13. Conservación de la cantidad de movimiento y sus condiciones

La cantidad de movimiento total permanece constante cuando el impulso externo resultante sobre el sistema es nulo durante el intervalo analizado.

13.1 Del balance a la conservación

En el tema anterior obtuvimos el balance para un sistema de cuerpos:

P⃗f = P⃗i + J⃗ext

Esta ecuación indica que solamente el impulso externo resultante puede cambiar la cantidad de movimiento total. Si ese impulso es cero:

J⃗ext = 0   ⇒   P⃗f = P⃗i

Decimos entonces que la cantidad de movimiento total se conserva durante el intervalo.

Conservar no significa que cada cuerpo mantenga su momento, sino que la suma vectorial del sistema tiene el mismo valor inicial y final.

13.2 Enunciado de la ley

La cantidad de movimiento total de un sistema se conserva si el impulso externo resultante es nulo durante el intervalo considerado.

Σp⃗antes = Σp⃗después   cuando   J⃗ext = 0

La condición se refiere al impulso, no necesariamente a la fuerza en cada instante. Una fuerza externa resultante nula durante todo el intervalo garantiza impulso nulo, pero también pueden existir fuerzas variables cuyos aportes se cancelen.

La ley se aplica a cualquier interacción clásica si el sistema y el intervalo están definidos de manera coherente.

13.3 Ecuación para varios cuerpos

Para n cuerpos de masa constante:

m1v⃗1i + m2v⃗2i + … + mnv⃗ni
=
m1v⃗1f + m2v⃗2f + … + mnv⃗nf

Cada lado representa el total del mismo sistema en un instante diferente. Deben aparecer exactamente los mismos cuerpos antes y después.

En una colisión de dos cuerpos:

mAv⃗Ai + mBv⃗Bi = mAv⃗Af + mBv⃗Bf

13.4 Conservación por componentes

Una igualdad vectorial equivale a una igualdad por cada eje:

Pfx = Pix si Jext,x = 0
Pfy = Piy si Jext,y = 0

Una componente puede conservarse aunque otra cambie. Si Jext,x = 0 pero Jext,y ≠ 0, se conserva Px, no el vector P⃗ completo.

J⃗ext = (Jext,x, Jext,y) = ΔP⃗ = (ΔPx, ΔPy) Jext,x = 0 ⇒ ΔPx = 0    |    Jext,y = 0 ⇒ ΔPy = 0

13.5 Impulso externo nulo no exige ausencia de fuerzas

Sobre un sistema pueden actuar fuerzas externas que se cancelan. Por ejemplo, en una mesa horizontal la fuerza normal y el peso pueden tener suma vertical nula.

También una fuerza externa variable puede producir áreas positiva y negativa iguales en su gráfico F-t. En ambos casos, el impulso externo resultante es cero.

Situaciones compatibles con J⃗ext = 0.
SituaciónRazón
No actúan fuerzas externasNo hay aportes que acumular.
Las fuerzas externas se equilibran siempreF⃗ext,res = 0 en cada instante.
Los impulsos externos se cancelanLa integral total es cero aunque la fuerza no lo sea siempre.
Una componente externa es nulaSe conserva solamente esa componente de P⃗.

13.6 Las interacciones internas pueden ser intensas

La conservación del total no requiere que las fuerzas internas sean pequeñas. Durante una colisión pueden ser enormes, pero aparecen en pares de igual módulo y sentido opuesto dentro del sistema.

Δp⃗A = −Δp⃗B   si J⃗ext = 0

Un componente pierde exactamente la cantidad de movimiento vectorial que el otro gana. Sus masas y cambios de velocidad no tienen por qué ser iguales.

La conservación describe el total y no determina por sí sola cómo se distribuye después. Para resolver todas las incógnitas pueden necesitarse datos adicionales sobre el tipo de interacción.

