20. Probabilidades neutrales al riesgo y valoración esperada descontada

20.1 El puente entre replicación y esperanza

En el tema 19 la prima de una opción apareció de dos maneras que resultaron ser la misma: el costo de la cartera replicante y una esperanza descontada con la probabilidad neutral al riesgo p. Este tema profundiza la segunda lectura, que es la que se extiende a más períodos y a otros modelos.

Idea central: valorar es promediar los pagos futuros con la probabilidad neutral p y descontar el resultado a la tasa r. Ningún paso requiere estimar la probabilidad real de subida ni el rendimiento esperado del activo.

20.2 La probabilidad neutral: definición y propiedades

En el modelo de un período con factores u y d y tasa r, la probabilidad neutral al riesgo se define como:

Propiedades que conviene retener:

• Pertenece al intervalo (0, 1): es consecuencia directa de la condición de no arbitraje d < 1 + r < u.
• No depende de la opción: p sólo usa u, d y r. Una call, una put o un forward del mismo modelo se ponderan con el mismo p.
• No depende del mundo real: no es la probabilidad de subida que estimaría un analista; es un cociente construido a partir de precios.
• Es única en este modelo: con dos estados y dos instrumentos, no hay más de un par de pesos compatibles con la ausencia de arbitraje.

Con los datos que venimos usando —S0 = 100, u = 1,2, d = 0,8, r = 5 %— resulta p = (1,05 − 0,8) / (1,2 − 0,8) = 0,625 y 1 − p = 0,375.

20.3 Bajo p, todos los activos rinden la tasa libre de riesgo

¿Por qué «neutral al riesgo»? Calculemos el valor esperado del activo bajo p:

Es decir: ponderado con p, el activo riesgoso tiene exactamente el mismo rendimiento esperado que el bono. El premio por riesgo desaparece. No porque los inversores hayan cambiado de preferencias, sino porque las probabilidades fueron ajustadas para lograrlo: p es la probabilidad que hace que el mundo se comporte «como si» todos fueran neutrales al riesgo.

Esta propiedad vale en general: para cualquier cartera construida con el activo y el bono, Ep[valor en T] = valor hoy × (1 + r). Es la razón por la que descontar a la tasa libre de riesgo es lo correcto cuando se pondera con p.

20.4 El principio de valoración neutral al riesgo

El resultado general del modelo de un período puede enunciarse así: si un derivado paga X en T y su pago puede replicarse con el activo y el bono, entonces

La demostración es corta y esclarecedora. La cartera replicante cumple X = Δ × ST + B × (1 + r) en ambos escenarios. Tomando esperanza bajo p y descontando:

El primer sumando usa la propiedad del apartado anterior. Así, la esperanza descontada coincide con el costo de la cartera replicante para cualquier pago replicable, sin importar su forma.

Interpretación: podemos valorar «como si» el mundo fuera neutral al riesgo. La neutralidad es una herramienta de cálculo, no una descripción de los inversores reales.

20.5 La probabilidad real no cambia el precio

Supongamos que un analista cree que la probabilidad real de subida es q = 0,9. El valor esperado del pago de la call bajo esa creencia sería 0,9 × 20 = 18 y, descontado al 5 %, $17,14. Sin embargo, el precio de la call es $11,90. ¿Quién tiene razón?

Descontar la esperanza real a la tasa libre de riesgo es un error conceptual: un pago riesgoso no se descuenta a la tasa sin riesgo. Para usar q habría que descontar a una tasa ajustada por riesgo, difícil de estimar y específica de cada inversor. La probabilidad neutral evita ese problema: absorbe el ajuste dentro de los pesos y permite descontar siempre a r.

Consecuencia: dos inversores con expectativas opuestas sobre la probabilidad de subida —o sobre el rumbo del activo— obtienen la misma prima. El precio no expresa un pronóstico; expresa una relación de no arbitraje entre los pagos y los precios de hoy.

