29. Elección y uso de la fecha focal

29.1 Por qué hace falta una fecha común

Una ecuación financiera no puede sumar directamente capitales ubicados en fechas diferentes. Antes de comparar cobros, pagos u obligaciones, todos deben expresarse en un mismo instante.

Ese instante recibe el nombre de fecha focal, fecha de valuación o fecha de comparación. No es una fecha decorativa: determina el recorrido temporal que realiza cada flujo.

Idea central: elegir la fecha focal organiza la ecuación; la ley financiera determina si cambiarla conserva o no la equivalencia.

29.2 Qué hace la fecha focal

La fecha focal no elimina las fechas originales: estas siguen apareciendo en cada intervalo o exponente.

29.3 Lectura sobre una línea de tiempo

Todo flujo a la izquierda avanza hasta el mes 6. Todo flujo a la derecha retrocede. Un flujo situado en el mes 6 conserva su importe porque su intervalo es cero.

29.4 Fecha focal anterior a todos los flujos

Elegir el inicio o “hoy” produce una ecuación de valores actuales. En interés compuesto:

Esta elección es natural al medir precio presente, deuda inicial, valor actual neto o capital financiado.

29.5 Fecha focal posterior a todos los flujos

Una fecha final transforma todos los capitales en valores acumulados:

Resulta útil cuando se busca un saldo futuro, un fondo objetivo o el monto necesario en un vencimiento común.

29.6 Fecha focal intermedia

Una fecha intermedia combina capitalización y actualización:

Suele ser la opción más clara cuando allí vence el capital desconocido o se renegocia la obligación.

29.7 Regla práctica de elección

Si el enunciado fija una fecha de cancelación, valuación o sustitución, esa fecha debe usarse salvo indicación contraria. Si existe libertad, conviene elegir una fecha que reduzca operaciones.

29.8 Traslado en interés compuesto

Con tasa efectiva i por unidad y fecha focal f, el factor de un flujo en t es:

El mismo exponente con signo resuelve avance, permanencia y retroceso. Se requiere i>−1 para mantener una base positiva.

29.9 Invariancia bajo una ley compuesta coherente

Los factores compuestos cumplen la propiedad multiplicativa:

Por ello, si dos conjuntos son equivalentes en f, también lo son en u. Ambos miembros se multiplican por el mismo factor (1+i)u−f.

Importante: la libertad de cambiar la fecha focal no autoriza a cambiar la tasa, su período ni la convención temporal.

29.10 Demostración algebraica

Sean A y B dos carteras equivalentes en f:

Como se aplica el mismo factor no nulo a ambos valores, la igualdad se conserva. Esta propiedad permite elegir la fecha más cómoda sin alterar la solución.

29.11 Ejemplo compuesto en dos fechas

Consideremos $30.000 en el mes 2, $45.000 en el mes 5 y $60.000 en el mes 9, a una tasa efectiva mensual del 2 %.

Valuar directamente en el mes 6 o trasladar hacia allí el valor reunido en el mes 0 produce el mismo resultado, salvo redondeo de presentación.

29.12 Qué sucede con interés simple

En interés simple racional, avanzar n períodos utiliza 1+in y retroceder utiliza su recíproco. Sin embargo:

La ley no posee composición multiplicativa entre tramos. Por eso una equivalencia construida en cierta fecha focal no puede trasladarse automáticamente como un bloque a otra fecha.

29.13 Ejemplo donde la fecha influye

Con los mismos tres capitales y una tasa simple mensual del 2 %, la valuación directa da V(0)=$120.602,70 y V(6)=$134.903,77.

Si se intenta mover el total del mes 0 seis meses como un único capital se obtiene $135.075,03, una diferencia de $171,25. La discrepancia no es un error de programación: muestra que la ley simple no compone los tramos.

29.14 Tasas variables por tramos

Una ley compuesta con tasas variables puede mantener consistencia si cada intervalo utiliza el producto correcto de factores:

La fecha focal puede cambiar sin alterar la equivalencia siempre que la curva completa de factores sea única y se aplique simétricamente a todos los flujos.

29.15 Factores de descuento por fecha

En operaciones con una estructura temporal de tasas, resulta más seguro asociar a cada fecha un factor de descuento P(0,t). El valor en la fecha 0 es:

Para expresar el resultado en f, se divide por P(0,f). Este enfoque evita inventar una tasa constante donde el mercado utiliza factores diferentes por vencimiento.

