10. Aplicar impulso y cantidad de movimiento por componentes

10.1 De la ecuación vectorial a ecuaciones escalares

El teorema impulso-cantidad de movimiento se expresa mediante vectores:

En una dimensión basta elegir un sentido positivo y trabajar con signos. En dos dimensiones, cada vector posee componentes x e y. La igualdad vectorial equivale a dos ecuaciones:

10.2 Elegir ejes convenientes

Los ejes cartesianos pueden orientarse de distintas maneras. Una elección conveniente reduce la cantidad de componentes y simplifica los signos.

En una superficie horizontal solemos elegir +x hacia la derecha y +y hacia arriba. Si el movimiento principal sigue una rampa, podemos orientar x paralelo a ella e y perpendicular.

Después de elegir los ejes debemos mantenerlos durante todo el problema. Girarlos entre el estado inicial y el final haría incompatibles las componentes.

• dibujá el origen y las flechas positivas;
• anotá qué dirección representa cada eje;
• asigná signos a partir del dibujo;
• expresá todos los vectores en esa misma base.

10.3 Componentes de la cantidad de movimiento

Para masa constante, cada componente del momento se obtiene multiplicando la masa por la componente correspondiente de la velocidad:

Si m = 2 kg y v⃗ = (3, −4) m/s:

La masa es positiva y no altera los signos. Si una componente de velocidad es cero, la misma componente de cantidad de movimiento también es cero.

10.4 Componentes del impulso

El impulso resultante también se separa por ejes:

Para una fuerza resultante constante:

Las dos componentes pueden provenir de fuerzas diferentes. Por ejemplo, una pared vertical puede producir un impulso principalmente horizontal mientras otras fuerzas se equilibran verticalmente.

10.5 Actualizar cada componente

Reordenamos el teorema para calcular el estado final:

Nunca sumamos una componente x con una componente y. Cada eje tiene su propio balance.

10.6 Recuperar la velocidad final

Después de calcular p⃗_f, dividimos sus componentes por la masa:

Luego podemos obtener la rapidez y el ángulo:

La dirección de v⃗_f coincide con la de p⃗_f porque ambos vectores se relacionan mediante la masa positiva.

10.7 Datos expresados con módulo y ángulo

Si una velocidad de módulo v forma un ángulo θ medido desde +x:

Las mismas relaciones sirven para fuerza, impulso y cantidad de movimiento:

Las funciones trigonométricas de JavaScript reciben radianes. Para convertir grados:

Los signos surgen automáticamente del seno y el coseno si el ángulo está ubicado en el cuadrante correcto.

10.8 Ejemplo completo en dos dimensiones

Un disco de 2 kg tiene v⃗_i = (3, 1) m/s y recibe J⃗_res = (−4, 6) N·s.

Primero calculamos el momento inicial:

Aplicamos el teorema:

Finalmente dividimos por la masa:

10.9 Una componente puede permanecer constante

Si J_y = 0, entonces:

El impulso puede cambiar la componente x mientras deja intacta la componente y. Esto ocurre en modelos de contacto con superficies lisas, donde la interacción principal es perpendicular a la superficie.

“Componente constante” no significa “vector constante”. Si cambia p_x, cambian el módulo y la dirección de p⃗ aunque p_y conserve su valor.

10.10 Hallar el impulso necesario

Si conocemos los estados inicial y final:

Por ejemplo, una pelota de 0,5 kg cambia su velocidad de (4, 2) a (−2, 6) m/s:

El impulso requerido apunta hacia el segundo cuadrante y tiene módulo √13 ≈ 3,61 N·s.

10.11 Hallar una componente desconocida

Cada balance puede despejarse de forma independiente. Si conocemos p_iy, p_fy y J_y, podemos comprobar su coherencia. Si falta uno:

Los datos del eje x no permiten hallar por sí solos una incógnita del eje y. Es necesario contar con una ecuación o condición adicional en esa componente.

Esto ayuda a detectar problemas subdeterminados: tener muchos números no garantiza disponer de la información necesaria.

10.12 Varios impulsos sucesivos o simultáneos

Los impulsos se suman vectorialmente:

Si actúan simultáneamente durante el mismo intervalo, su suma es el impulso resultante. Si actúan uno después del otro, podemos actualizar el estado por etapas. Mientras los impulsos estén expresados en el mismo sistema de referencia, ambos procedimientos producen el mismo momento final.

Conocer solo la suma final no informa el orden ni la trayectoria intermedia del cuerpo.

10.13 Extensión a tres dimensiones

El procedimiento se extiende agregando el eje z:

El módulo es √(p_x² + p_y² + p_z²). No cambia la física ni el algoritmo: solamente incorporamos una componente.

Las colisiones principales de este curso se resolverán en una y dos dimensiones para mantener visible la geometría.

10.14 Método de resolución por componentes

1. Definir sistema, intervalo y sistema de referencia.
2. Dibujar los ejes y mantenerlos fijos.
3. Convertir módulos y ángulos en componentes.
4. Calcular p⃗_i e J⃗_res.
5. Aplicar el teorema por separado en x e y.
6. Dividir p⃗_f por la masa si se pide velocidad.
7. Calcular módulo y ángulo con Pitágoras y atan2.
8. Verificar signos, unidades y balance vectorial.

10.15 Actividad interactiva: sumar el impulso en el plano

Modificá la masa, la velocidad inicial y las componentes del impulso. El vector naranja comienza en la punta del azul; el verde representa la resultante final.