20.6 La propiedad de martingala

La relación Ep[ST] = S0(1 + r) puede reescribirse descontando el valor futuro:

Un proceso cuyo valor esperado descontado de mañana es el valor de hoy se llama martingala. Bajo p, los precios descontados del activo y de todos los derivados replicables son martingalas. La fórmula de valoración del apartado 20.4 no es más que esa propiedad escrita al revés: conocido el valor futuro, se obtiene el presente descontando su esperanza.

Esta lectura es la que se traslada a los modelos numéricos: en un árbol binomial de varios períodos, cada paso se pondera con su p y se descuenta una vez; el tema 21 encadenará esos pasos.

20.7 Ejemplo completo paso a paso

Retomemos los datos del tema 19: S0 = $100, u = 1,2, d = 0,8, r = 5 % y una call con K = $100. Con p = 0,625, cada escenario aporta a la prima su pago ponderado y descontado:

Los dos caminos coinciden, como debe ser. La ventaja del camino esperado es que no exige resolver la cartera replicante: alcanza con los pagos y los pesos.

20.8 El mismo método para cualquier derivado

La fórmula Ep[X] / (1 + r) no es específica de las opciones: sirve para cualquier pago contingente. Tres ejemplos con los mismos datos:

Nótese que el valor del forward coincide con el obtenido en el tema 10 mediante replicación. No es una coincidencia: es el mismo principio de no arbitraje, ahora escrito como esperanza descontada. Las opciones digitales o binarias, en las que el pago es un importe fijo en lugar de la diferencia con K, también admiten la misma valuación.

20.9 Implementación en JavaScript

Dos funciones alcanzan para el modelo completo: una obtiene p y otra valora cualquier pago. Separarlas permite reutilizar la misma p en varios derivados del mismo modelo.

function probabilidadNeutral(factorSubida, factorBajada, tasa) {
  return ((1 + tasa) - factorBajada) / (factorSubida - factorBajada);
}

function valorNeutral(pagoSubida, pagoBajada, factorSubida, factorBajada, tasa) {
  const p = probabilidadNeutral(factorSubida, factorBajada, tasa);
  return (p * pagoSubida + (1 - p) * pagoBajada) / (1 + tasa);
}

console.log(probabilidadNeutral(1.2, 0.8, 0.05).toFixed(4)); // "0.6250"
console.log(valorNeutral(20, 0, 1.2, 0.8, 0.05).toFixed(4)); // "11.9048"

Con las mismas funciones verificamos los controles del apartado 20.3 y valoramos otros derivados del modelo.

function probabilidadNeutral(factorSubida, factorBajada, tasa) {
  return ((1 + tasa) - factorBajada) / (factorSubida - factorBajada);
}

const u = 1.2, d = 0.8, r = 0.05;
const p = probabilidadNeutral(u, d, r);
const descuento = 1 / (1 + r);

console.log(((p * 120 + (1 - p) * 80) * descuento).toFixed(4)); // "100.0000" (el activo)
console.log(((p * 20 + (1 - p) * 0) * descuento).toFixed(4));   // "11.9048" (la call)
console.log(((p * 0 + (1 - p) * 20) * descuento).toFixed(4));   // "7.1429" (la put)
console.log(((p * 20 + (1 - p) * -20) * descuento).toFixed(4)); // "4.7619" (el forward)

El primer resultado es el control más importante: aplicada al propio activo, la fórmula devuelve S0. Si no lo hiciera, p estaría mal calculada.

20.10 Laboratorio: valoración esperada descontada

Modificá los datos del modelo, el tipo de opción y también la probabilidad real q. El laboratorio muestra los pesos neutrales, el aporte de cada escenario a la prima y el control del activo. El último renglón compara con lo que daría descontar la esperanza real: un recordatorio de que q no valora.

20.11 Supuestos, límites y controles

La valoración neutral al riesgo es potente pero depende del modelo. Sus límites:

• p no es un pronóstico: si cambian u, d o r, cambia p. El analista que estima la probabilidad real no aporta datos a este cálculo.
• Un solo p mientras el modelo no cambie: en dos estados la probabilidad es única; con más estados podrían aparecer varias candidatas y habría que elegir el modelo con criterios adicionales (tema 21).
• Replicabilidad: la fórmula presupone que el pago puede replicarse con el activo y el bono. Si el mercado está incompleto, la esperanza descontada no fija un precio único.
• Sin fricciones ni ingresos: una sola tasa, sin comisiones ni dividendos intermedios.

