7. Tasa efectiva en interés compuesto

7.1 Intereses que se incorporan al capital

En interés simple, todos los períodos calculan interés sobre el capital inicial. En el régimen compuesto, el interés generado al final de cada período se incorpora al capital y forma parte de la base del período siguiente.

Este proceso recibe el nombre de capitalización de intereses. Si no hay retiros ni aportes intermedios, la base crece período a período y también cambia el importe de interés generado.

Idea central: la tasa efectiva de cada período actúa sobre el capital vigente al comienzo de ese período. El factor 1 + i se aplica repetidamente.

7.2 Qué significa que una tasa sea efectiva

Una tasa efectiva i mide la variación relativa que ocurre realmente durante el período al que está asociada. Si Ck−1 es el capital al comienzo de un período y Ck el capital al final:

Una tasa efectiva del 2 % mensual significa que, durante cada mes del modelo, el capital vigente se multiplica por 1,02. La palabra “efectiva” no significa “buena” ni “garantizada”; identifica la variación del período.

7.3 La relación de recurrencia

Supongamos un capital inicial de $150.000 y una tasa efectiva del 2 % por período:

El primer período genera $3.000. El segundo genera $3.060 porque su base es $153.000. Sin embargo, ambos importes representan el 2 % del capital vigente al comienzo de su respectivo período.

7.4 De la repetición a la potencia

Aplicar el mismo factor durante varios períodos produce un producto repetido:

Para n períodos, el producto se resume mediante una potencia:

7.5 Ejemplo completo

Para $150.000, una tasa efectiva del 2 % mensual y un plazo de 5 meses:

La tasa efectiva total del plazo es el factor menos uno:

7.6 La tasa total no se obtiene multiplicando

Multiplicar 2 % × 5 produce 10 %, que es la tasa total del régimen simple. En interés compuesto, cada factor actúa sobre el resultado anterior, por lo que corresponde calcular:

Para tasas positivas y más de un período, la tasa compuesta total supera a i × n. La diferencia proviene de los intereses generados sobre intereses anteriores.

7.7 Comparación controlada con interés simple

Ambos modelos coinciden para un solo período: sus factores son 1 + i. A partir del segundo período producen resultados distintos.

7.8 Actualización compuesta

Para trasladar un capital final hacia la fecha inicial, se divide por el factor compuesto:

En el ejemplo, $165.612,12 / 1,025 recupera aproximadamente $150.000. Para conservar la reversibilidad, conviene actualizar usando el capital final no redondeado.

7.9 Períodos fraccionarios

Matemáticamente, la potencia admite exponentes no enteros siempre que 1 + i sea positivo. Por ejemplo, para 2,5 períodos:

Financieramente, usar esa expresión supone que el modelo compuesto se extiende a la fracción del período. Algunas operaciones emplean otra regla para tramos incompletos. Por eso el tratamiento debe formar parte de los datos.

7.10 Tasas efectivas negativas

Para que el factor periódico sea positivo se requiere i > −1, es decir, una tasa superior a −100 %. Una tasa efectiva de −10 % por período produce el factor 0,90:

El capital disminuye en cada período, pero permanece positivo para cualquier cantidad finita de períodos. A diferencia del régimen simple negativo, el factor no cruza cero porque se obtiene multiplicando factores periódicos positivos.

7.11 Laboratorio: capitalización compuesta

Ingresá el capital inicial, la tasa efectiva por período y la cantidad de períodos. Se admiten períodos fraccionarios bajo el supuesto de extensión exponencial.

Alcance: el laboratorio recibe una tasa efectiva ya correspondiente al período. No convierte tasas nominales ni tasas de otros períodos.

7.12 Implementación con JavaScript

El operador ** permite calcular la potencia del factor periódico:

function calcularInteresCompuesto(capitalInicial, tasa, periodos) {
  const datos = [capitalInicial, tasa, periodos];

  if (!datos.every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Todos los datos deben ser números finitos");
  }
  if (capitalInicial <= 0) {
    throw new RangeError("El capital debe ser mayor que cero");
  }
  if (tasa <= -1) {
    throw new RangeError("La tasa debe ser mayor que -1");
  }
  if (periodos < 0) {
    throw new RangeError("Los períodos no pueden ser negativos");
  }

  const factor = (1 + tasa) ** periodos;
  const capitalFinal = capitalInicial * factor;
  const interes = capitalFinal - capitalInicial;
  const tasaTotal = factor - 1;

  return { factor, capitalFinal, interes, tasaTotal };
}

console.log(calcularInteresCompuesto(150000, 0.02, 5));

También puede usarse Math.pow(1 + tasa, periodos). Ambas formas calculan el factor directamente, sin necesidad de un bucle cuando solo interesa el resultado final.

7.13 Cálculo iterativo y control

Un bucle resulta útil cuando necesitamos observar cada período o construir una tabla. El último capital debe coincidir, dentro de la tolerancia numérica, con la fórmula cerrada:

const capitalInicial = 150000;
const tasa = 0.02;
const periodos = 5;
let capital = capitalInicial;

for (let periodo = 1; periodo <= periodos; periodo++) {
  const interesDelPeriodo = capital * tasa;
  capital += interesDelPeriodo;
  console.log(periodo, interesDelPeriodo, capital);
}

const formulaCerrada = capitalInicial * (1 + tasa) ** periodos;
console.log("Diferencia:", capital - formulaCerrada);

No conviene redondear el capital dentro del bucle salvo que las reglas de la operación lo exijan. El redondeo repetido puede separar el resultado iterativo de la fórmula.

7.14 Errores frecuentes

• Multiplicar la tasa por los períodos: en régimen compuesto la tasa total es (1 + i)n − 1.
• Elevar la tasa sola: la base de la potencia es el factor 1 + i.
• Usar períodos incompatibles: n debe contar períodos de la tasa efectiva.
• Calcular cada interés sobre el capital inicial: eso corresponde al régimen simple.
• Actualizar restando la tasa acumulada: debe dividirse por el factor compuesto.
• Redondear en cada período sin una regla: introduce diferencias acumulativas.

7.15 Ejercicio propuesto

Un capital de $240.000 se coloca a una tasa efectiva compuesta del 1,5 % cada 30 días durante 150 días.

1. Calculá la cantidad de períodos.
2. Obtené el factor compuesto.
3. Calculá la tasa efectiva total.
4. Determiná el interés y el capital final.
5. Compará el capital final con el resultado simple del tema anterior.

const capitalInicial = 240000;
const tasa = 0.015;
const periodos = 150 / 30;
const factor = (1 + tasa) ** periodos;
const tasaTotal = factor - 1;
const capitalFinal = capitalInicial * factor;
const interes = capitalFinal - capitalInicial;

console.log({ periodos, factor, tasaTotal, interes, capitalFinal });

7.16 Ideas para recordar

• Una tasa efectiva mide la variación ocurrida durante su período.
• En interés compuesto, cada período utiliza como base el capital vigente.
• El factor para n períodos es (1 + i)n.
• La tasa efectiva total es (1 + i)n − 1.
• Actualizar significa dividir por el factor compuesto.
• La tasa debe ser mayor que −100 % para mantener positivo el factor periódico.

En el próximo tema estudiaremos la tasa nominal anual convertible varias veces al año y aprenderemos a distinguir su valor declarado de la tasa efectiva de cada período.