30. Ecuación de valor para igualar conjuntos de capitales

30.1 De capitales aislados a conjuntos

Una operación real suele contener varios cobros y pagos: anticipos, cuotas, refuerzos, vencimientos o cancelaciones. Comparar solamente los totales nominales ignora cuándo ocurre cada movimiento.

La ecuación de valor transforma cada conjunto en un único valor financiero en una fecha focal. Solo después de ese traslado puede establecerse una igualdad válida.

Idea central: dos conjuntos son equivalentes si la suma de sus valores focales es la misma bajo una ley financiera común.

30.2 Anatomía de la ecuación

La ecuación no exige que ambos lados tengan el mismo número de capitales ni que sus fechas coincidan.

30.3 Forma general

Sea F(t,f) el factor que traslada un capital desde su fecha t hasta la fecha focal f:

Esta notación sirve para interés compuesto, leyes por tramos o curvas de descuento. Lo que cambia es la definición de F.

30.4 Forma con interés compuesto

Con una tasa efectiva constante i por unidad temporal:

Un exponente positivo capitaliza, uno negativo actualiza y un exponente cero deja el importe sin cambios.

30.5 Dos lados de una misma balanza

No se comparan los importes originales uno a uno. Se compara el valor total que cada calendario alcanza en la fecha elegida.

30.6 Forma neta o de saldo cero

Pasar todos los términos a un miembro permite representar un lado con signo positivo y el otro con signo negativo:

Esta forma es especialmente útil en programación, porque la diferencia constituye un residual que puede medirse y verificarse.

30.7 Perspectiva de cobros y pagos

Desde la perspectiva de una persona, también puede asignarse signo positivo a cobros y negativo a pagos. Entonces todos los flujos integran una sola lista:

La convención opuesta funciona igualmente si se aplica de manera consistente. Cambiar signos solo en algunos términos altera la operación.

30.8 La fecha focal en la ecuación

La fecha focal debe estar declarada antes de escribir factores. Una línea temporal ayuda a obtener correctamente cada intervalo f−t.

• Flujo anterior al foco: se acumula.
• Flujo posterior al foco: se actualiza.
• Flujo en el foco: su factor es uno.

Control rápido: con tasa positiva, un capital llevado hacia adelante aumenta y uno llevado hacia atrás disminuye.

30.9 Ejemplo de dos conjuntos equivalentes

Con tasa efectiva mensual del 1,5 % y fecha focal en el mes 6, el conjunto A contiene $100.000 en el mes 0 y $50.000 en el mes 8. El conjunto B contiene $60.000 en el mes 2 y $99.975,7773068 en el mes 10.

Los totales nominales son distintos, pero sus valores focales coinciden.

30.10 Verificación en otra fecha

En interés compuesto, ambos valores pueden trasladarse como bloques desde el mes 6 hasta el mes 0:

La igualdad se conserva porque cada miembro fue multiplicado por el mismo factor.

30.11 Igualdad nominal no implica equivalencia

Dos calendarios pueden sumar $200.000 cada uno y aun así no ser equivalentes. Si uno concentra pagos tempranos, su valor focal será mayor bajo una tasa positiva cuando se evalúa desde el mismo punto de vista.

De forma recíproca, conjuntos con totales nominales diferentes pueden ser equivalentes, como mostró el ejemplo anterior.

30.12 Propiedad de escala

Si todos los capitales de ambos lados se multiplican por una constante λ, la equivalencia se conserva:

Esto refleja la linealidad respecto de los importes. La tasa y las fechas permanecen sin cambios.

30.13 Agrupar capitales de la misma fecha

Los flujos ubicados en una misma fecha pueden sumarse algebraicamente antes de trasladarlos:

Esta simplificación reduce términos y permite cancelar cobros y pagos coincidentes. No debe aplicarse a capitales con fechas distintas.

30.14 Una ley común de valuación

Para comparar carteras se necesita una regla común. Aplicar una tasa a un lado y otra al otro puede describir contratos distintos, pero no constituye por sí solo una medida común de equivalencia.

Si cada obligación crece contractualmente con su propia tasa, primero se determina el importe exigible en cada fecha. Luego esos flujos se valúan con la regla elegida para la comparación.

30.15 Tasas variables por tramos

Cuando la tasa cambia en el tiempo, cada traslado se construye con el producto de factores atravesados:

La ecuación conserva su forma general; solamente cambia el cálculo de cada factor.

