32. Sustitución de varios capitales por un único capital

32.1 Unificar un calendario financiero

Una persona puede tener varias cuotas, deudas o cobros distribuidos en el tiempo y acordar reemplazarlos por un único capital. La suma directa de los importes originales no conserva necesariamente su valor.

Para obtener un sustituto justo, cada capital se lleva a la fecha del nuevo pago mediante una ley común y luego se suman los valores trasladados.

Idea central: la fecha del capital único funciona como fecha focal y convierte toda la cartera en un importe equivalente.

32.2 Datos necesarios

Si falta la fecha de un flujo o el período de la tasa, no puede determinarse el traslado correspondiente.

32.3 Ecuación general

Para capitales Ck ubicados en tk y un sustituto X en tx:

F(tk,tx) es el factor desde cada fecha original hasta la fecha del sustituto.

32.4 Por qué elegir la fecha del sustituto

En una fecha focal general f, la ecuación sería:

Al elegir f=tx, el factor de X vale uno y el resultado queda despejado de manera inmediata.

32.5 Interpretación visual

El calendario cambia, pero el valor financiero en la fecha acordada debe permanecer igual.

32.6 Consolidación con interés compuesto

Con tasa efectiva i por unidad temporal:

La fórmula usa un intervalo firmado para resolver todos los flujos con una sola expresión.

32.7 Capitales anteriores a la nueva fecha

Si tk<tx, el capital se posterga y se capitaliza:

Con tasa positiva, su contribución al capital único es mayor que el importe original.

32.8 Capitales posteriores a la nueva fecha

Si tk>tx, se anticipa y actualiza:

Con tasa positiva, su contribución es menor. Un error frecuente es capitalizar todos los términos sin observar su posición temporal.

32.9 Capitales que coinciden con el sustituto

Si tk=tx, el exponente es cero y el factor vale uno. Ese capital se suma sin modificación.

Este caso proporciona un control sencillo de la implementación.

32.10 Ejemplo con fecha intermedia

Se consolidan $30.000 del mes 2, $45.000 del mes 5 y $60.000 del mes 9 en el mes 6, con una tasa efectiva mensual del 2 %.

La suma nominal es $135.000, pero ese total mezcla tres fechas y no constituye una comparación financiera.

32.11 La suma nominal y el capital equivalente

No existe una regla universal que indique cuál será mayor cuando la fecha sustituta queda entre los flujos. Las capitalizaciones aumentan algunas contribuciones y las actualizaciones reducen otras.

El resultado depende de importes, fechas y tasa. En el ejemplo, ambos efectos casi se compensan y el sustituto queda $87,70 por debajo de la suma nominal.

32.12 Sustituto después de todos los capitales

Si tx es posterior a toda la cartera y la tasa es positiva, cada factor supera o iguala uno. Por lo tanto:

La desigualdad requiere que todos los capitales sean no negativos. Con flujos de signos mixtos no puede afirmarse sin analizar la ecuación.

32.13 Sustituto antes de todos los capitales

Si la nueva fecha es anterior a todos los flujos positivos, cada uno se actualiza:

El capital único representa entonces el valor actual de la cartera en esa fecha temprana.

32.14 Flujos con signo

Una cartera puede contener cobros positivos y pagos negativos. La misma fórmula suma algebraicamente sus valores focales.

Si X resulta negativo, la posición neta en la fecha sustituta es una obligación. El signo no es un error: expresa la dirección económica del flujo consolidado.

32.15 Verificación en otra fecha

En interés compuesto, el capital único puede comprobarse en una fecha f distinta:

La igualdad se conserva porque los factores compuestos se multiplican coherentemente entre intervalos.

32.16 Consolidación con interés simple racional

Al usar como foco la fecha sustituta, cada flujo anterior se multiplica por 1+in y cada flujo posterior se divide por 1+in.

Como los factores simples no componen tramos, una igualdad construida en la fecha sustituta no necesariamente se conserva en otra fecha. La regla y el foco deben quedar expresamente acordados.

32.17 Descuento efectivo compuesto

Con tasa efectiva de descuento d por período:

Se requiere d<1. Si d=i/(1+i), produce el mismo capital que la tasa efectiva de interés equivalente.

32.18 Capitalización continua

Con fuerza constante δ:

La función exponencial mantiene factores positivos y permite fechas fraccionarias sin modificar la estructura de la ecuación.

