17. Paridad put-call y carteras equivalentes

17.1 De las cotas a una igualdad

En el tema anterior vimos que las cotas de no arbitraje descartan precios imposibles, pero no determinan una prima exacta. Para opciones europeas existe una relación más fuerte: una igualdad que vincula el precio de la call, el de la put, el del subyacente y el de un bono. Se denomina paridad put-call y surge de comparar dos carteras con el mismo pago final, sin suponer probabilidades, volatilidad ni expectativas sobre el precio futuro.

Idea central: si dos carteras entregan exactamente lo mismo en todos los escenarios, deben costar lo mismo hoy. La paridad put-call es esa ley aplicada a dos combinaciones de call, put, activo y bono.

17.2 Dos carteras que producen el mismo pago

Consideremos opciones europeas con el mismo precio de ejercicio K y el mismo vencimiento T, sobre un activo que no reparte ingresos antes de T. Todos los importes se expresan por unidad del subyacente. Definimos dos carteras:

• Cartera A: una call larga más un bono que pagará K en T.
• Cartera B: una put larga más una unidad del activo.

La cartera A cuesta hoy C + K × D(0,T): la prima de la call más el valor presente del pago del bono. La cartera B cuesta P + S0: la prima de la put más el precio actual del activo. Comparemos lo que paga cada una al vencimiento.

En todos los escenarios ambas carteras entregan max(ST, K): una de las dos opciones aporta la diferencia entre el activo y K, y el otro componente completa el pago. Si ST coincide con K, la call y la put vencen sin ejercicio y las dos carteras pagan K.

Dos carteras con idéntico pago futuro no pueden tener precios distintos sin abrir una oportunidad de arbitraje. Comprar la barata y vender la cara dejaría un excedente hoy y ningún pago neto en T. Por lo tanto:

Paridad put-call: la igualdad no es una fórmula empírica ni un modelo probabilístico: es una consecuencia del principio de no arbitraje aplicada a flujos idénticos.

17.3 Reordenamientos y posiciones sintéticas

De la igualdad pueden despejarse sus cuatro componentes. Cada despeje describe una posición sintética: una combinación de los otros instrumentos que reproduce el mismo pago y, por lo tanto, el mismo precio.

Las posiciones sintéticas permiten obtener una exposición cuando un instrumento no está disponible o resulta poco líquido, pero también ordenan el análisis: muestran que call, put, activo y bono son cuatro caras del mismo sistema de pagos.

Un reordenamiento merece atención especial. Restando P y S₀ a la igualdad se obtiene:

La diferencia entre el precio de la call y el de la put es exactamente el valor de un forward celebrado al precio K, la misma expresión del tema 10. Si se conoce el valor del forward, la diferencia C − P queda determinada; y al revés, cotizaciones de opciones permiten leer el valor implícito del contrato a plazo.

17.4 Ejemplo numérico completo

Supongamos S₀ = $100, K = $100 y un factor de descuento D(0,T) = 0,95. El bono que pagará K en T cuesta hoy 100 × 0,95 = $95. La call cotiza a $12 y queremos saber qué put es consistente con la paridad:

Si la put cotiza a $7, las dos carteras del apartado anterior cuestan lo mismo y pagan lo mismo:

Con esos datos, los cuatro despejes devuelven valores coherentes:

En la práctica D(0,T) llega con más decimales y los resultados no serán tan redondos. Por eso las verificaciones se hacen con una tolerancia, como veremos en la implementación.

17.5 Cuando la paridad se viola: la operación de arbitraje

Mantengamos C = $12, S₀ = $100 y K × D = $95, pero supongamos que la put cotiza a $9. Entonces la cartera A cuesta $107 y la cartera B cuesta $109: la cartera put + activo es la más cara, por $2.

La operación consiste en vender la cartera cara y comprar la barata:

• Vender la put por $9 y vender el activo en corto por $100: ingreso de $109.
• Comprar la call por $12 y comprar el bono por $95: egreso de $107.
• Resultado inmediato: $2 de ingreso, sin desembolso futuro neto.

Al vencimiento las cuentas cierran en cualquiera de los dos escenarios:

• Si ST > K: se ejerce la call; con el bono se paga K y se recibe el activo, que se usa para devolver la venta en corto. La put vence sin valor.
• Si ST ≤ K: la put vendida se ejerce contra nosotros; con el bono se paga K y se recibe el activo, que cierra la venta en corto. La call vence sin valor.