30.16 Curva de descuento

Si se dispone de factores P(0,t) para cada vencimiento, la ecuación puede plantearse primero en la fecha 0:

Para otra fecha focal f, ambos miembros se dividen por P(0,f). Este método es apropiado cuando no existe una única tasa plana.

30.17 Particularidad del interés simple

La ecuación puede formularse con factores simples racionales, pero la igualdad queda vinculada a la fecha focal elegida porque esos factores no componen intervalos sucesivos.

No debe trasladarse una ecuación simple ya reunida a otra fecha como si su saldo fuera un único capital compuesto. Es necesario revaluar individualmente todos los flujos.

30.18 Fechas irregulares

Cuando se trabaja con días calendario, cada exponente debe derivarse de una convención declarada, como Actual/365 o 30/360:

Todos los términos deben usar el mismo origen y la misma base. Mezclar meses enteros con fracciones anuales sin conversión genera una ecuación dimensionalmente incorrecta.

30.19 Residual de la ecuación

El residual o saldo mide cuánto falta para que los conjuntos sean equivalentes:

Si R>0, A vale más en la fecha focal; si R<0, B vale más; si es cero dentro de una tolerancia razonable, se consideran equivalentes.

30.20 Diferencia absoluta y relativa

Una diferencia de un centavo no tiene el mismo significado sobre $10 que sobre $10.000 millones. Por eso conviene informar:

Si ambos valores son cero, el denominador se reemplaza por uno para evitar una división indefinida.

30.21 Tolerancia numérica

Los números de punto flotante no siempre representan decimales exactamente. En software, la equivalencia se evalúa mediante una tolerancia:

La tolerancia técnica no debe confundirse con la tolerancia contractual, que puede exigir redondeos o reglas monetarias específicas.

30.22 Tabla de auditoría

Una ecuación verificable debería conservar para cada flujo:

30.23 Algoritmo de resolución

1. Separar e identificar los dos conjuntos.
2. Ubicar cada capital y fecha en una línea temporal.
3. Declarar tasa, período, ley y fecha focal.
4. Construir el factor de cada flujo.
5. Multiplicar importe por factor sin redondear.
6. Sumar las contribuciones de cada lado.
7. Calcular residual y brecha relativa.
8. Interpretar el signo y verificar la ecuación.

30.24 Laboratorio: comparar dos conjuntos

Configurá hasta tres capitales por lado. La calculadora los valúa en el mes focal mediante interés compuesto y muestra el aporte individual de cada flujo.

30.25 Implementación con JavaScript

function valorCartera(flujos, fechaFocal, tasa) {
  if (!Array.isArray(flujos) || !Number.isFinite(fechaFocal)) {
    throw new TypeError("Cartera o fecha no válida");
  }
  if (!Number.isFinite(tasa) || tasa <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser mayor que -100 %");
  }
  return flujos.reduce((total, flujo) => {
    if (!Number.isFinite(flujo.importe) || !Number.isFinite(flujo.fecha)) {
      throw new TypeError("Flujo no válido");
    }
    return total + flujo.importe * (1 + tasa) ** (fechaFocal - flujo.fecha);
  }, 0);
}

const carteraA = [
  { importe: 100000, fecha: 0 },
  { importe: 50000, fecha: 8 }
];
console.log(valorCartera(carteraA, 6, 0.015));

La función calcula con números sin formato. Moneda, separadores y redondeo pertenecen a la capa de presentación.

30.26 Errores frecuentes

• Igualar sumas nominales: no contempla las fechas.
• Omitir la fecha focal: los factores quedan indeterminados.
• Invertir un exponente: capitalización y actualización se intercambian.
• Usar distintas unidades: la tasa y los intervalos deben corresponderse.
• Aplicar tasas diferentes sin una regla común: deja de haber una valuación comparable.
• Perder signos: modifica cobros, pagos y residual.
• Comparar con igualdad estricta: ignora el error de punto flotante.
• Redondear contribuciones: puede crear o esconder un desequilibrio.

30.27 Ejercicio propuesto

El conjunto A contiene $90.000 en el mes 1 y $140.000 en el mes 9. El conjunto B contiene $75.000 en el mes 3 y $150.000 en el mes 7. Con una tasa efectiva mensual del 1,8 %, comparalos en el mes 5 e interpretá el residual VA−VB.

const i = 0.018;
const valorA = 90000 * (1 + i) ** 4
  + 140000 / (1 + i) ** 4;
const valorB = 75000 * (1 + i) ** 2
  + 150000 / (1 + i) ** 2;
const residual = valorA - valorB;

console.log({ valorA, valorB, residual });

30.28 Para recordar