13.7 Antes y después

En colisiones usamos “antes” y “después” para los estados inmediatamente anterior y posterior al contacto. No intentamos describir con la ecuación de conservación la deformación instante a instante.

El intervalo debe incluir toda la interacción interna relevante y excluir etapas innecesarias. Si empieza después de iniciado el contacto o termina antes de la separación, los estados elegidos pueden no corresponder a los datos disponibles.

Las posiciones no tienen que coincidir en ambos estados. La conservación relaciona las cantidades de movimiento totales en los extremos.

13.8 Aplicación en una dimensión

Elegimos un sentido positivo y escribimos todas las velocidades con signo:

mAvAi + mBvBi = mAvAf + mBvBf

Dos carritos de 2 kg y 3 kg tienen velocidades iniciales +4 m/s y −1 m/s. Después, A queda con +1 m/s. Si no existe impulso externo:

2(4) + 3(−1) = 2(1) + 3vBf
5 = 2 + 3vBf
vBf = +1 m/s

El signo final indica que B termina moviéndose hacia +x.

13.9 Aplicación en dos dimensiones

Escribimos un balance para cada componente:

Σmivix,antes = Σmivix,después
Σmiviy,antes = Σmiviy,después

Si el momento inicial total es P⃗i = (10, 0) kg·m/s, el final también debe ser (10, 0) kg·m/s. Los momentos finales individuales pueden tener componentes y opuestas que se cancelen.

La igualdad de módulos totales no es suficiente. Deben coincidir por separado las componentes.

13.10 Conservación parcial

Un sistema recibe J⃗ext = (0, −6) N·s y parte con P⃗i = (12, 4) kg·m/s:

P⃗f = (12, 4) + (0, −6) = (12, −2) kg·m/s

La componente x se conserva: Pfx = Pix = 12 kg·m/s. La componente y cambia en −6 kg·m/s.

No digas simplemente “se conserva la cantidad de movimiento” cuando solo se conserva una componente. Indicá el eje y la razón.

13.11 Condición suficiente y prueba mediante datos

Conocer J⃗ext = 0 permite predecir que P⃗ se conservará. Si solo tenemos mediciones, podemos comprobar si los totales coinciden dentro de la incertidumbre:

P⃗f − P⃗i ≈ 0

Esta coincidencia es compatible con un impulso externo neto despreciable, pero no demuestra que no actuaron fuerzas externas. Sus impulsos pudieron cancelarse.

En un experimento real esperamos pequeñas diferencias por rozamiento, aire, medición y redondeo.

13.12 Sistema aislado, cerrado y componente aislada

Para conservar la cantidad de movimiento no basta que no entre ni salga materia. La condición mecánica relevante es el impulso externo resultante.

  • un sistema aislado ideal no intercambia impulso con el entorno;
  • un sistema puede no estar aislado en todas las direcciones y conservar solo Px;
  • un sistema cerrado puede recibir fuerzas externas y cambiar P⃗.

En el tema siguiente evaluaremos cómo justificar aproximaciones de aislamiento durante interacciones breves.

13.13 Momento y energía cinética no obedecen la misma condición

En un sistema con J⃗ext = 0 se conserva la cantidad de movimiento total, pero la energía cinética puede cambiar por deformación, sonido o energía interna.

Conservación durante una interacción sin impulso externo.
Magnitud¿Se conserva?Observación
Cantidad de movimiento totalSíJ⃗ext = 0.
Cantidad individualNo necesariamenteLas interacciones internas redistribuyen p⃗.
Energía totalSí, para el sistema aislado completoPuede cambiar de forma.
Energía cinéticaNo necesariamenteDepende del tipo de colisión.

No debemos agregar conservación de energía cinética como una segunda ecuación salvo que el modelo de la colisión lo permita.

13.14 Grados de libertad e información adicional

Una ecuación escalar de conservación permite hallar una incógnita escalar. Si en una colisión unidimensional desconocemos las dos velocidades finales, la conservación de P proporciona una ecuación para dos incógnitas y no determina una solución única.