El caso espejo aparece cuando la call es la cara: por ejemplo, con C = $14 y P = $7, la cartera A cuesta $109 y la B $107. Se vende la call y se vende el bono (endeudarse por K × D), y se compra la put junto con el activo. El ingreso inmediato es $2 y los pagos de T vuelven a compensarse.

Fricciones: en los mercados reales estas operaciones se agrupan bajo el nombre de conversiones y reversiones, y exigen comparar el ingreso con comisiones, spreads bid-ask, costos de préstamo de valores y diferencias entre tasas de tomar y prestar. Una violación teórica de pocos centavos puede no ser explotable; la igualdad se convierte en una banda.

17.6 Paridad con ingresos del activo

Si antes de T el activo reparte ingresos —dividendos o cupones— con valor presente I, mantener el activo deja de ser idéntico a antes: quien lo posee cobra esos flujos y quien tiene una call no. Para comparar otra vez carteras con pagos idénticos hay que neutralizar ese cobro.

La cartera B se corrige así: put larga más el activo, pero cediendo los ingresos futuros, que hoy valen I. Su costo pasa a ser P + S0 − I y su pago en T sigue siendo max(ST, K), porque los ingresos ya fueron vendidos. La igualdad se ajusta:

Ejemplo: con S₀ = $100, K = $100, D(0,T) = 0,95 e ingresos con valor presente I = $3, una call de $9 implica una put de 9 + 95 − 100 + 3 = $7. Verificación: la cartera A cuesta 9 + 95 = $104 y la cartera B ajustada cuesta 7 + 100 − 3 = $104.

El signo importa. Ignorar los ingresos cuando existen sobreestima la call y subestima la put: en el ejemplo, aplicar la fórmula sin I sugeriría una put de $4 cuando la consistente es $7.

17.7 Opciones americanas: la igualdad se convierte en banda

Con opciones americanas, la put incorpora la posibilidad adicional de ejercer antes del vencimiento, y sin dividendos la call americana no gana valor por esa vía. La igualdad exacta deja de valer para la put, pero sobreviven dos cotas:

El extremo superior coincide con la paridad europea. El extra de valor de la put americana empuja a C − P hacia abajo: por eso la diferencia puede quedar dentro de la banda, entre el valor del forward con K sin descontar y el valor con K descontado. Si cotizaciones americanas salieran de esa banda, existiría una operación con ingreso inmediato y pagos no negativos.

Precisión: con ingresos antes de T la call americana también puede valer más que la europea; en ese caso se usan las versiones con dividendos de cada relación. La banda exacta siempre se reobtiene comparando flujos, no memorizando el caso simple.

17.8 Implementar la paridad en JavaScript

Primero verificamos la identidad de pagos: estas funciones no usan precios, sólo el escenario final, y muestran que las dos carteras entregan lo mismo.

function pagoCarteraCallBono(precioFinal, K) {
  return Math.max(precioFinal - K, 0) + K;
}

function pagoCarteraPutActivo(precioFinal, K) {
  return Math.max(K - precioFinal, 0) + precioFinal;
}

console.log(pagoCarteraCallBono(80, 100));   // 100
console.log(pagoCarteraPutActivo(80, 100));  // 100
console.log(pagoCarteraCallBono(120, 100));  // 120
console.log(pagoCarteraPutActivo(120, 100)); // 120

Ahora las funciones de precio: cada despeje de la paridad se convierte en una función que declara qué recibe y qué entrega. El verificador compara las dos carteras y usa una tolerancia para absorber redondeos de las cotizaciones.

function putParidad(call, spot, strike, descuento) {
  return call + strike * descuento - spot;
}

function callParidad(put, spot, strike, descuento) {
  return put + spot - strike * descuento;
}

function verificarParidad(call, put, spot, strike, descuento) {
  const carteraA = call + strike * descuento;
  const carteraB = put + spot;
  const diferencia = carteraA - carteraB;
  return {
    carteraA: carteraA.toFixed(2),
    carteraB: carteraB.toFixed(2),
    diferencia: diferencia.toFixed(2),
    alineada: Math.abs(diferencia) <= 0.01
  };
}

console.log(putParidad(12, 100, 100, 0.95)); // 7
console.log(callParidad(7, 100, 100, 0.95)); // 12
console.log(verificarParidad(12, 7, 100, 100, 0.95)); // alineada: true
console.log(verificarParidad(12, 9, 100, 100, 0.95)); // alineada: false

La última llamada corresponde a la put de $9 del apartado 17.5: la diferencia es $2 y la verificación lo detecta. Nótese que la función informa la inconsistencia, pero no decide si es explotable: eso requiere comparar contra costos reales.

