36. Tasa real: relación exacta, aproximación y escenarios

36.1 Qué responde la tasa real

La tasa aparente informa cuánto varió un capital en moneda corriente. La tasa real responde otra pregunta: después del cambio de precios, ¿en qué proporción aumentó o disminuyó la cantidad de bienes y servicios que ese capital puede adquirir?

Su valor depende del rendimiento aparente, de la inflación y del intervalo común al que ambos pertenecen.

Idea central: la tasa real exacta compara dos factores de crecimiento. Restar porcentajes puede servir como estimación rápida, pero no reemplaza ese cociente.

36.2 Variables y notación

Las tasas se calculan internamente en tanto por uno: 25 % se representa como 0,25. Todas deben cubrir las mismas fechas.

36.3 Ecuación fundamental

El factor aparente contiene tanto el cambio real como el cambio de precios:

Esta identidad suele asociarse con la ecuación de Fisher. Aquí se utiliza como relación exacta entre tasas efectivas observadas sobre un mismo intervalo.

36.4 Interpretación mediante factores

Por ejemplo, mejorar 10 % el poder de compra en un contexto de 20 % de inflación exige un factor aparente de 1,10×1,20=1,32, es decir, 32 %.

36.5 Derivación desde capitales e índices

Sean C₀ y C₁ los capitales nominales, y P₀ y P₁ los niveles del índice. La comparación de cantidades de canasta es:

El cociente elimina la escala monetaria y la escala arbitraria del índice. Solo permanecen sus variaciones relativas.

36.6 Despeje de la tasa real

Cuando se conocen la tasa aparente y la inflación:

Las dos expresiones son algebraicamente equivalentes. La primera muestra mejor el cociente de factores; la segunda ayuda a analizar el signo y el error de la aproximación.

36.7 Despeje de la tasa aparente requerida

Si se desea una tasa real y se estima una inflación:

El término iᵣπ es la interacción. Con una meta real del 5 % y una inflación del 30 %, la tasa aparente necesaria es 5 %+30 %+1,5 %=36,5 %.

36.8 Despeje de la inflación implícita

Si se conocen la tasa aparente y la tasa real:

Este despeje puede utilizarse para encontrar la inflación de equilibrio incorporada en una comparación, pero no convierte esa inflación implícita en un pronóstico seguro.

36.9 Ejemplo exacto

Una inversión rinde 40 % efectivo durante un intervalo en el que los precios aumentan 30 %:

Cada $100 iniciales se transforman en $140 nominales, equivalentes a $107,69 con precios iniciales. La ganancia real es aproximadamente $7,69 por cada $100.

36.10 La aproximación por diferencia

Cuando las tasas son pequeñas suele utilizarse:

En el ejemplo anterior daría 40 %−30 %=10 %, frente al 7,6923 % exacto. La diferencia ya es relevante porque las tasas no son pequeñas.

36.11 De dónde surge la aproximación

Al expandir la ecuación fundamental:

Si iᵣ y π son cercanas a cero, su producto es de segundo orden y puede omitirse para una estimación: iₐ≈iᵣ+π. No existe un umbral universal; la precisión exigida determina si es aceptable.

36.12 Error exacto de aproximación

Sea ĩᵣ=iₐ−π la tasa aproximada. Como iₐ−π=iᵣ(1+π):

Con inflación positiva, la diferencia simple exagera una tasa real positiva y hace más negativa una tasa real negativa.

36.13 Comparación numérica

El error se expresa en puntos porcentuales, no como porcentaje relativo de la tasa exacta.

36.14 Cuándo usar cada fórmula

La relación exacta requiere solamente una división adicional y debe preferirse en software, contratos, informes y decisiones. La aproximación es útil para cálculo mental, comunicación preliminar o control de orden de magnitud.

Una aproximación debe rotularse y acompañarse de una tolerancia. “Las tasas parecen bajas” no es un criterio de aceptación reproducible.

36.15 Inflación de equilibrio

La tasa real es cero cuando los factores aparente y de precios coinciden:

Por debajo de esa inflación el rendimiento real es positivo; por encima, negativo. Este umbral es exacto siempre que ambas tasas pertenezcan al mismo intervalo.

36.16 Rendimiento requerido para una meta real

Una meta real se convierte en tasa aparente multiplicando factores. Si se pretende ganar 8 % real:

Sumar 8 puntos a cada inflación subestimaría la tasa necesaria, especialmente en el escenario más alto.

36.17 Tasa real esperada y realizada

Antes del vencimiento se combina la tasa aparente pactada con una inflación esperada y se obtiene una tasa real esperada. Después se reemplaza la estimación por la inflación observada para calcular la tasa real realizada.

La diferencia entre ambas no es un error de cálculo: representa el desvío de inflación que asumió quien quedó expuesto al contrato nominal.

36.18 Construcción de escenarios

Como la inflación futura es incierta, conviene evaluar una misma tasa aparente bajo varios supuestos coherentes: favorable, base y adverso. Cada fila debe aplicar la relación exacta.

Los nombres no deben ocultar los números. También es útil informar el umbral de equilibrio y la tasa aparente requerida para una meta real.

36.19 Sensibilidad respecto de la inflación

Con tasa aparente fija, la derivada de la tasa real respecto de la inflación es:

Mientras los factores sean positivos, la pendiente es negativa: más inflación siempre reduce la tasa real. Además, la relación no es lineal, por lo que cambios iguales de inflación no producen cambios reales exactamente iguales.