Lista de control de la valoración esperada:

1. ¿Se cumple d < 1 + r < u y por lo tanto 0 < p < 1?
2. ¿La fórmula aplicada al propio activo devuelve S0?
3. ¿El resultado coincide con la replicación del tema 19, cuando ambos caminos se calculan?
4. ¿Los pagos se calcularon con el derivado correcto (call, put, forward, digital) y el mismo K?
5. ¿Quedó claro que q no intervino en el precio?
6. ¿El resultado respeta las cotas y la paridad del módulo 3?

Alcance educativo: el curso explica modelos y relaciones de valoración. Los precios obtenidos dependen de los supuestos del modelo y no constituyen recomendaciones de inversión.

20.12 Próximo paso: encadenar períodos

Todas las piezas del modelo de un período están en su lugar: pagos, pesos neutrales, descuento y controles. El tema 21 repite este mecanismo en cada nodo de un árbol binomial de varios períodos: el precio de hoy surgirá de ponderar hacia atrás, paso a paso, con la misma p por período y el mismo descuento.

La propiedad de martingala del apartado 20.6 es la que hace posible ese encadenamiento: si en cada paso el valor esperado descontado se conserva, el proceso completo se valora retrocediendo desde el vencimiento hasta hoy.

20.13 Ejercicio propuesto

Un activo cotiza a S0 = $60; en un período sube con u = 1,25 o baja con d = 0,8, y la tasa es del 8 %. Se valoran una call y una put europeas con K = $60.

1. Calculá p y 1 − p.
2. Verificá que Ep[ST] = S0 × (1 + r).
3. Calculá la prima de la call por esperanza descontada.
4. Calculá la prima de la put y comprobá la paridad put-call.
5. ¿Cambiaría la prima si la probabilidad real de subida fuera muy alta? Explicá por qué.

function probabilidadNeutral(factorSubida, factorBajada, tasa) {
  return ((1 + tasa) - factorBajada) / (factorSubida - factorBajada);
}

function valorNeutral(pagoSubida, pagoBajada, factorSubida, factorBajada, tasa) {
  const p = probabilidadNeutral(factorSubida, factorBajada, tasa);
  return (p * pagoSubida + (1 - p) * pagoBajada) / (1 + tasa);
}

console.log(probabilidadNeutral(1.25, 0.8, 0.08).toFixed(4)); // "0.6222"
console.log(valorNeutral(15, 0, 1.25, 0.8, 0.08).toFixed(4)); // "8.6420"
console.log(valorNeutral(0, 12, 1.25, 0.8, 0.08).toFixed(4)); // "4.1975"

20.14 Ejercicio adicional: forward y digital bajo p

Con el modelo base —S0 = $100, u = 1,2, d = 0,8, r = 5 % y p = 0,625— se pide:

1. Un inversor cree que la probabilidad real de subida es 0,8. Calculá el valor esperado descontado que obtendría con su creencia y explicá por qué no es el precio.
2. Valorá un forward con precio de entrega K = $100 (pagos 20 y −20) y compará con S0 − K / (1 + r).
3. Valorá una opción digital que paga $1 si el activo sube y $0 si baja.
4. ¿Qué control aplicado al activo confirma que la digital y el forward usan los pesos correctos?

function valorNeutral(pagoSubida, pagoBajada, factorSubida, factorBajada, tasa) {
  const p = ((1 + tasa) - factorBajada) / (factorSubida - factorBajada);
  return (p * pagoSubida + (1 - p) * pagoBajada) / (1 + tasa);
}

console.log(valorNeutral(20, -20, 1.2, 0.8, 0.05).toFixed(4)); // forward: "4.7619"
console.log(valorNeutral(1, 0, 1.2, 0.8, 0.05).toFixed(4));    // digital: "0.5952"
console.log(valorNeutral(20, 0, 1.2, 0.8, 0.05).toFixed(4));   // call: "11.9048"