31. Sustitución de un capital por otro equivalente

31.1 Cambiar la fecha sin cambiar el valor

Una deuda, un cobro o una inversión pueden renegociarse para una fecha diferente. Mantener el mismo importe no suele ser justo: quien espera más tiempo debe ser compensado y quien paga antes obtiene una reducción, cuando la tasa es positiva.

La sustitución financiera busca un nuevo capital que sea equivalente al original bajo una tasa, una ley y una convención temporal acordadas.

Idea central: el capital sustituto es el valor que alcanza el capital original en la nueva fecha.

31.2 Los datos del problema

Con estos datos puede determinarse el importe sustituto X. Sin la ley financiera existen infinitas respuestas posibles.

31.3 Ecuación de sustitución

Elegida una fecha focal f, ambos capitales deben valer lo mismo:

F(t,f) representa el factor que traslada desde t hasta f. Esta formulación general permite trabajar con distintas leyes.

31.4 Elegir una fecha focal conveniente

Si la fecha focal se ubica en t1, el factor del sustituto es uno:

Esta elección reduce operaciones y muestra directamente que sustituir consiste en trasladar el capital original hasta la nueva fecha.

31.5 Sustitución con interés compuesto

Con tasa efectiva i por período:

La expresión funciona en ambas direcciones mediante un exponente firmado y requiere i>−1.

31.6 Postergar el capital

Si t1>t0, el intervalo n=t1−t0 es positivo:

Con tasa positiva, X>C. La diferencia X−C compensa el tiempo adicional hasta el nuevo vencimiento.

31.7 Anticipar el capital

Si la nueva fecha es anterior, n=t0−t1 mide cuánto se anticipa:

Con tasa positiva, el pago anticipado es menor. No se resta directamente i·n en un modelo compuesto.

31.8 Una relación reversible

Una sustitución bien calculada es reversible: trasladar X de regreso a t0 debe reconstruir C, salvo el redondeo de presentación.

31.9 Ejemplo de postergación

Se sustituyen $150.000 del mes 2 por un capital en el mes 9, a una tasa efectiva mensual del 1,8 %. El desplazamiento es de siete meses.

La variación de $19.951,78 no es una penalidad arbitraria: representa el efecto de siete períodos de capitalización.

31.10 Verificación en la fecha original

El capital sustituto puede actualizarse siete meses:

La comprobación debe utilizar el valor sin redondear. Si se usa $169.951,78 aparecerá una diferencia de algunos centavos.

31.11 Fecha focal arbitraria en interés compuesto

Si se elige una fecha f distinta de ambos vencimientos:

Al dividir los factores se obtiene nuevamente X=C(1+i)t1−t0. La solución no depende del foco porque la ley compuesta es multiplicativa.

31.12 Sustitución con interés simple racional

Para un intervalo n>0, postergar utiliza capitalización simple y anticipar utiliza actualización racional:

Ambas operaciones son recíprocas entre las dos fechas. No debe confundirse la actualización racional con el descuento comercial simple C(1−dn).

31.13 La fecha focal bajo interés simple

En una sustitución uno a uno conviene usar una de las dos fechas involucradas y aplicar directamente las fórmulas anteriores. Los factores simples no componen tramos consecutivos:

Una fecha focal intermedia o exterior puede producir otra relación si cada capital se traslada por separado con la ley simple. Por eso el contrato debe fijar la regla de equivalencia.

31.14 Sustitución con descuento efectivo compuesto

Con una tasa efectiva de descuento d por período, el factor de acumulación es 1/(1−d):

Se exige d<1. Si se convierte mediante d=i/(1+i), el resultado coincide con el modelo de interés efectivo equivalente.

31.15 Sustitución con fuerza continua

Si δ es la fuerza por unidad temporal:

La fuerza puede ser positiva, cero o negativa. Su factor siempre es positivo y los intervalos se combinan sumando exponentes.

31.16 Catálogo de factores

31.17 Tasas negativas

Con interés compuesto negativo, postergar puede reducir el capital sustituto y anticiparlo puede aumentarlo. La fórmula no cambia; cambia el sentido económico de la evolución.

El dominio sigue siendo esencial. Una tasa de interés efectiva igual o inferior a −100 % no produce una base compuesta positiva.

31.18 Qué tasa debe utilizarse

La equivalencia depende de la tasa acordada para renegociar. No siempre coincide con la tasa original del préstamo ni con una tasa publicada de referencia.

