8. Precio forward mediante compra y financiamiento del subyacente

8.1 Valorar no es pronosticar

Es razonable esperar que un precio futuro sea incierto. Sin embargo, para determinar el precio de entrega justo de un forward no necesitamos conocer el precio spot que habrá al vencimiento. Necesitamos construir otra posición que entregue exactamente el mismo activo en la misma fecha.

El principio de no arbitraje dice que dos carteras con los mismos flujos futuros deben costar lo mismo hoy. Un forward largo con precio de entrega K promete recibir una unidad del activo en T y pagar K en esa fecha. Podemos replicar esa compra futura comprando una unidad hoy y tomando dinero prestado para financiarla.

Pregunta guía: ¿cuánto costará en T devolver el dinero necesario para comprar hoy una unidad del activo? Ese costo determina el precio forward cuando el activo no paga ingresos ni genera costos adicionales.

8.2 Supuestos del caso básico

Comenzaremos con un activo de inversión que puede comprarse y venderse, no paga dividendos ni otros ingresos antes de T, y no tiene costos de almacenamiento. Usaremos una tasa de financiación y préstamo coherente para el plazo. Es un modelo deliberadamente simple: sus extensiones aparecerán en el tema siguiente.

En la realidad hay comisiones, spreads, impuestos, restricciones para vender en corto, riesgo de crédito y diferencias entre tasas de préstamo y colocación. Esos elementos crean bandas de no arbitraje; primero veremos la igualdad ideal que permite comprender la lógica.

8.3 La cartera de compra y financiación

Sea S0 el precio spot actual de una unidad. Para asegurarnos una unidad del activo en T podemos realizar dos operaciones en t = 0: pedir prestado S0 y comprar una unidad. El desembolso neto inicial de esa cartera es cero.

Si la tasa efectiva para el plazo es r, el préstamo de S0 exige devolver S0 × (1 + r) en T. La cartera deja entonces una unidad del activo en T y una obligación monetaria por ese importe. Es exactamente la estructura de un forward largo cuyo precio de entrega sea ese importe.

8.4 Fórmula con varios períodos y factores de descuento

Si la tasa efectiva por período es r y faltan n períodos, el importe financiado se capitaliza n veces. Por tanto, el precio forward teórico del caso básico es:

D(0,T) es el factor de descuento de un pago monetario en T. La segunda expresión es especialmente útil cuando se trabaja con factores de una curva de tasas: no hace falta suponer una única tasa constante, basta con usar el descuento aplicable al vencimiento.

No confundas F0,T con una predicción de ST. La fórmula describe el precio de entrega que evita una oportunidad de arbitraje dadas las posibilidades de comprar, financiar y entregar el activo hoy disponibles.

8.5 Demostración por arbitraje: forward demasiado caro

Supongamos que el mercado cotiza un forward con precio de entrega K mayor que el costo de compra y financiación S0(1+r)n. El forward es relativamente caro: alguien está dispuesto a pagar en T más de lo que cuesta asegurar el activo desde hoy.

1. Pedí prestado S0 y comprá una unidad del activo al contado.
2. Tomá una posición corta en el forward caro: en T deberás entregar una unidad y cobrarás K.
3. Conservá el activo hasta T y entregalo para cumplir el forward.
4. Usá parte de K para devolver el préstamo capitalizado.

Al vencimiento el activo recibido y entregado se compensan. El resultado monetario seguro es K − S0(1+r)n, positivo bajo la hipótesis. Esta estrategia se llama cash-and-carry: se compra el activo con efectivo prestado y se “transporta” hasta la entrega.

8.6 Demostración por arbitraje: forward demasiado barato

Ahora supongamos que K es menor que el costo de compra y financiación. El forward largo es relativamente barato frente a comprar el activo hoy. Para explotar la diferencia se ejecuta la estrategia opuesta, siempre que sea posible vender el activo en corto.

1. Vendé en corto una unidad del activo y recibí S0.
2. Invertí ese dinero hasta T.
3. Tomá una posición larga en el forward barato.
4. En T pagá K, recibí el activo por el forward y usalo para devolver el activo tomado en préstamo.

La inversión inicial crece a S0(1+r)n. Luego de pagar K, queda un resultado seguro de S0(1+r)n − K. Esta operación se denomina reverse cash-and-carry. Sus requisitos prácticos, en especial el préstamo del activo, no siempre están disponibles.