29.16 Fecha contractual y fecha de cálculo

La fecha contractual determina cuándo nace, vence o se cancela una obligación. La fecha de cálculo es aquella en que se mide su valor. Pueden coincidir, pero representan conceptos distintos.

Comisiones, impuestos, mora o gastos liquidados en fechas específicas deben incorporarse como flujos adicionales; no desaparecen por cambiar la fecha focal.

29.17 Incógnita situada en la fecha focal

Cuando se elige como foco la fecha del capital desconocido X, su factor es uno:

Esta elección reduce un paso algebraico y facilita la lectura. Si se utiliza otra fecha coherente, se obtiene el mismo X en interés compuesto.

29.18 Fechas calendario y base de días

Con fechas reales, el intervalo se calcula según la convención acordada: Actual/365, Actual/360, 30/360 u otra. Dos analistas pueden elegir la misma fecha focal y obtener resultados diferentes si emplean bases distintas.

La convención debe conservarse en todos los términos de la ecuación.

29.19 Precisión y estabilidad numérica

Una fecha focal muy alejada puede producir factores enormes o diminutos. Aunque la ecuación sea correcta, esto aumenta riesgos de desbordamiento, subdesbordamiento o pérdida de precisión.

• Usar una fecha próxima al centro de los flujos.
• Calcular potencias mediante logaritmos cuando los exponentes sean extremos.
• No redondear factores ni valores intermedios.
• Comparar resultados con tolerancia relativa, no con igualdad exacta.

29.20 Procedimiento recomendado

1. Dibujar las fechas y ubicar cada capital con su signo.
2. Identificar la ley, tasa, período y convención temporal.
3. Elegir o respetar la fecha focal.
4. Calcular el intervalo firmado de cada flujo.
5. Trasladar cada capital por separado.
6. Construir la ecuación de valor.
7. Despejar la incógnita y verificarla en la ecuación original.
8. Redondear solo el resultado que se comunica.

29.21 Laboratorio: cambiar la fecha focal

Compará la valuación directa en dos fechas con el traslado del valor total. En interés compuesto coincidirán; en interés simple racional puede aparecer una brecha.

29.22 Implementación con JavaScript

function factorHaciaFoco(desde, foco, tasa, ley = "compuesta") {
  if (![desde, foco, tasa].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los datos deben ser finitos");
  }
  if (tasa <= -1) throw new RangeError("Tasa fuera de dominio");

  const intervalo = foco - desde;
  if (ley === "compuesta") return (1 + tasa) ** intervalo;
  if (ley === "simple-racional") {
    const factor = intervalo >= 0
      ? 1 + tasa * intervalo
      : 1 / (1 + tasa * -intervalo);
    if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
      throw new RangeError("Factor simple fuera de dominio");
    }
    return factor;
  }
  throw new RangeError("Ley desconocida");
}

const factor = factorHaciaFoco(9, 6, 0.02, "compuesta");
console.log(60000 * factor); // 56539.34007282266

Representar la dirección mediante un intervalo firmado evita duplicar fórmulas y vuelve explícita la diferencia entre las leyes.

29.23 Errores frecuentes

• No declarar la fecha focal: la ecuación queda incompleta.
• Mover importes sin tasa: no existe traslado financiero neutral.
• Usar meses con una tasa anual: las unidades deben coincidir.
• Cambiar de foco parcialmente: todos los términos deben trasladarse.
• Suponer invariancia universal: depende de la ley financiera.
• Mezclar tasas por tramos: debe construirse un factor coherente.
• Redondear antes de comparar: puede crear una falsa brecha.

29.24 Ejercicio propuesto

Dos obligaciones de $80.000 en el mes 2 y $120.000 en el mes 8 serán reemplazadas por un pago único en el mes 5. Calculá ese pago al 1,5 % efectivo mensual usando primero el mes 5 como fecha focal y verificá el resultado con fecha focal en el mes 0.

const i = 0.015;
const pagoMes5 = 80000 * (1 + i) ** 3
  + 120000 / (1 + i) ** 3;

const obligacionesMes0 = 80000 / (1 + i) ** 2
  + 120000 / (1 + i) ** 8;
const sustitutoMes0 = pagoMes5 / (1 + i) ** 5;

console.log({ pagoMes5, obligacionesMes0, sustitutoMes0 });

29.25 Para recordar