14. Sistemas aislados y aproximaciones durante interacciones breves

14.1 De la condición exacta al modelo práctico

La cantidad de movimiento total se conserva exactamente cuando el impulso externo resultante es cero. En situaciones reales casi siempre existen gravedad, rozamiento, resistencia del aire u otras interacciones con el entorno.

Sin embargo, un efecto externo puede ser tan pequeño durante el intervalo estudiado que no cambie el resultado dentro de la precisión buscada. Entonces tratamos el sistema como aproximadamente aislado.

No alcanza con decir “el choque es rápido”. Debemos comparar el impulso externo con una escala relevante.

14.2 Aislamiento exacto

Durante un intervalo, un sistema está aislado respecto de la cantidad de movimiento si:

En ese caso:

La igualdad puede resultar de ausencia de fuerzas externas, de una resultante externa nula en cada instante o de impulsos externos que se cancelan durante el intervalo.

El aislamiento debe especificar el sistema, el intervalo y, si corresponde, la componente.

14.3 Aislamiento aproximado

Si J⃗_ext no es exactamente cero, el balance correcto sigue siendo:

Podemos aproximar P⃗_f ≈ P⃗_i cuando el término externo es pequeño frente a la escala de cantidad de movimiento relevante y frente a la tolerancia admitida.

La aproximación no convierte J⃗_ext en cero físicamente. Decide que su efecto queda por debajo de la resolución necesaria para el modelo.

14.4 Elegir una escala de comparación

Una opción útil durante una colisión es comparar el módulo del impulso externo con el impulso interno característico intercambiado entre los cuerpos:

El cociente ε es adimensional. Multiplicado por 100 expresa un porcentaje:

La escala característica debe ser distinta de cero y estar justificada. También puede emplearse un momento típico del sistema o la precisión de los instrumentos.

14.5 No existe un umbral universal

Que un 1 %, 5 % o 10 % sea aceptable depende del propósito:

Siempre debemos declarar el umbral en vez de usar palabras imprecisas como “muy pequeño”.

14.6 Por qué ayuda un intervalo breve

Si una fuerza externa aproximadamente constante F_ext actúa durante Δt:

Al reducir la duración, disminuye su impulso. Mientras tanto, las fuerzas internas de una colisión pueden ser mucho mayores y transferir un impulso característico apreciable en ese mismo tiempo.

Una duración breve ayuda, pero no garantiza aislamiento: una fuerza externa suficientemente intensa todavía puede producir un impulso grande.

14.7 Aislamiento por componentes

El sistema puede estar aproximadamente aislado en una dirección y no en otra. Sobre carritos en una pista horizontal:

• el impulso horizontal del rozamiento puede ser pequeño;
• el peso y la normal pueden ser grandes, pero cancelarse verticalmente;
• una fuerza externa inclinada puede aportar componentes en ambos ejes.

La conclusión debe nombrar la componente: “se conserva aproximadamente P_x durante el choque”.

14.8 Gravedad y fuerzas de apoyo

En una pista horizontal, la Tierra ejerce peso y la pista ejerce fuerzas normales sobre los cuerpos. Para el sistema de carritos, ambas son externas si Tierra y pista quedan fuera.

Si los cuerpos no aceleran verticalmente, sus impulsos verticales se cancelan aproximadamente. Esto no significa que cada fuerza sea pequeña.

En la dirección horizontal, peso y normal no aportan componentes. Por eso pueden omitirse del balance de P_x sin afirmar que desaparecieron.

14.9 Rozamiento y resistencia del aire

El rozamiento con una pista y la resistencia del aire suelen oponerse al movimiento. Su importancia depende de la fuerza y del tiempo acumulado.

Un rozamiento de 0,8 N durante un choque de 0,01 s produce solo 0,008 N·s. Durante 10 s produciría 8 N·s si mantuviera ese valor.

Cuando la velocidad cambia mucho, la resistencia del aire también puede variar. En ese caso debe estimarse o integrarse su impulso.

14.10 Ampliar el sistema

A veces podemos convertir una interacción externa en interna agregando al sistema el cuerpo que la ejerce. Si una pelota choca con una pared, el contacto es externo para “pelota” e interno para “pelota + pared”.

Pero ampliar el sistema puede introducir nuevas fronteras y movimientos difíciles de medir. La pared interactúa con el edificio y con la Tierra. Incluir todo no siempre simplifica el problema.

La mejor frontera es la que permite estimar o despreciar justificadamente el impulso externo y usar datos accesibles.

14.11 Interacciones breves típicas

Cada caso requiere identificar la dirección y comparar magnitudes. La etiqueta “colisión” o “explosión” no demuestra por sí sola el aislamiento.

14.12 Balance exacto y balance aproximado

Conviene conservar primero la ecuación exacta:

Después de estimar que |J⃗_ext| es pequeño, escribimos:

El símbolo ≈ comunica que existe una diferencia omitida. Si conocemos la estimación externa, podemos informar un rango en lugar de eliminarla por completo.