8.7 Ejemplo completo

Una acción que no paga dividendos cotiza hoy a S0 = $100. El plazo es un año y la tasa efectiva anual sin riesgo para el ejemplo es 8 %. El costo de asegurar una acción mediante compra y financiación es:

El resultado de $6 en el caso caro no depende de si la acción termina valiendo $70 o $160. Quien hace cash-and-carry ya posee la acción que deberá entregar; el precio final afecta a otros participantes, pero no a los flujos netos de esta cartera replicante.

8.8 Del razonamiento a JavaScript

Una implementación didáctica debe recibir una tasa en formato decimal y un número de períodos consistente con esa tasa. Es preferible devolver datos intermedios para poder auditar el cálculo, no sólo el precio final.

function precioForwardSinRenta(spot, tasaPorPeriodo, periodos) {
  return spot * (1 + tasaPorPeriodo) ** periodos;
}

const spot = 100;
const forwardTeorico = precioForwardSinRenta(spot, 0.08, 1);

console.log(forwardTeorico); // 108

La función siguiente clasifica la diferencia respecto del precio observado. La palabra “arbitraje” se usa sólo dentro de los supuestos del modelo; en una operación real habría que descontar todos los costos y verificar que las operaciones puedan ejecutarse.

function precioForwardSinRenta(spot, tasaPorPeriodo, periodos) {
  return spot * (1 + tasaPorPeriodo) ** periodos;
}

function analizarPrecioForward(spot, tasa, periodos, precioObservado) {
  const teorico = precioForwardSinRenta(spot, tasa, periodos);
  const diferencia = precioObservado - teorico;
  return {
    teorico,
    diferencia,
    estrategia: diferencia > 0 ? 'cash-and-carry' :
      diferencia < 0 ? 'reverse cash-and-carry' : 'sin diferencia'
  };
}

console.log(analizarPrecioForward(100, 0.08, 1, 114));

8.9 Laboratorio: precio forward y diferencia de no arbitraje

Ingresá el precio spot, una tasa efectiva por período, la cantidad de períodos y un precio forward observado. El laboratorio calcula el precio teórico sin rentas ni costos, y muestra la estrategia que sería consistente con la diferencia bajo los supuestos simplificados.

8.10 Límites y supuestos que se deben declarar

La igualdad F0,T = S0(1+r)n no es una regla universal para cualquier activo. Es la consecuencia de una cartera replicante concreta. Si esa cartera tiene otros flujos o costos, la relación cambia.

• Un activo que paga dividendos o cupones reduce el costo neto de llevarlo hasta T.
• Una materia prima puede generar almacenamiento, seguros o mermas.
• Un activo difícil de pedir prestado puede impedir o encarecer la venta corta.
• Las tasas de préstamo y de inversión pueden diferir; los spreads crean una banda, no una igualdad exacta.
• El riesgo de contraparte y las garantías pueden afectar el valor de un forward bilateral.

Próximo paso: el tema 9 incorpora explícitamente rentas, dividendos y costos de almacenamiento. La lógica seguirá siendo la misma: identificar todos los flujos de poseer el activo desde hoy hasta T y compararlos con los del forward.

8.11 Ejercicio propuesto

Un activo sin rentas cotiza a $250. El vencimiento es dentro de dos períodos y la tasa efectiva por período es 3 %. Un contrato forward equivalente se ofrece con precio de entrega de $270.

1. Calculá el precio forward teórico.
2. Determiná si el forward está caro o barato respecto de la cartera de compra y financiación.
3. Describí las operaciones iniciales y al vencimiento de la estrategia correspondiente.
4. Calculá el resultado seguro por unidad bajo los supuestos del modelo.
5. Mencioná dos fricciones que podrían hacer que la operación no sea realizable en la práctica.

function precioForwardSinRenta(spot, tasaPorPeriodo, periodos) {
  return spot * (1 + tasaPorPeriodo) ** periodos;
}

const teorico = precioForwardSinRenta(250, 0.03, 2);
const ganancia = 270 - teorico;

console.log(teorico.toFixed(2)); // 265.23
console.log(ganancia.toFixed(2)); // 4.78