32.19 Tasas variables por tramos

Si la tasa cambia, cada capital atraviesa una secuencia diferente de períodos. Su factor debe construirse como producto de los factores correspondientes.

Para retroceder, se usa el recíproco del producto. Un promedio aritmético de tasas no suele reproducir este resultado.

32.20 Costos de consolidación

Comisiones, impuestos, seguros o penalidades no forman parte del capital equivalente puro, pero sí del acuerdo total. Deben agregarse como flujos en sus fechas efectivas.

Ejemplo: si la consolidación cobra una comisión hoy y el capital único vence después, la comisión debe trasladarse o mantenerse como pago separado según el contrato.

32.21 Fechas calendario y vencimientos

Cuando se usan fechas reales, los intervalos dependen de la convención: Actual/365, Actual/360, 30/360 u otra. También deben definirse reglas para fines de semana y días no hábiles.

Una modificación contractual de la fecha puede cambiar simultáneamente el exponente, la cantidad de días computables y los costos asociados.

32.22 Redondeo y conservación de precisión

Cada contribución debe calcularse con precisión completa. Redondear individualmente antes de sumar acumula diferencias.

• Conservar tasa y factores sin redondear.
• Sumar valores internos de precisión completa.
• Redondear el capital único según la moneda.
• Informar cualquier ajuste contractual por redondeo.

32.23 Tabla de control

32.24 Procedimiento recomendado

1. Listar importes, signos y fechas originales.
2. Definir la fecha del capital único.
3. Declarar tasa, período, ley y convención temporal.
4. Calcular el intervalo firmado de cada flujo.
5. Obtener cada factor y comprobar su dominio.
6. Calcular las contribuciones sin redondear.
7. Sumarlas para obtener el sustituto.
8. Verificar la equivalencia en una fecha de control.

32.25 Laboratorio: consolidar capitales

Ingresá hasta cinco flujos con signo. La calculadora obtiene el capital único en la fecha elegida y verifica la cartera en otra fecha.

32.26 Implementación con JavaScript

function consolidar(flujos, fechaSustituto, tasa) {
  if (!Array.isArray(flujos) || !Number.isFinite(fechaSustituto)) {
    throw new TypeError("Datos de cartera no válidos");
  }
  if (!Number.isFinite(tasa) || tasa <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser mayor que -100 %");
  }
  return flujos.reduce((total, flujo) => {
    if (!Number.isFinite(flujo.importe) || !Number.isFinite(flujo.fecha)) {
      throw new TypeError("Flujo no válido");
    }
    const factor = (1 + tasa) ** (fechaSustituto - flujo.fecha);
    return total + flujo.importe * factor;
  }, 0);
}

const flujos = [
  { importe: 30000, fecha: 2 },
  { importe: 45000, fecha: 5 },
  { importe: 60000, fecha: 9 }
];
console.log(consolidar(flujos, 6, 0.02)); // 134912.30487282266

La función admite capitales negativos y fechas fraccionarias. Devuelve un número sin formato para conservar la separación entre cálculo y presentación.

32.27 Errores frecuentes

• Sumar importes nominales: mezcla valores de fechas diferentes.
• Usar la primera fecha como foco sin necesidad: agrega un despeje evitable.
• Capitalizar todos los flujos: los posteriores al sustituto se actualizan.
• Omitir signos: cambia el saldo neto de la cartera.
• Mezclar unidades temporales: produce exponentes incorrectos.
• Trasladar globalmente bajo interés simple: esa ley no compone tramos.
• Ignorar comisiones: el acuerdo completo deja de ser neutral.
• Redondear cada contribución: acumula errores.

32.28 Ejercicio propuesto

Tres obligaciones de $80.000 en el mes 1, $120.000 en el mes 6 y $150.000 en el mes 11 se reemplazan por un único pago en el mes 8. Calculá el sustituto al 1,6 % efectivo mensual y verificá la igualdad en el mes 0.

const i = 0.016;
const sustituto = 80000 * (1 + i) ** 7
  + 120000 * (1 + i) ** 2
  + 150000 / (1 + i) ** 3;

const carteraMes0 = 80000 / (1 + i)
  + 120000 / (1 + i) ** 6
  + 150000 / (1 + i) ** 11;
const sustitutoMes0 = sustituto / (1 + i) ** 8;

console.log({ sustituto, carteraMes0, sustitutoMes0 });

32.29 Para recordar