• Tasa contractual de refinanciación.
• Tasa de oportunidad aceptada por ambas partes.
• Curva de mercado correspondiente al plazo y riesgo.
• Tasa regulatoria cuando la norma aplicable así lo exige.

Sin acuerdo sobre la tasa, el cálculo matemático no resuelve la negociación económica.

31.19 Gastos, impuestos y penalidades

La equivalencia pura compara dos capitales. Si el cambio genera comisiones, impuestos o penalidades, estos deben modelarse como flujos adicionales en sus fechas reales.

Distinción: el capital equivalente puede ser matemáticamente correcto y el acuerdo completo no ser económicamente neutral debido a costos externos.

31.20 Fechas calendario

Cuando el intervalo no es un número entero de meses o años, se calcula una fracción según la base pactada:

Actual/365, Actual/360 y 30/360 pueden producir importes diferentes. La tasa debe expresarse para la misma unidad usada en Δt.

31.21 Redondeo monetario

Los factores y el capital sustituto interno deben conservar la precisión disponible. El redondeo a centavos se aplica al importe comunicado o exigible.

Para auditar la sustitución conviene informar el capital exacto calculado, el capital redondeado y la pequeña diferencia que el redondeo produce al volver a la fecha original.

31.22 Controles de una implementación

• Identidad: si ambas fechas coinciden, X=C.
• Reversibilidad: ir y volver reconstruye el capital.
• Tasa cero: el importe no cambia.
• Monotonía: con tasa positiva compuesta, una fecha posterior produce un importe mayor.
• Dominio: todos los factores deben ser positivos y finitos.
• Unidad: fecha y período de la tasa deben coincidir.

31.23 Procedimiento recomendado

1. Identificar el capital y la fecha originales.
2. Ubicar la nueva fecha y calcular el intervalo.
3. Declarar la ley y la tasa de sustitución.
4. Comprobar las unidades y el dominio.
5. Construir el factor correspondiente.
6. Multiplicar el capital original por el factor.
7. Trasladar el resultado hacia atrás para verificarlo.
8. Redondear únicamente al presentar el capital sustituto.

31.24 Laboratorio: sustituir un capital

Modificá el capital, las fechas y la ley. La comprobación devuelve el sustituto a la fecha original para medir el error numérico.

31.25 Implementación con JavaScript

function factorSustitucion(desde, hasta, tasa, ley = "compuesta") {
  if (![desde, hasta, tasa].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los datos deben ser números finitos");
  }
  const n = hasta - desde;
  if (ley === "compuesta") {
    if (tasa <= -1) throw new RangeError("Tasa fuera de dominio");
    return (1 + tasa) ** n;
  }
  if (ley === "descuento") {
    if (tasa >= 1) throw new RangeError("Descuento fuera de dominio");
    return (1 - tasa) ** -n;
  }
  if (ley === "continua") return Math.exp(tasa * n);
  if (ley === "simple-racional") {
    const factor = n >= 0 ? 1 + tasa * n : 1 / (1 + tasa * -n);
    if (!Number.isFinite(factor) || factor <= 0) {
      throw new RangeError("Factor simple fuera de dominio");
    }
    return factor;
  }
  throw new RangeError("Ley desconocida");
}

const sustituto = 150000 * factorSustitucion(2, 9, 0.018);
console.log(sustituto); // 169951.7751119439

La función devuelve un factor sin formato y deja el tratamiento monetario a otra capa.

31.26 Errores frecuentes

• Mantener el mismo importe: ignora el cambio de fecha.
• Invertir las fechas: cambia capitalización por actualización.
• Usar una tasa sin período: el intervalo queda ambiguo.
• Aplicar interés simple como compuesto: produce otro factor.
• Confundir interés con descuento: sus bases son diferentes.
• Ignorar costos de renegociación: altera la neutralidad económica.
• Redondear antes de verificar: introduce una falsa diferencia.
• No controlar el dominio: puede generar capitales inválidos.

31.27 Ejercicio propuesto

Un capital de $240.000 con vencimiento en el mes 3 será sustituido por otro con vencimiento en el mes 17. Calculá el capital equivalente al 1,2 % efectivo mensual y verificá ambos capitales en el mes 10.

const i = 0.012;
const sustituto = 240000 * (1 + i) ** 14;
const originalMes10 = 240000 * (1 + i) ** 7;
const sustitutoMes10 = sustituto / (1 + i) ** 7;

console.log({ sustituto, originalMes10, sustitutoMes10 });

31.28 Para recordar