28. Capitales equivalentes en una fecha determinada

28.1 El dinero también tiene fecha

$100.000 disponibles hoy y $100.000 cobrables dentro de un año no representan la misma riqueza cuando el dinero puede generar intereses. Un capital financiero queda identificado por el par (importe, fecha).

Para sumar o comparar capitales situados en momentos distintos primero hay que llevarlos a una fecha común. Esa operación conserva el valor económico según una tasa y una ley previamente acordadas.

Idea central: los importes se suman solamente después de haber sido trasladados a la misma fecha.

28.2 Qué significa equivalencia financiera

Un capital C1 situado en t1 es equivalente a otro C2 situado en t2 si ambos tienen idéntico valor en una fecha de comparación, bajo la misma ley financiera.

a(Δt) es el factor que traslada un capital durante el intervalo Δt. Si el intervalo es negativo, actúa como factor de actualización.

28.3 Los tres datos indispensables

Una tasa sin período o una fecha sin unidad temporal impiden construir una ecuación de valor inequívoca.

28.4 La fecha focal

La fecha focal, también llamada fecha de valuación, es el instante t* elegido para reunir todos los capitales. Puede coincidir con el presente, con un vencimiento o con una fecha intermedia.

Los capitales anteriores se capitalizan hacia la fecha focal; los posteriores se actualizan hacia ella.

28.5 Traslado con interés compuesto

Con una tasa efectiva i por unidad temporal, el valor en t* de un capital C ubicado en t es:

La fórmula cubre ambas direcciones: exponente positivo para acumular, cero si ya está en la fecha focal y negativo para descontar.

28.6 Traslado con interés simple

En interés simple racional, el traslado depende de la dirección. Para avanzar se aplica el factor de capitalización; para retroceder se utiliza su recíproco:

No debe reemplazarse la actualización por C[1−i(t−t*)], porque esa expresión corresponde al descuento comercial simple y responde a otra ley.

28.7 Ecuación de valor

Para dos conjuntos de capitales, la equivalencia en t* se expresa igualando sus valores focales:

Esta igualdad se denomina ecuación de valor. Puede utilizarse para encontrar un importe, una tasa o, bajo ciertas condiciones, una fecha desconocida.

28.8 Convención de signos

También es posible escribir todos los flujos en un solo miembro. Desde el punto de vista de una persona, los cobros son positivos y los pagos negativos.

Invertir todos los signos no cambia la ecuación; mezclarlos durante el cálculo sí cambia el problema.

28.9 Ejemplo con una fecha intermedia

Se desea reunir $50.000 del mes 0 y $80.000 del mes 10 en el mes 4, con una tasa efectiva mensual del 2 %.

El primer capital avanza cuatro meses y el segundo retrocede seis. Sumar directamente $130.000 habría ignorado el valor temporal.

28.10 Reemplazar varios capitales por uno

Un capital único X pagadero en la fecha focal equivale directamente a la suma de todos los valores focales:

Por ejemplo, tres pagos de $30.000 en el mes 2, $45.000 en el mes 5 y $60.000 en el mes 9 equivalen en el mes 6, al 2 % mensual, a $134.912,30.

28.11 Capital sustituto en otra fecha

Si el pago sustituto X vence en tx y la fecha focal es t*, debe incluir también su factor:

El capital sustituto aumenta cuanto más tarde se paga, si la tasa es positiva.

28.12 Equivalencia de carteras

La noción se extiende a conjuntos completos de cobros y pagos. Dos carteras son equivalentes cuando sus valores focales coinciden, aunque tengan diferente cantidad de flujos y diferentes fechas.

Consecuencia: equivalencia no significa que los calendarios sean iguales, sino que su efecto financiero en la ley adoptada es el mismo.

28.13 ¿Importa qué fecha focal se elige?