Necesitamos una condición adicional, por ejemplo:

  • los cuerpos quedan unidos;
  • se conoce una velocidad final;
  • se especifica una relación entre velocidades;
  • la colisión pertenece a un tipo con otra condición física.

Los temas posteriores introducirán esas condiciones sin confundirlas con la conservación del momento.

13.15 Método de resolución

1. Definir sistema e intervalo
2. Evaluar J⃗ externo
3. Igualar totales por eje
4. Resolver y comprobar
  1. Elegir los cuerpos incluidos y el sistema de referencia.
  2. Dibujar ejes y asignar signos.
  3. Identificar impulsos externos durante el intervalo.
  4. Decidir qué componentes pueden conservarse.
  5. Escribir el total antes y después con los mismos cuerpos.
  6. Resolver las incógnitas sin eliminar signos.
  7. Comprobar que cada total coincide en los ejes conservados.
  8. No suponer conservación de energía cinética sin justificación adicional.

13.16 Actividad interactiva: conservación por componentes

Modificá el momento inicial y el impulso externo. El laboratorio indica por separado si se conserva cada componente.

Laboratorio de condiciones de conservación

Azul: P⃗ inicial. Naranja: J⃗ externo. Verde: P⃗ final.

Momento inicial, impulso externo y momento final El impulso externo vertical cambia la componente y y conserva la componente x. P⃗ᵢJ⃗extP⃗_f
Componente xSe conserva: Jext,x = 0
Componente yNo se conserva: Jext,y ≠ 0
Momento inicial(10,0; 4,0) kg·m/s
Impulso externo(0,0; −6,0) N·s
Momento final(10,0; −2,0) kg·m/s
P⃗_f = (10,0; 4,0) + (0,0; −6,0) = (10,0; −2,0) kg·m/s

Se conserva Px, pero no el vector completo porque existe impulso externo en y.

Llevá ambas componentes del impulso externo a cero para conservar el vector completo. Después modificá solo Jext,x y observá cómo cambia la condición.

13.17 Comprobar conservación con JavaScript

En datos numéricos conviene comparar dentro de una tolerancia:

function sumar(a, b) {
  return { x: a.x + b.x, y: a.y + b.y };
}

function componenteConservada(inicial, final, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(final - inicial) <= tolerancia;
}

const momentoInicial = { x: 10, y: 4 };
const impulsoExterno = { x: 0, y: -6 };
const momentoFinal = sumar(momentoInicial, impulsoExterno);

console.log(momentoFinal); // { x: 10, y: -2 }
console.log({
  x: componenteConservada(momentoInicial.x, momentoFinal.x),
  y: componenteConservada(momentoInicial.y, momentoFinal.y)
}); // { x: true, y: false }

La tolerancia debe relacionarse con la escala y la incertidumbre. Una diferencia diminuta por redondeo no representa necesariamente un impulso físico.

13.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: cuerpos que quedan unidos

Un cuerpo de 2 kg a +5 m/s se une a otro de 3 kg inicialmente en reposo. Sin impulso externo:

2(5) + 3(0) = (2 + 3)vf
vf = 2 m/s

Ejemplo 2: separación desde el reposo

Dos cuerpos parten con P = 0. Después, uno posee +18 kg·m/s. El otro debe poseer −18 kg·m/s para conservar el total.

Ejemplo 3: impulso externo conocido

P⃗i = (5, 2) kg·m/s y J⃗ext = (−1, 0) N·s:

P⃗f = (4, 2) kg·m/s

No se conserva el vector completo; solamente la componente y.

Ejemplo 4: comprobar datos

Un experimento da Pi = 12,0 y Pf = 11,8 kg·m/s. La diferencia −0,2 kg·m/s indica un impulso externo neto o incertidumbre experimental; no es conservación exacta.

