33. Cálculo de un importe desconocido mediante equivalencia financiera

33.1 La incógnita es un capital

Muchos acuerdos financieros conocen las fechas y la tasa, pero deben determinar el importe que equilibra dos calendarios: una cuota final, un pago de ajuste, un anticipo o una devolución.

La ecuación de valor permite trasladar todos los importes conocidos a una fecha focal y aislar el capital desconocido.

Idea central: con tasa y fechas fijas, el factor de la incógnita es conocido; por eso el problema es lineal respecto de su importe.

33.2 Datos que deben conocerse

Si también se desconoce la tasa o una fecha, el problema puede dejar de ser lineal y requerir información o métodos adicionales.

33.3 Ecuación general

Supongamos que X aparece en el conjunto B, en la fecha tx:

Todos los factores son conocidos una vez fijadas la ley y la fecha focal.

33.4 Despeje del importe

El valor focal faltante es la diferencia entre ambos conjuntos conocidos:

Dividir por el factor lleva esa diferencia desde la fecha focal hasta la fecha propia de X.

33.5 Interpretación en tres pasos

Separar estos pasos evita mezclar importes originales con valores ya trasladados.

33.6 Elegir la fecha de X como foco

La elección más cómoda suele ser f=tx. Entonces F(tx,f)=1:

El despeje pierde una división y el resultado se interpreta directamente en su fecha de vencimiento.

33.7 Interés compuesto

Con tasa efectiva i por período y foco f:

Si X pertenece al lado B:

33.8 Incógnita en el lado A

Si X aparece en A, cambia el orden de la diferencia:

Memorizar una única fórmula sin observar el lado de la incógnita es una fuente frecuente de signos incorrectos.

33.9 Ejemplo completo

El conjunto A contiene $80.000 en el mes 2 y $120.000 en el mes 9. El conjunto B contiene $50.000 en el mes 4 y un importe X en el mes 7. Se usa el mes 6 como foco y una tasa efectiva mensual del 1,7 %.

33.10 Verificación del ejemplo

El capital desconocido se encuentra un mes después del foco, por lo que su contribución es:

Al sumarla con $51.714,45 se reconstruyen los $199.662,63 del conjunto A. La verificación debe realizarse con valores no redondeados.

33.11 Significado de una solución positiva

Si la convención asigna importes positivos a ambos lados, X>0 significa que hace falta un capital en el lado y fecha previstos para equilibrar la ecuación.

Su magnitud no debe compararse directamente con la diferencia nominal, porque pertenece a otra fecha.

33.12 Significado de una solución negativa

Un resultado negativo no implica automáticamente un error matemático. Indica que el flujo real debe tener la dirección opuesta a la supuesta.

Si el contrato exige que X sea un pago positivo, una solución negativa significa que las condiciones planteadas no admiten ese tipo de pago; habría un cobro, devolución o excedente.

33.13 El coeficiente financiero de X

La ecuación puede reducirse a la forma algebraica:

a=F(tx,f) es el coeficiente financiero; b reúne los valores conocidos del mismo lado y c el lado opuesto. Bajo una ley válida, a debe ser positivo y finito.

33.14 X aparece en ambos lados

Si el mismo importe aparece multiplicado por factores distintos:

Este caso sigue siendo lineal siempre que a−b≠0.

33.15 Casos degenerados

33.16 Dos importes desconocidos

Una sola ecuación con dos incógnitas independientes no determina una solución única:

Se necesita otra ecuación independiente o una condición adicional, como una relación entre cuotas. Elegir otra fecha focal en interés compuesto no crea nueva información: produce una ecuación equivalente.

33.17 Restricciones contractuales

El resultado puede estar sujeto a condiciones como X≥0, importe máximo, múltiplos de una unidad monetaria o redondeo obligatorio.

Primero se resuelve la ecuación financiera exacta; luego se verifica la factibilidad. Forzar la solución dentro de un límite sin recalcular deja un residual.

33.18 Otras leyes financieras

El procedimiento no depende exclusivamente del interés compuesto. Se reemplaza el coeficiente por el factor apropiado:

Con interés simple, la elección del foco forma parte del acuerdo porque la equivalencia no es invariante entre fechas.