En interés compuesto con una única tasa constante, una igualdad válida en una fecha se conserva en cualquier otra. Al mover ambos miembros se multiplica toda la ecuación por el mismo factor.

Por eso, si VA(t*)=VB(t*), también se cumple la igualdad en u.

28.14 Cuándo la fecha focal sí puede alterar el resultado

La invariancia anterior requiere una ley consistente y trasladable. En interés simple, los factores de intervalos consecutivos no se componen multiplicativamente; una equivalencia planteada en una fecha no necesariamente se conserva en otra.

También aparecen diferencias si se mezclan tasas, se redondean tramos por separado, cambian las convenciones de días o existen costos aplicados solo en ciertas fechas.

28.15 Tasas variables por tramos

Si la tasa cambia, cada tramo aporta su propio factor. Para trasladar desde t0 hasta tn:

Al retroceder se divide por ese producto. No corresponde promediar aritméticamente las tasas salvo que se demuestre que dicho promedio reproduce el mismo factor total.

28.16 Fechas calendario y fracciones de período

Cuando las fechas no están separadas por meses enteros, el exponente depende de la convención temporal: días reales/365, 30/360 u otra base contractual.

La equivalencia matemática puede ser exacta y aun así diferir del contrato si se usa una base de días distinta.

28.17 Hallar un importe desconocido

Si la incógnita aparece una sola vez, la ecuación es lineal respecto del capital. Se trasladan los flujos conocidos a la fecha focal y se despeja:

Conviene conservar todos los decimales durante el proceso y redondear el importe monetario únicamente al final.

28.18 Hallar una fecha desconocida

Con interés compuesto y un único capital desconocido en el tiempo, el exponente puede despejarse mediante logaritmos:

La solución debe interpretarse en la unidad de la tasa y comprobarse dentro del dominio. Con varios flujos dependientes de la fecha puede ser necesario un método numérico.

28.19 Laboratorio: valor equivalente en una fecha focal

Ingresá hasta cuatro capitales con signo y su mes de ocurrencia. El laboratorio los traslada mediante interés compuesto mensual.

28.20 Implementación con JavaScript

function valorEnFecha(capital, fecha, fechaFocal, tasa) {
  const datos = [capital, fecha, fechaFocal, tasa];
  if (!datos.every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Todos los datos deben ser números finitos");
  }
  if (tasa <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser mayor que -100 %");
  }
  return capital * (1 + tasa) ** (fechaFocal - fecha);
}

const capitales = [
  { importe: 30000, fecha: 2 },
  { importe: 45000, fecha: 5 },
  { importe: 60000, fecha: 9 }
];
const total = capitales.reduce(
  (suma, flujo) => suma + valorEnFecha(flujo.importe, flujo.fecha, 6, 0.02),
  0
);
console.log(total); // 134912.30487282266

La función admite flujos negativos y fechas a ambos lados del foco. Separar el cálculo del formato monetario facilita las pruebas.

28.21 Errores frecuentes

• Sumar importes de fechas diferentes: primero deben trasladarse.
• Usar tasas con otra unidad: fechas y período de la tasa deben coincidir.
• Capitalizar todos los flujos: los posteriores a la fecha focal se actualizan.
• Mezclar interés simple y compuesto: cada ley produce factores distintos.
• Perder los signos: cobros y pagos deben conservar su orientación.
• Redondear cada factor: se acumula error en la ecuación de valor.
• Ignorar la base de días: puede cambiar el exponente temporal.

28.22 Ejercicio propuesto

Una persona recibirá $120.000 en el mes 2, $95.000 en el mes 6 y $70.000 en el mes 11. Determiná el capital único equivalente en el mes 9 usando una tasa efectiva mensual del 1,8 %.

const i = 0.018;
const equivalente = 120000 * (1 + i) ** 7
  + 95000 * (1 + i) ** 3
  + 70000 / (1 + i) ** 2;

console.log(equivalente); // 303730.75713386654

28.23 Para recordar