27. Conversión y comparación de tasas de interés y de descuento

27.1 Integrar las conversiones

Una propuesta puede informar interés efectivo mensual; otra, descuento nominal anual; una tercera, TEA o fuerza continua. Los porcentajes aislados no permiten decidir cuál tiene mayor efecto.

La estrategia general consiste en describir cada tasa, construir su factor anual, trasladarlo al horizonte real y comparar capitales o factores. La modalidad original deja de ser un obstáculo una vez normalizado el efecto.

Idea central: no hay una fórmula especial para cada pareja. Toda cotización entra a un factor común y desde allí puede convertirse o compararse.

27.2 Información mínima

Si falta alguno de los atributos que interviene en el factor, la comparación no está determinada.

27.3 Normalización por factor anual

Los factores anuales pueden elevarse al horizonte t: FAt y FBt. Esto presupone que cada ley permanece constante y admite esa extensión.

27.4 Catálogo de factores

27.5 Conversión en el mismo período

Para tasas efectivas equivalentes del mismo período:

Un 2 % mensual de interés equivale a 0,02/1,02=1,960784 % mensual de descuento. Sus factores mensuales son ambos 1,02.

27.6 Conversión entre períodos distintos

Si un interés efectivo pertenece a m períodos anuales y buscamos un descuento efectivo de frecuencia k:

La potencia combina simultáneamente el cambio de período y de base.

27.7 Nominal vencida a nominal anticipada

Con la misma frecuencia m:

Una TNA vencida del 24 % mensual equivale a una nominal anticipada del 0,24/1,02=23,529412 %. Ambas determinan tasas periódicas equivalentes.

27.8 Nominales con frecuencias diferentes

Si las frecuencias son m y k, se igualan directamente los factores:

Despejando, f(k)=k[1−(1+j(m)/m)−m/k].

27.9 Usar TEA como puente

Una alternativa práctica es transformar cada tasa en TEA:

Luego puede obtenerse el descuento efectivo anual da=TEA/(1+TEA). El puente facilita la comunicación, pero internamente el factor evita restar y sumar uno repetidamente.

27.10 Usar la fuerza como puente

El logaritmo del factor anual produce una fuerza equivalente:

Para interés periódico, δ=m ln(1+im); para descuento, δ=−m ln(1−dm). En esta escala, los tramos temporales se suman.

27.11 Comparar dos alternativas

Sobre un capital positivo C y horizonte t:

Para una inversión se prefiere normalmente el mayor capital neto; para un préstamo, el menor costo neto. La matemática del factor es la misma, pero cambia el criterio de decisión.

27.12 Ejemplo de comparación

A ofrece 2 % efectivo mensual de interés. B aplica 1,9 % efectivo mensual de descuento:

A tiene mayor factor mensual. La tasa de descuento de indiferencia sería 1,960784 %, no 2 %.

27.13 Tasa de indiferencia

La tasa de indiferencia es la cotización que iguala el factor de referencia. Para convertir interés de frecuencia m a descuento de frecuencia k:

Una tasa de descuento mayor que ese umbral produce un factor hacia el futuro mayor, siempre dentro del dominio y bajo iguales condiciones.

27.14 Dominio y tasas negativas

Los factores requieren i>−1, d<1 y bases nominales periódicas positivas. Las tasas negativas se convierten con las mismas fórmulas.

Por ejemplo, −20 % efectivo de interés equivale a −25 % de descuento. La relación de orden numérico cambia, pero el factor común continúa siendo 0,80.

27.15 Horizonte, renovación y costos

Elevar un factor anual a un plazo supone estabilidad de la tasa y posibilidad de renovar o reinvertir. Si existen tramos promocionales, debe construirse el producto de factores reales.

Alcance: tasas equivalentes no vuelven equivalentes a productos con comisiones, impuestos, seguros, topes, riesgo o calendarios diferentes. Esos flujos deben incorporarse por separado.

27.16 Precisión y tolerancia

Una tasa publicada con seis decimales puede representar una conversión redondeada. En código conviene comparar factores con tolerancia relativa, no mediante igualdad exacta.

La tolerancia debe ser mucho menor que cualquier diferencia económicamente relevante y debe aplicarse después de validar que ambos factores sean positivos y finitos.

27.17 Laboratorio: comparar cualquier modalidad

Configurá dos cotizaciones. La frecuencia se interpreta como períodos por año y el resultado se evalúa en el horizonte común.

27.18 Implementación con JavaScript

function factorAnualTasa(valor, tipo, frecuencia = 1) {
  if (!Number.isFinite(valor) || !Number.isFinite(frecuencia) || frecuencia <= 0) {
    throw new RangeError("Valor o frecuencia no válido");
  }
  const base = tipo === "interes-efectivo" ? 1 + valor
    : tipo === "descuento-efectivo" ? 1 - valor
    : tipo === "interes-nominal" ? 1 + valor / frecuencia
    : tipo === "descuento-nominal" ? 1 - valor / frecuencia
    : 1;
  if (base <= 0) throw new RangeError("El factor periódico debe ser positivo");

  let factor;
  if (tipo === "interes-efectivo") factor = (1 + valor) ** frecuencia;
  else if (tipo === "descuento-efectivo") factor = (1 - valor) ** (-frecuencia);
  else if (tipo === "interes-nominal") factor = (1 + valor / frecuencia) ** frecuencia;
  else if (tipo === "descuento-nominal") factor = (1 - valor / frecuencia) ** (-frecuencia);
  else if (tipo === "fuerza") factor = Math.exp(valor);
  else throw new RangeError("Tipo desconocido");

  if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
    throw new RangeError("La tasa no produce un factor válido");
  }
  return factor;
}

const a = factorAnualTasa(0.02, "interes-efectivo", 12);
const b = factorAnualTasa(0.02 / 1.02, "descuento-efectivo", 12);
console.log({ a, b, diferencia: a - b });

La validación del factor periódico evita que una base negativa elevada a una frecuencia entera oculte una cotización fuera de dominio.

27.19 Errores frecuentes

• Comparar porcentajes directamente: modalidad y período pueden diferir.
• Sumar uno a una tasa de descuento: su factor es 1/(1−d).
• Omitir la frecuencia nominal: no existe un factor único.
• Convertir solo la modalidad: también debe ajustarse el período.
• Suponer renovación: debe declararse para horizontes mayores.
• Ignorar costos: comparar tasas no basta para productos completos.

27.20 Ejercicio propuesto

Compará durante dos años una TNA vencida del 30 % convertible mensualmente con una nominal anticipada del 28 % convertible trimestralmente, sobre $900.000. Calculá además la nominal anticipada trimestral que sería exactamente equivalente a la primera.

const factorA = (1 + 0.30 / 12) ** 12;
const factorB = (1 - 0.28 / 4) ** -4;
const anticipadaEquivalente = 4 * (1 - factorA ** (-1 / 4));
console.log({ factorA, factorB, anticipadaEquivalente,
  finalA: 900000 * factorA ** 2,
  finalB: 900000 * factorB ** 2 });

27.21 Ideas para recordar

• Interés y descuento se comparan mediante factores comunes.
• La modalidad y el período pueden cambiar en una sola conversión.
• TEA y fuerza son puentes útiles entre cotizaciones.
• Una tasa de indiferencia iguala exactamente los factores.
• El horizonte y los supuestos de renovación deben ser explícitos.
• Los costos adicionales requieren comparar flujos netos.

En el próximo módulo usaremos estos factores para estudiar capitales equivalentes en una fecha determinada.