33.19 Tasas variables y curvas de descuento

Cuando las tasas cambian por tramo, cada flujo tiene su propio producto de factores. Con una curva de descuento, el valor en cero usa P(0,t).

Mientras esos factores sean conocidos, X sigue apareciendo linealmente y el despeje conserva la misma estructura.

33.20 Fechas calendario

Las fechas reales se convierten en intervalos mediante la base contractual: Actual/365, Actual/360, 30/360 u otra. La fecha de X debe recibir el mismo tratamiento que los flujos conocidos.

Un error de un día altera tanto el coeficiente de X como las contribuciones de los demás capitales.

33.21 Sensibilidad del resultado

La solución X=(c−b)/a es sensible a:

• La diferencia focal c−b.
• El tamaño del factor a.
• La tasa y la distancia temporal de cada flujo.
• Los redondeos de importes conocidos.

Si c y b son grandes y muy próximos, su resta puede perder precisión relativa.

33.22 Redondeo y residual

El valor exacto calculado suele redondearse a centavos. La verificación con ese importe redondeado puede dejar un pequeño saldo:

El contrato debe indicar si ese residual se ignora, se ajusta en otra cuota o se incorpora al capital.

33.23 Controles recomendados

• Reemplazar X en la ecuación original.
• Comprobar el residual con tolerancia relativa.
• Verificar que el factor de X sea positivo.
• Interpretar el signo de la solución.
• Repetir la comprobación en otra fecha si la ley es multiplicativa.
• Distinguir resultado exacto y monetario redondeado.

33.24 Algoritmo de resolución

1. Ubicar todos los flujos y la incógnita.
2. Elegir la fecha focal y declarar la ley.
3. Valuar los capitales conocidos de A.
4. Valuar los capitales conocidos de B.
5. Calcular el factor de X.
6. Restar los valores focales en el orden correcto.
7. Dividir por el factor de la incógnita.
8. Sustituir el resultado y medir el residual.

33.25 Laboratorio: resolver un importe

Completá dos capitales conocidos por lado, elegí dónde aparece X y la calculadora resolverá la ecuación compuesta.

33.26 Implementación con JavaScript

function valorFocal(flujos, foco, tasa) {
  return flujos.reduce(
    (total, flujo) => total
      + flujo.importe * (1 + tasa) ** (foco - flujo.fecha),
    0
  );
}

function importeDesconocido(valorA, valorBConocido, fechaX, foco, tasa) {
  if (![valorA, valorBConocido, fechaX, foco, tasa].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Todos los datos deben ser finitos");
  }
  if (tasa <= -1) throw new RangeError("Tasa fuera de dominio");
  const factorX = (1 + tasa) ** (foco - fechaX);
  return (valorA - valorBConocido) / factorX;
}

const valorA = valorFocal([
  { importe: 80000, fecha: 2 },
  { importe: 120000, fecha: 9 }
], 6, 0.017);
const x = importeDesconocido(valorA, 50000 * 1.017 ** 2, 7, 6, 0.017);
console.log(x); // 150463.29914218056

En producción también deben validarse los objetos de cada flujo y que el factor resulte positivo y finito.

33.27 Errores frecuentes

• Restar importes nominales: primero deben valuarse en la misma fecha.
• Olvidar el factor de X: solo vale uno si su fecha coincide con el foco.
• Invertir los lados: cambia el signo del resultado.
• Tratar una solución negativa como error automático: puede indicar un flujo inverso.
• Crear otra ecuación cambiando el foco: no agrega información independiente.
• Resolver dos incógnitas con una ecuación: faltan condiciones.
• Redondear antes de sustituir: produce un residual artificial.

33.28 Ejercicio propuesto

El conjunto A contiene $70.000 en el mes 2 y $90.000 en el mes 6. El conjunto B contiene $50.000 en el mes 11 y un importe X en el mes 14. Hallá X con fecha focal en el mes 8 y una tasa efectiva mensual del 1,4 %.

const i = 0.014;
const valorA = 70000 * (1 + i) ** 6
  + 90000 * (1 + i) ** 2;
const bConocido = 50000 / (1 + i) ** 3;
const factorX = 1 / (1 + i) ** 6;
const x = (valorA - bConocido) / factorX;

console.log({ valorA, bConocido, factorX, x });

33.29 Para recordar