13.19 Errores frecuentes

  • Conservar el momento de cada cuerpo: se conserva el total, no necesariamente los términos individuales.
  • Aplicar conservación sin evaluar J⃗ext: la igualdad requiere una condición física.
  • Exigir ausencia total de fuerzas externas: basta que su impulso resultante sea nulo.
  • Ignorar componentes: una dirección puede conservarse y otra no.
  • Usar cuerpos diferentes antes y después: ambos lados deben describir el mismo sistema.
  • Eliminar signos en una dimensión: las velocidades opuestas deben distinguirse.
  • Igualar módulos en dos dimensiones: la conservación es vectorial y se verifica por componentes.
  • Suponer conservación de energía cinética: requiere una condición adicional sobre la colisión.
  • Buscar dos incógnitas con una sola ecuación: se necesita información independiente adicional.

13.20 Ejercicios propuestos

  1. Explicá la condición exacta para conservar P⃗ durante un intervalo.
  2. Un sistema tiene Pi = +14 kg·m/s y Jext = 0. Hallá Pf.
  3. P⃗i = (8, −3) kg·m/s y J⃗ext = (0, 5) N·s. Hallá P⃗f e indicá qué componente se conserva.
  4. Dos cuerpos parten con P = 0. Uno termina con p = −11 kg·m/s. Hallá el momento del otro si Jext = 0.
  5. Un carrito de 2 kg a +6 m/s se une a otro de 4 kg a −1 m/s. Sin impulso externo, calculá la velocidad común.
  6. Dos cuerpos de 1 kg tienen velocidades finales (3, 4) y (5, −4) m/s. Hallá P⃗f. Si se conservó, ¿cuál era P⃗i?
  7. ¿Puede conservarse Px si actúan fuerzas externas verticales? Justificá.
  8. En una colisión unidimensional se desconocen ambas velocidades finales. Explicá por qué conservar P no alcanza para determinarlas.
  9. Modificá el ejemplo JavaScript para P⃗i = (−4, 7) kg·m/s y J⃗ext = (3, 0) N·s. Anticipá el resultado y las componentes conservadas.
Ver soluciones y explicaciones
  1. El impulso externo resultante debe ser cero durante el mismo intervalo en el que se comparan los estados.
  2. Pf = Pi = +14 kg·m/s.
  3. P⃗f = (8, 2) kg·m/s. Se conserva la componente x porque Jext,x = 0.
  4. Debe terminar con +11 kg·m/s para que el total permanezca cero.
  5. Pi = 2(6) + 4(−1) = 8 kg·m/s. La masa conjunta es 6 kg, por lo que vf = 8/6 ≈ 1,33 m/s.
  6. P⃗f = (3, 4) + (5, −4) = (8, 0) kg·m/s. Si se conservó, P⃗i también era (8, 0) kg·m/s.
  7. Sí. Las fuerzas exclusivamente verticales tienen Jext,x = 0 y no cambian Px.
  8. La conservación proporciona una ecuación escalar, pero existen dos incógnitas. Hace falta otra relación independiente.
  9. P⃗f = (−1, 7) kg·m/s. La componente y se conserva y la componente x cambia en +3 kg·m/s.

13.21 Ideas para recordar

  • El balance general es P⃗f = P⃗i + J⃗ext.
  • Si J⃗ext = 0, la cantidad de movimiento total se conserva.
  • No es necesario que cada fuerza externa sea cero si sus impulsos se cancelan.
  • La conservación puede verificarse y aplicarse por componentes.
  • Las interacciones internas redistribuyen p⃗, pero no cambian P⃗.
  • Los mismos cuerpos deben aparecer antes y después.
  • Conservar P⃗ no implica conservar la energía cinética.
  • Una ecuación de conservación no siempre basta para hallar todas las incógnitas.
  • En datos experimentales se compara dentro de una tolerancia coherente.

En el próximo tema aprenderemos a evaluar sistemas aislados y aproximaciones durante interacciones breves.