8. Tasa nominal anual convertible varias veces al año

8.1 Una tasa declarada para construir otra tasa

En el tema anterior trabajamos con una tasa efectiva que actúa directamente durante su período. En la práctica también se publican tasas nominales anuales, habitualmente identificadas por la sigla TNA.

La tasa nominal anual no describe por sí sola la variación efectiva de un capital durante el año. Su función es determinar una tasa periódica mediante una división proporcional. Para interpretarla necesitamos saber cuántas veces por año se capitalizan intereses.

Idea central: una TNA convertible m veces al año produce una tasa efectiva periódica igual a la TNA dividida por m.

8.2 Notación de la tasa nominal

Representaremos la tasa nominal anual con j(m), donde m indica la cantidad de períodos de capitalización contenidos en un año:

El superíndice (m) es una etiqueta, no un exponente. No significa elevar j a la potencia m. Expresa la frecuencia asociada a la cotización nominal.

8.3 La frecuencia determina el período

Si el año se divide en m períodos iguales según la convención adoptada, cada período representa 1/m de año:

También pueden definirse otras frecuencias, como semestral (m = 2) o bimestral (m = 6). Para frecuencias diarias debe indicarse además cuántos días forman el año de la convención.

8.4 De la tasa nominal a la tasa periódica

La tasa efectiva aplicada en cada período de capitalización se obtiene mediante:

La relación inversa permite construir la cotización nominal a partir de la tasa periódica:

Estas relaciones son proporcionales por definición de la tasa nominal. La capitalización del dinero continúa siendo compuesta porque el factor periódico se aplica al capital vigente.

8.5 Ejemplo: 24 % nominal anual convertible mensualmente

Una TNA del 24 % con capitalización mensual tiene m = 12. Primero convertimos el porcentaje a tanto por uno:

El 2 % es la tasa efectiva que actúa cada mes. El 24 % nominal es su suma proporcional durante doce períodos; no es la tasa efectiva acumulada al finalizar el año.

8.6 Del valor declarado al efecto sobre el capital

Para capitalizar un año completo se aplica doce veces el factor mensual:

Por cada unidad inicial se obtienen aproximadamente 1,268242 unidades al final del año. La variación efectiva anual es 26,824179 %, aunque la cotización nominal sea 24 %.

8.7 Nominal no significa efectiva anual

La diferencia entre ambas tasas puede resumirse así:

Que las tres se expresen con porcentajes no las hace intercambiables. Cada valor responde a una definición y un período diferentes.

8.8 Capitalización durante una fracción o varios años

Si una operación contiene n períodos de capitalización, el capital final se obtiene con la tasa periódica:

Cuando el plazo se expresa como t años y contiene exactamente m × t períodos:

El exponente cuenta períodos efectivos. Para plazos fraccionarios o fechas calendario debe verificarse la convención temporal antes de usar esta expresión.

8.9 La frecuencia no puede omitirse

Dos cotizaciones de “24 % nominal anual” no quedan completamente definidas si una capitaliza mensualmente y otra trimestralmente. En el primer caso la tasa periódica es 2 % mensual; en el segundo, 6 % trimestral.

Después de un año, sus factores son diferentes:

La comparación detallada del efecto de distintas frecuencias se realizará en el próximo tema. Aquí importa reconocer que m forma parte inseparable de la TNA.

8.10 Describir una TNA sin ambigüedad

Una descripción completa debería informar:

• el valor porcentual de la tasa nominal;
• que la base temporal es anual;
• la cantidad m de capitalizaciones por año;
• el período resultante de capitalización;
• la convención del año cuando se usan días;
• cualquier regla aplicable a períodos incompletos.

Por ejemplo: “24 % nominal anual, convertible mensualmente, con 12 capitalizaciones por año”.

8.11 Dominio y tasas nominales negativas

La frecuencia m debe ser un entero positivo. Además, el factor de cada período debe permanecer positivo:

Por ejemplo, con m = 12, una TNA de −24 % genera una tasa efectiva mensual de −2 % y un factor mensual de 0,98. El capital disminuye de forma compuesta.

Importante: la restricción se aplica al factor periódico. Una entrada válida matemáticamente también debe respetar las reglas y el alcance de la operación real.

8.12 Laboratorio: interpretar una TNA

Ingresá un capital, una TNA y la cantidad de capitalizaciones anuales. El laboratorio obtiene la tasa periódica y muestra el efecto de un año completo.

8.13 Implementación con JavaScript

Una función puede separar la cotización nominal de las magnitudes que actúan sobre el capital:

function interpretarTasaNominal(tasaNominal, frecuencia) {
  if (!Number.isFinite(tasaNominal)) {
    throw new TypeError("La tasa nominal debe ser finita");
  }
  if (!Number.isInteger(frecuencia) || frecuencia <= 0) {
    throw new RangeError("La frecuencia debe ser un entero positivo");
  }

  const tasaPeriodica = tasaNominal / frecuencia;
  const factorPeriodico = 1 + tasaPeriodica;

  if (factorPeriodico <= 0) {
    throw new RangeError("El factor periódico debe ser positivo");
  }

  const factorAnual = factorPeriodico ** frecuencia;
  const tasaEfectivaAnual = factorAnual - 1;

  return { tasaPeriodica, factorPeriodico, factorAnual, tasaEfectivaAnual };
}

console.log(interpretarTasaNominal(0.24, 12));

La función recibe la tasa como tanto por uno. Una interfaz que reciba 24 para representar 24 % debe dividirlo por 100 antes de invocarla.

8.14 Errores frecuentes

• Aplicar la TNA directamente al capital: primero debe obtenerse la tasa efectiva del período.
• Confundir j(m) con una potencia: el superíndice identifica la frecuencia.
• Omitir m: una tasa nominal no está completamente descrita sin su frecuencia.
• Dividir el capital por m: lo que se divide es la tasa nominal, no el capital.
• Multiplicar la TNA por el plazo: el capital evoluciona mediante factores periódicos compuestos.
• Suponer que la TNA es la tasa efectiva anual: generalmente difieren cuando m > 1.

8.15 Ejercicio propuesto

Un capital de $300.000 se coloca durante un año a una tasa del 18 % nominal anual convertible trimestralmente.

1. Identificá la frecuencia m.
2. Calculá la tasa efectiva trimestral.
3. Obtené el factor de capitalización anual.
4. Calculá la tasa efectiva anual y el capital final.
5. Comprobá el resultado con JavaScript.

const capitalInicial = 300000;
const tasaNominal = 0.18;
const frecuencia = 4;
const tasaPeriodica = tasaNominal / frecuencia;
const factorAnual = (1 + tasaPeriodica) ** frecuencia;
const tasaEfectivaAnual = factorAnual - 1;
const capitalFinal = capitalInicial * factorAnual;

console.log({
  tasaPeriodica,
  factorAnual,
  tasaEfectivaAnual,
  capitalFinal
});

8.16 Ideas para recordar

• La TNA es una tasa declarada sobre base anual, no necesariamente una tasa efectiva anual.
• La frecuencia m indica cuántas capitalizaciones contiene el año.
• La tasa efectiva periódica es im = j(m) / m.
• El capital se multiplica por 1 + im en cada período.
• Durante un año, el factor es (1 + j(m) / m)m.
• El valor nominal, la base anual y la frecuencia deben informarse juntos.

En el próximo tema profundizaremos la frecuencia de capitalización y la tasa periódica, analizando cómo cambia el resultado cuando varía m.