Probá establecer J_y = 0 y comprobá que p_y no cambia. Después buscá un impulso que deje al cuerpo en reposo.

10.16 Implementar el cálculo con JavaScript

Podemos encapsular las operaciones para evitar mezclar componentes:

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function escalarPorVector(escalar, vector) {
  return { x: escalar * vector.x, y: escalar * vector.y };
}

function aplicarImpulso(masaKg, velocidadInicial, impulsoNs) {
  if (masaKg <= 0) throw new RangeError("Masa inválida");

  const momentoInicial = escalarPorVector(
    masaKg,
    velocidadInicial
  );
  const momentoFinal = sumar(momentoInicial, impulsoNs);
  const velocidadFinal = escalarPorVector(
    1 / masaKg,
    momentoFinal
  );

  return { momentoInicial, momentoFinal, velocidadFinal };
}

const resultado = aplicarImpulso(
  2,
  { x: 3, y: 1 },
  { x: -4, y: 6 }
);

console.log(resultado.velocidadFinal); // { x: 1, y: 4 }

Las funciones reciben y devuelven nuevos objetos. Así podemos conservar los estados, probar cada operación por separado y extender fácilmente el código a una componente z.

10.17 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: impulso horizontal

Un cuerpo de 2 kg tiene v⃗_i = (1, 3) m/s y recibe J⃗ = (6, 0) N·s:

Ejemplo 2: impulso por módulo y ángulo

J = 10 N·s a 30° desde +x:

Ejemplo 3: impulso para detener

Un cuerpo de 3 kg se mueve con v⃗_i = (−2, 4) m/s. Para que p⃗_f = 0:

Ejemplo 4: dos impulsos

p⃗_i = (5, −2), J⃗₁ = (−3, 4) y J⃗₂ = (1, −6), en unidades compatibles:

10.18 Verificación del resultado

Una resolución por componentes debe cumplir:

• p_fx − p_ix = J_x;
• p_fy − p_iy = J_y;
• las unidades de cada suma son kg·m/s o N·s;
• el cuadrante del vector reconstruido coincide con los signos;
• atan2(y, x) se usa en ese orden;
• si una componente del impulso es cero, esa componente del momento no cambia;
• la velocidad final satisface p⃗_f = m·v⃗_f.

También puede sustituirse el resultado final en el teorema y comprobar que recupera exactamente el impulso aplicado.

10.19 Errores frecuentes

• Cambiar los ejes durante la resolución: todas las componentes deben compartir la misma base.
• Sumar x con y: cada eje tiene una ecuación independiente.
• Usar rapidez como componente: v no equivale automáticamente a v_x.
• Intercambiar seno y coseno: depende de desde qué eje se mida el ángulo.
• Usar grados directamente en JavaScript: Math.sin y Math.cos esperan radianes.
• Calcular el ángulo con atan(y/x): pierde información del cuadrante; conviene atan2(y, x).
• Sumar módulos de varios impulsos: deben sumarse sus componentes.
• Dividir solamente el módulo por la masa: se perdería la dirección de la velocidad final.
• Redondear componentes demasiado pronto: puede aumentar el error en módulo y ángulo.

10.20 Ejercicios propuestos

1. Un cuerpo tiene p⃗_i = (4, −3) kg·m/s y recibe J⃗ = (2, 5) N·s. Hallá p⃗_f.
2. Una masa de 2 kg parte con v⃗_i = (−1, 4) m/s y recibe J⃗ = (6, −2) N·s. Calculá v⃗_f.
3. Calculá las componentes de un impulso de 20 N·s dirigido a 60° desde +x.
4. Una pelota de 0,4 kg cambia su velocidad de (5, 0) a (−3, 4) m/s. Hallá el impulso resultante.
5. p⃗_i = (−2, 7) y p⃗_f = (6, 7) kg·m/s. Calculá J⃗ y explicá qué componente permaneció constante.
6. Un cuerpo con p⃗_i = (8, −6) kg·m/s debe detenerse. Determiná J⃗, su módulo y su dirección.
7. Sobre un cuerpo actúan J⃗₁ = (3, 2), J⃗₂ = (−5, 4) y J⃗₃ = (1, −3) N·s. Hallá el impulso resultante.
8. Un cuerpo de 5 kg termina con p⃗_f = (15, −20) kg·m/s. Calculá su velocidad final, rapidez y cuadrante.
9. Modificá el ejemplo JavaScript para m = 4 kg, v⃗_i = (2, −3) m/s y J⃗ = (−12, 20) N·s. Anticipá y verificá todos los vectores.

10.21 Ideas para recordar

• Una igualdad vectorial equivale a una ecuación por cada componente.
• Los ejes deben elegirse antes de calcular y mantenerse fijos.
• p_fx = p_ix + J_x y p_fy = p_iy + J_y.
• Para masa constante, las componentes de velocidad se obtienen dividiendo por m.
• Un vector dado por módulo y ángulo debe descomponerse con seno y coseno.
• Si una componente del impulso es cero, la componente correspondiente del momento no cambia.
• Varios impulsos se suman por componentes.
• El módulo y la dirección se reconstruyen después de resolver los balances.
• En JavaScript, atan2 evita ambigüedades de cuadrante.

En el próximo tema analizaremos cómo la fuerza media y la duración de un impacto permiten explicar distintas estrategias de reducción de daños.