9. Frecuencia de capitalización y tasa periódica

9.1 Dividir el año en períodos de capitalización

En el tema anterior vimos que una tasa nominal anual necesita una frecuencia m. Esa frecuencia indica cuántas veces por año se liquidan e incorporan intereses al capital según el modelo.

Si m = 12, el año se divide en doce períodos; si m = 4, se divide en cuatro. La frecuencia determina simultáneamente la duración de cada período y la tasa efectiva que actúa en él.

Idea central: la frecuencia y la tasa periódica forman un par. No alcanza con conocer cuántas capitalizaciones hay ni con conocer una tasa sin el período al que pertenece.

9.2 Frecuencia, período y tasa periódica

Estas expresiones suponen que el año se reparte en períodos iguales bajo una convención definida. El subíndice m recuerda que la tasa periódica depende de la frecuencia.

9.3 Frecuencias habituales

Las palabras “mensual” o “trimestral” pueden referirse a períodos calendario. En cambio, frecuencias como 360 capitalizaciones anuales requieren declarar si cada período representa un día bajo un año convencional de 360 días.

9.4 El recorrido desde la TNA hasta el capital

La TNA no se aplica directamente al capital. Primero determina la tasa efectiva de un período; luego el factor periódico se aplica tantas veces como capitalizaciones contenga la operación.

9.5 Ejemplo con capitalización trimestral

Consideremos una TNA del 24 % convertible trimestralmente. Como hay cuatro trimestres por año:

Cada trimestre, el capital vigente se multiplica por 1,06. Después de un año se habrán aplicado cuatro factores:

9.6 Cantidad de capitalizaciones en un plazo

Si el plazo t está expresado en años y la frecuencia es m, la cantidad de períodos es:

Una operación de 2 años con frecuencia trimestral contiene 4 × 2 = 8 capitalizaciones. Para un plazo de 9 meses puede escribirse t = 9/12 = 0,75 años, de modo que n = 4 × 0,75 = 3 trimestres.

Esta igualdad es directa cuando el plazo contiene períodos completos. Si las fechas no coinciden con los límites de capitalización, se necesita una regla para el tramo incompleto.

9.7 Una misma TNA con frecuencias diferentes

Mantengamos una TNA del 24 % y cambiemos solamente la frecuencia:

Para una TNA positiva fija, aumentar la frecuencia reduce la tasa de cada período, pero la aplica más veces. El factor anual aumenta, aunque cada incremento adicional es menor que el anterior.

9.8 Por qué no alcanza con dividir períodos

Dividir la TNA por m funciona porque así se define esta cotización nominal. No es una regla general para convertir cualquier tasa efectiva.

Por ejemplo, dividir una tasa efectiva anual del 24 % por 12 produciría 2 %, pero doce capitalizaciones del 2 % acumularían 26,824179 % anual. Por lo tanto, 2 % mensual no es equivalente a 24 % efectivo anual.

Distinción: la relación im = j(m) / m conecta una tasa nominal con su tasa periódica. La conversión entre tasas efectivas equivalentes se estudiará en el módulo 3.

9.9 Frecuencia de capitalización y frecuencia de pagos

La frecuencia de capitalización indica cuándo los intereses se incorporan a la base. La frecuencia de pagos indica cuándo se producen movimientos de dinero. No necesariamente coinciden.

Una operación puede calcular intereses mensualmente y pagarlos al final de un trimestre, o generar pagos mensuales bajo otra regla de cálculo. Para modelarla deben conservarse ambos calendarios por separado.

9.10 Año calendario y año convencional

Para frecuencias basadas en meses, los límites suelen definirse mediante fechas calendario. Para frecuencias diarias pueden utilizarse años de 360, 365 o 366 días según la convención.

Decir m = 365 no alcanza si la operación atraviesa un año bisiesto o si el acuerdo emplea una base distinta. La frecuencia debe acompañarse con la regla temporal que permite contar los períodos.

9.11 Tasas nominales negativas

Si la TNA es negativa, la tasa periódica también lo es. El modelo requiere que cada factor periódico sea positivo:

Con una TNA de −24 % y m = 12, la tasa periódica es −2 % y el factor mensual es 0,98. Aumentar la frecuencia cambia el efecto anual, por lo que tampoco en este caso puede omitirse m.

9.12 Laboratorio: comparar frecuencias

Ingresá un capital y una TNA, y elegí la frecuencia. La tabla inferior mantiene la misma TNA para mostrar el efecto de otras frecuencias.

9.13 Implementación con JavaScript

Podemos encapsular la relación entre TNA, frecuencia y efecto anual:

function calcularPorFrecuencia(tasaNominal, frecuencia) {
  if (!Number.isFinite(tasaNominal)) {
    throw new TypeError("La tasa nominal debe ser finita");
  }
  if (!Number.isInteger(frecuencia) || frecuencia <= 0) {
    throw new RangeError("La frecuencia debe ser un entero positivo");
  }

  const tasaPeriodica = tasaNominal / frecuencia;
  const factorPeriodico = 1 + tasaPeriodica;

  if (factorPeriodico <= 0) {
    throw new RangeError("El factor periódico debe ser positivo");
  }

  const factorAnual = factorPeriodico ** frecuencia;

  return {
    tasaPeriodica,
    factorPeriodico,
    factorAnual,
    tasaEfectivaAnual: factorAnual - 1
  };
}

for (const frecuencia of [1, 2, 4, 12, 365]) {
  console.log(frecuencia, calcularPorFrecuencia(0.24, frecuencia));
}

La función recibe la TNA como tanto por uno y no supone nombres para las frecuencias. La aplicación puede asociar 12 con “mensual” solo cuando la convención lo permite.

9.14 Errores frecuentes

• Confundir frecuencia con duración: m = 4 significa cuatro períodos anuales; cada uno dura un cuarto de año.
• Aplicar la TNA en cada período: debe aplicarse j(m) / m.
• Multiplicar el capital por la frecuencia: lo que se repite es el factor periódico.
• Dividir una tasa efectiva como si fuera nominal: la proporcionalidad define a la TNA, no a todas las tasas.
• Confundir capitalizaciones y pagos: pueden seguir calendarios distintos.
• Usar frecuencia diaria sin base anual: debe indicarse la convención de días.

9.15 Ejercicio propuesto

Compará un capital de $500.000 durante un año bajo una TNA del 30 % con capitalización trimestral y con capitalización mensual.

1. Calculá la tasa efectiva de cada período.
2. Obtené los dos factores anuales.
3. Calculá las tasas efectivas anuales.
4. Determiná ambos capitales finales y su diferencia.
5. Comprobá los resultados con JavaScript.

const capital = 500000;
const tasaNominal = 0.30;
const trimestral = (1 + tasaNominal / 4) ** 4;
const mensual = (1 + tasaNominal / 12) ** 12;

console.log({
  tasaTrimestral: tasaNominal / 4,
  tasaMensual: tasaNominal / 12,
  capitalTrimestral: capital * trimestral,
  capitalMensual: capital * mensual,
  diferencia: capital * (mensual - trimestral)
});

9.16 Ideas para recordar

• La frecuencia m cuenta capitalizaciones por año.
• Cada período representa 1/m de año bajo la convención elegida.
• La tasa efectiva periódica asociada a una TNA es j(m) / m.
• Un plazo de t años contiene n = m × t períodos completos.
• Para una TNA positiva fija, una frecuencia mayor aumenta el efecto anual.
• Frecuencia de capitalización, frecuencia de pagos y base temporal son datos diferentes.

En el próximo tema estudiaremos las tasas vencidas y anticipadas, distinguiendo la base sobre la que se mide cada variación.