4. Factores de capitalización y de actualización

4.1 Capitales ubicados en fechas diferentes

Un capital no queda completamente descrito por su importe. También importa la fecha en la que se encuentra disponible. $100.000 hoy y $100.000 dentro de un año ocupan posiciones temporales distintas y no deben compararse como si fueran el mismo valor financiero.

Para trasladar un capital entre dos fechas usamos factores. Un factor de capitalización lleva el valor hacia adelante; un factor de actualización realiza el recorrido inverso.

Idea central: trasladar un capital en el tiempo significa multiplicarlo por un factor asociado al intervalo y al modelo financiero de la operación.

4.2 Dos direcciones sobre la línea de tiempo

Usaremos F para el factor de capitalización y A para el factor de actualización del mismo intervalo. La fecha desde la cual se parte determina qué operación corresponde.

4.3 Factor de capitalización

El factor de capitalización expresa cuántas unidades finales corresponden a cada unidad inicial:

Si $100.000 se convierten en $112.000, el factor es 1,12. Esto significa que cada unidad inicial se transforma en 1,12 unidades finales durante el intervalo considerado.

4.4 Relación con la tasa de interés

En el tema 1 vimos que la tasa correspondiente a un intervalo se calcula como i = Cf / C0 − 1. Como el cociente entre capitales es el factor:

Para una tasa del 12 %, expresada como i = 0,12, el factor es:

La tasa mide solamente la variación. El factor incluye tanto la recuperación del capital inicial —representada por el 1— como esa variación.

4.5 Factor de actualización

Si conocemos el capital final y queremos obtener el capital equivalente en la fecha inicial, usamos el factor de actualización:

Con los mismos capitales, el factor de actualización es 100.000 / 112.000 = 0,892857…. Cada unidad ubicada al final equivale a aproximadamente 0,892857 unidades en la fecha inicial bajo las condiciones adoptadas.

4.6 Factores recíprocos

Capitalizar y actualizar el mismo intervalo deben ser operaciones inversas. Por eso, sus factores son recíprocos:

Si F = 1,12, entonces A = 1 / 1,12 = 0,892857…. Al multiplicarlos obtenemos 1, de modo que el recorrido de ida y vuelta recupera el capital de partida, salvo pequeñas diferencias de representación decimal.

4.7 Un factor no es una tasa

Aunque están relacionados, el factor y la tasa no deben confundirse:

Para una tasa positiva, el factor de capitalización es mayor que 1 y el de actualización está entre 0 y 1. Esta relación cambia cuando la tasa es negativa.

4.8 Dominio del modelo

Si trabajamos con capitales positivos, el factor de capitalización debe ser positivo. Como F = 1 + i, se requiere:

Con una tasa de −100 %, el capital final sería cero y el factor de actualización no existiría porque exigiría dividir por cero. Una tasa inferior a −100 % produciría un capital final negativo, fuera del modelo de magnitudes positivas utilizado aquí.

4.9 Composición de factores

Cuando un capital atraviesa intervalos consecutivos con factores conocidos, el factor total se obtiene multiplicándolos. Si durante el primer intervalo el factor es 1,05 y durante el segundo es 1,03:

El aumento total es 8,15 %, no 8 %. El segundo cambio se aplica sobre el capital ya transformado por el primero. En sentido inverso, el factor de actualización total es el producto de los factores inversos.

Alcance: componer factores conocidos no establece todavía cómo obtenerlos para varios períodos. Los regímenes simple y compuesto se estudiarán en los temas 6 y 7.

4.10 Laboratorio: avanzar y retroceder

Ingresá un capital inicial y una tasa correspondiente a todo el intervalo. El laboratorio calcula ambos factores, obtiene el capital final y luego actualiza ese resultado para comprobar el recorrido inverso.

4.11 Implementación con JavaScript

Las operaciones pueden expresarse mediante funciones separadas que compartan la misma validación del factor:

function factorCapitalizacion(tasa) {
  if (!Number.isFinite(tasa) || tasa <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser finita y mayor que -1");
  }
  return 1 + tasa;
}

function capitalizar(capitalInicial, tasa) {
  if (!Number.isFinite(capitalInicial) || capitalInicial < 0) {
    throw new RangeError("El capital debe ser finito y no negativo");
  }
  return capitalInicial * factorCapitalizacion(tasa);
}

function actualizar(capitalFinal, tasa) {
  if (!Number.isFinite(capitalFinal) || capitalFinal < 0) {
    throw new RangeError("El capital debe ser finito y no negativo");
  }
  return capitalFinal / factorCapitalizacion(tasa);
}

const tasa = 0.12;
const capitalFinal = capitalizar(100000, tasa);

console.log("Factor F:", factorCapitalizacion(tasa));
console.log("Factor A:", 1 / factorCapitalizacion(tasa));
console.log("Capital final:", capitalFinal);
console.log("Capital inicial:", actualizar(capitalFinal, tasa));

La tasa se recibe como tanto por uno. Si el usuario ingresa 12 para representar 12 %, la interfaz debe convertirlo a 0.12 antes de llamar a estas funciones.

4.12 Errores frecuentes

• Usar la tasa como factor: con 12 %, el factor es 1.12, no 0.12.
• Actualizar restando la tasa: la operación inversa correcta consiste en dividir por 1 + i.
• Usar factores de intervalos distintos: cada factor pertenece a fechas y condiciones concretas.
• Sumar factores consecutivos: los factores se componen mediante multiplicación.
• Confundir factor de actualización con tasa de descuento: son conceptos relacionados, pero no son el mismo número.
• Redondear el factor demasiado pronto: puede impedir recuperar el capital inicial con precisión.

4.13 Ejercicio propuesto

Un capital inicial de $250.000 corresponde a una tasa del 6,5 % durante todo el intervalo.

1. Calculá el factor de capitalización.
2. Obtené el capital final.
3. Calculá el factor de actualización.
4. Usá el capital final y el factor de actualización para recuperar el inicial.
5. Implementá la comprobación con JavaScript.

const capitalInicial = 250000;
const tasa = 0.065;
const factorCapitalizacion = 1 + tasa;
const factorActualizacion = 1 / factorCapitalizacion;
const capitalFinal = capitalInicial * factorCapitalizacion;
const capitalRecuperado = capitalFinal * factorActualizacion;

console.log({
  factorCapitalizacion,
  factorActualizacion,
  capitalFinal,
  capitalRecuperado
});

4.14 Ideas para recordar

• El factor de capitalización traslada un capital hacia adelante: Cf = C0 × F.
• El factor de actualización traslada un capital hacia atrás: C0 = Cf × A.
• Para una tasa del intervalo, F = 1 + i.
• Los factores del mismo intervalo son recíprocos: A = 1 / F.
• Los factores consecutivos se multiplican.
• Un factor debe conservarse con suficiente precisión y junto con las fechas a las que corresponde.

En el próximo tema estudiaremos la coherencia de unidades, el dominio y los datos necesarios para validar una operación antes de calcular.