17.9 Laboratorio: verificador de paridad put-call

Modificá el spot, K, el factor de descuento y ambas primas. El laboratorio compara el costo de las dos carteras, muestra los precios sintéticos implícitos y describe la operación sugerida cuando la diferencia supera un centavo. Los resultados ignoran comisiones, spreads y costos de préstamo.

17.10 Usos, controles y límites

La paridad es una de las herramientas más utilizadas del mercado de opciones:

• Control de cotizaciones: detecta precios cargados, desactualizados o de distintos momentos del mercado.
• Posiciones sintéticas: permite obtener una exposición equivalente cuando un instrumento es ilíquido o no está disponible, aunque con los costos y riesgos de las patas que se usen.
• Precios implícitos: a partir de tres datos se infiere el cuarto: la put implícita, la call implícita, el factor de descuento implícito o el valor del forward.
• Validación de modelos: todo modelo correcto para opciones europeas debe reproducir la paridad. Un árbol binomial o Black-Scholes que no la cumpla tiene un error de implementación o de supuestos.

Antes de actuar sobre una diferencia, conviene responder esta lista de control:

1. ¿Las dos opciones son europeas y comparten subyacente, K y vencimiento exactos?
2. ¿El activo reparte ingresos antes de T? ¿Se incorporó su valor presente I?
3. ¿El factor de descuento corresponde a la tasa y al plazo correctos?
4. ¿La prima observada es de compra, de venta o un promedio?
5. ¿La diferencia supera comisiones, spreads y costos de préstamo de valores?
6. ¿Coinciden unidades, multiplicadores y moneda de los cuatro instrumentos?

Alcance educativo: el curso explica relaciones de valoración. Una diferencia detectada por un verificador no constituye una recomendación ni garantiza una operación realizable con resultado positivo.

17.11 Próximo paso: de la relación a las estrategias

Con la paridad dejamos de mirar cada opción por separado: call, put, activo y bono forman un sistema de precios relacionados. Esa gramática permite descomponer posiciones complejas en componentes simples y viceversa.

En el próximo tema combinaremos opciones entre sí —spreads, straddles y otras estructuras— para diseñar perfiles de pago a medida. La paridad reaparecerá como herramienta de análisis: muchas combinaciones pueden reescribirse en términos de las carteras equivalentes que estudiamos aquí.

17.12 Ejercicio propuesto

Una call y una put europeas sobre la misma acción tienen K = $90 y vencen dentro de un período. El activo cotiza a S₀ = $80, el factor de descuento es D(0,T) = 0,925 y la call cotiza a $6,50. La put cotiza a $11.

1. Calculá K × D(0,T).
2. Calculá la put consistente con la paridad.
3. Indicá qué cartera está cara y cuál está barata.
4. Describí la operación de arbitraje y el ingreso inmediato.
5. Verificá que los pagos en T coinciden para S_T = $70 y S_T = $110.
6. Escribí una función JavaScript para obtener la put de paridad.

function putParidad(call, spot, strike, descuento) {
  return call + strike * descuento - spot;
}

const teorica = putParidad(6.5, 80, 90, 0.925);
console.log(teorica);            // 9.75
console.log(11 - teorica);       // 1.25

17.13 Ejercicio adicional: tres cotizaciones candidatas

Una call europea sobre una acción que no reparte ingresos cotiza a $3, con S₀ = $50, K = $55 y D(0,T) = 0,96. Se observan tres primas candidatas para la put: $5,10; $5,80 y $6,40.

1. Calculá K × D(0,T) y la put consistente con la paridad.
2. Clasificá cada prima: consistente, put barata o put cara.
3. Para cada prima inconsistente, indicá qué cartera se compra y cuál se vende.
4. Calculá el ingreso inmediato en cada caso.
5. ¿Por qué un ingreso de $0,60 puede no ser explotable en la práctica?

function putParidad(call, spot, strike, descuento) {
  return call + strike * descuento - spot;
}

const teorica = putParidad(3, 50, 55, 0.96);
console.log(teorica.toFixed(2));             // "5.80"
console.log((teorica - 5.1).toFixed(2));     // "0.70"
console.log((6.4 - teorica).toFixed(2));     // "0.60"