36.20 Sensibilidad respecto del rendimiento aparente

Con inflación fija:

Con 25 % de inflación, un punto porcentual adicional de rendimiento aparente aporta exactamente 1/1,25=0,8 puntos porcentuales a la tasa real.

36.21 Tasas negativas y deflación

La fórmula funciona también con tasas negativas dentro de su dominio. Una tasa aparente de −3 % y una deflación de −8 % producen:

Aunque disminuyen las unidades monetarias, los precios caen en mayor proporción y aumenta el poder adquisitivo.

36.22 Dominio económico y matemático

Para operar con factores positivos se exige iₐ>−1, iᵣ>−1 y π>−1. En porcentajes, cada tasa debe ser mayor que −100 %.

El denominador 1+π no puede ser cero. Además del dominio algebraico, el análisis debe verificar que la definición del índice y del rendimiento tenga sentido económico.

36.23 Tasas de períodos diferentes

No se debe introducir una tasa aparente anual junto con inflación mensual. Primero se convierten ambas a un horizonte común respetando su régimen.

Luego se divide (1+iₐ,H)/(1+πH). Multiplicar una tasa mensual por doce es solo una nominalización, no una tasa efectiva anual.

36.24 Acumulación de tasas reales

Si en cada período se observan rendimiento e inflación diferentes:

La tasa real acumulada no es la suma ni el promedio aritmético de las tasas reales periódicas.

36.25 Tasa real anual equivalente

Si una tasa real efectiva por subperíodo es constante y hay m subperíodos por año:

También puede calcularse directamente dividiendo el factor aparente anual por el factor anual de inflación. Ambas rutas coinciden si las conversiones utilizan los mismos intervalos.

36.26 Incertidumbre y rango de resultados

Si la tasa aparente es conocida pero la inflación pertenece a un intervalo, la monotonía permite obtener los extremos reales sin simulación compleja. La inflación mínima produce la tasa real máxima y la inflación máxima produce la mínima.

Un rango no expresa probabilidades. Para asignarlas se necesita un modelo adicional y supuestos documentados.

36.27 Impuestos y comisiones

Primero se determina el factor aparente neto que realmente recibe el inversor y luego se elimina la inflación. Si un rendimiento del 40 % paga un impuesto del 25 % aplicado solo al interés:

Multiplicar todo el capital por 1−25 % sería incorrecto porque trataría al principal como si también fuera base del impuesto.

36.28 Criterios para comparar alternativas

• Usar tasas efectivas netas sobre el mismo horizonte.
• Aplicar el mismo escenario de inflación a alternativas comparables.
• Considerar diferencias de riesgo, liquidez, moneda e impuestos.
• Separar resultados esperados de resultados realizados.
• Mostrar tanto la tasa exacta como el supuesto de inflación.
• Evaluar si el rendimiento supera el umbral real exigido.

36.29 Laboratorio: aproximación y escenarios

Ingresá una tasa aparente, una meta real y tres hipótesis de inflación. La tabla compara el cálculo exacto con la resta aproximada y determina la tasa aparente necesaria en cada escenario.

36.30 Implementación con JavaScript

function tasaRealExacta(tasaAparente, inflacion) {
  if (![tasaAparente, inflacion].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Las tasas deben ser finitas");
  }
  if (tasaAparente <= -1 || inflacion <= -1) {
    throw new RangeError("Los factores deben ser positivos");
  }
  return (1 + tasaAparente) / (1 + inflacion) - 1;
}

function tasaAparenteRequerida(tasaRealObjetivo, inflacion) {
  if (tasaRealObjetivo <= -1 || inflacion <= -1) {
    throw new RangeError("Los factores deben ser positivos");
  }
  return (1 + tasaRealObjetivo) * (1 + inflacion) - 1;
}

const aparente = 0.40;
const inflacion = 0.30;
const exacta = tasaRealExacta(aparente, inflacion);
const aproximada = aparente - inflacion;

console.log({ exacta, aproximada, error: aproximada - exacta });

Las funciones reciben tasas en tanto por uno. Conviene validar los datos en el límite del sistema y conservar la precisión completa hasta presentar el resultado.

36.31 Errores frecuentes

• Restar siempre: trata una aproximación como identidad.
• Sumar tasa real e inflación para hallar la aparente: omite el término de interacción.
• Mezclar tasa mensual e inflación anual: compara horizontes distintos.
• Confundir puntos porcentuales con porcentajes: comunica mal el error.
• Usar inflación esperada como observada: mezcla proyección y resultado.
• Promediar tasas acumuladas: ignora la composición de factores.
• Aplicar impuestos al capital completo: altera la base gravada.
• Elegir un único escenario: oculta la exposición a inflación incierta.

36.32 Ejercicio propuesto

Una inversión ofrece 52 % efectivo anual. Calculá su tasa real exacta y aproximada para inflaciones anuales de 35 %, 45 % y 60 %. Luego determiná qué tasa aparente se necesita para obtener 6 % real si la inflación es 45 %.

const aparente = 0.52;
const inflaciones = [0.35, 0.45, 0.60];

for (const inflacion of inflaciones) {
  const exacta = (1 + aparente) / (1 + inflacion) - 1;
  const aproximada = aparente - inflacion;
  console.log({ inflacion, exacta, aproximada });
}

const aparenteParaMeta = (1 + 0.06) * (1 + 0.45) - 1;
console.log({ aparenteParaMeta });

36.33 Para recordar