inicial, y medir la misma pérdida respecto de la base final más pequeña produce una proporción más negativa.

26.17 Sensibilidad cerca del límite

La derivada di/dd=1/(1−d)2 crece rápidamente cuando d se aproxima a 100 %. Pequeños cambios en una tasa anticipada alta generan grandes cambios en la vencida equivalente.

Control numérico: valide el dominio antes de dividir y evite redondear una tasa cercana al límite, porque el error puede amplificarse.

26.18 Laboratorio: dos bases, una operación

Ingresá una tasa efectiva periódica, su modalidad y la cantidad de períodos. El laboratorio calcula la equivalente y ambas tasas acumuladas.

26.19 Implementación con JavaScript

function interesADescuento(interes) {
  if (!Number.isFinite(interes) || interes <= -1) {
    throw new RangeError("El interés debe ser mayor que -1");
  }
  return interes / (1 + interes);
}

function descuentoAInteres(descuento) {
  if (!Number.isFinite(descuento) || descuento >= 1) {
    throw new RangeError("El descuento debe ser menor que 1");
  }
  return descuento / (1 - descuento);
}

const i = 0.10;
const d = interesADescuento(i);
console.log({ i, d, iRecuperada: descuentoAInteres(d),
  factorInteres: 1 + i, factorDescuento: 1 / (1 - d) });

26.20 Errores frecuentes

• Igualar i y d: usan bases distintas.
• Comparar solo porcentajes: deben compararse factores.
• Aplicar 1+d: el factor anticipado hacia el futuro es 1/(1−d).
• Convertir tasas acumuladas como periódicas: primero debe identificarse el horizonte.
• Mezclar nominales de frecuencias diferentes: se igualan factores anuales.
• Ignorar el dominio: los denominadores deben permanecer positivos.

26.21 Ejercicio propuesto

Una operación se cotiza al 2,5 % efectivo mensual de descuento. Para un capital inicial de $750.000 durante 12 meses, calculá la tasa mensual vencida equivalente, el capital final y las tasas efectivas anuales de interés y descuento.

const capital = 750000;
const d = 0.025;
const i = d / (1 - d);
const factorAnual = (1 - d) ** -12;
console.log({ i, capitalFinal: capital * factorAnual,
  interesAnual: factorAnual - 1,
  descuentoAnual: 1 - 1 / factorAnual });

26.22 Ideas para recordar

• Interés y descuento miden la misma diferencia sobre bases distintas.
• d=i/(1+i) e i=d/(1−d).
• Los factores equivalentes cumplen 1+i=1/(1−d).
• La equivalencia periódica se conserva al componer varios períodos.
• Las tasas nominales deben convertirse usando sus frecuencias.
• La fuerza satisface δ=ln(1+i)=−ln(1−d).

En el próximo tema integraremos la conversión y comparación de tasas de interés y de descuento.