Por ejemplo, P_i = 20 kg·m/s y J_ext = −0,2 N·s producen P_f = 19,8 kg·m/s. Aproximar P_f ≈ 20 introduce un error de 1 % respecto de esa escala.

14.13 Incertidumbre experimental

Si la incertidumbre al medir P es ±0,5 kg·m/s, un impulso externo estimado en 0,05 N·s puede quedar oculto por el ruido de medición. Incluirlo no mejoraría de forma observable la predicción.

En cambio, si los instrumentos resuelven 0,001 kg·m/s, ese mismo efecto podría detectarse.

Una discrepancia P⃗_f − P⃗_i puede deberse a:

• impulso externo real;
• incertidumbre en masas o velocidades;
• errores de alineación y calibración;
• cuerpos omitidos de la frontera;
• instantes mal sincronizados.

14.14 Diseñar un experimento más aislado

Podemos mejorar la aproximación reduciendo el impulso externo o haciendo más fiable su medición:

• nivelar la pista para evitar una componente gravitatoria;
• usar ruedas o superficies de bajo rozamiento;
• reducir corrientes de aire;
• elegir instantes cercanos al contacto;
• sincronizar las mediciones de todos los cuerpos;
• calibrar sensores y estimar incertidumbres;
• repetir el ensayo para comprobar la dispersión.

La meta no es crear un aislamiento perfecto, sino controlar y cuantificar los efectos externos.

14.15 Método para justificar la aproximación

1. Elegir todos los cuerpos que intercambian impulsos internos importantes.
2. Listar las interacciones que cruzan la frontera.
3. Estimar cada impulso externo por componente.
4. Sumarlos vectorialmente.
5. Elegir una escala característica y justificarla.
6. Calcular el cociente ε.
7. Compararlo con la tolerancia definida por el objetivo.
8. Documentar la aproximación en la conclusión.

14.16 Actividad interactiva: evaluar el aislamiento

Compará el impulso externo con el impulso interno característico. El criterio es didáctico: podés elegir qué porcentaje de error admite tu modelo.

Aumentá la duración sin cambiar las fuerzas y observá cuándo la misma situación deja de cumplir la tolerancia. Después cambiá la escala interna y analizá por qué el juicio también cambia.

14.17 Automatizar el criterio con JavaScript

Una función puede hacer explícita la comparación:

function evaluarAislamiento({
  fuerzaExternaMediaN,
  duracionS,
  impulsoCaracteristicoNs,
  toleranciaRelativa
}) {
  if (duracionS < 0 || impulsoCaracteristicoNs <= 0) {
    throw new RangeError("Escalas inválidas");
  }

  const impulsoExternoNs = Math.abs(
    fuerzaExternaMediaN * duracionS
  );
  const errorRelativo = impulsoExternoNs
    / impulsoCaracteristicoNs;

  return {
    impulsoExternoNs,
    errorRelativo,
    aceptable: errorRelativo <= toleranciaRelativa
  };
}

console.log(evaluarAislamiento({
  fuerzaExternaMediaN: 2,
  duracionS: 0.1,
  impulsoCaracteristicoNs: 20,
  toleranciaRelativa: 0.05
}));

La función no decide qué tolerancia es correcta ni qué escala debe utilizarse. Esas son decisiones físicas del modelo que deben documentarse antes del cálculo.

14.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: choque breve

El rozamiento medio es 1,5 N durante 0,02 s y el intercambio interno característico es 12 N·s:

Ejemplo 2: intervalo prolongado

La misma fuerza actúa 4 s:

La aproximación que era excelente durante el choque resulta inaceptable en el intervalo largo.

Ejemplo 3: componentes

J⃗_ext = (0,02; −3) N·s. Con una tolerancia horizontal de 0,1 N·s podemos conservar aproximadamente P_x, pero no P_y.

Ejemplo 4: fuerzas externas equilibradas

Dos fuerzas externas constantes de +40 N y −40 N actúan durante 0,5 s. La resultante y su impulso son cero; el aislamiento respecto de esa componente es exacto dentro del modelo.

14.19 Errores frecuentes

• Suponer aislamiento porque el proceso es breve: también importa la intensidad externa.
• Comparar fuerza externa con impulso interno: las magnitudes deben tener unidades compatibles.
• Usar una escala característica nula: el cociente relativo quedaría indefinido.
• No declarar una tolerancia: “despreciable” depende del objetivo.
• Ignorar la dirección: el aislamiento puede cumplirse solo en una componente.
• Despreciar cada fuerza externa sin sumar: fuerzas grandes pueden cancelarse o reforzarse.
• Extender una aproximación a otro intervalo: el impulso crece con el tiempo.
• Confundir ≈ con =: una aproximación conserva un error residual.
• Atribuir toda discrepancia al rozamiento: también existen errores de medición y de frontera.

14.20 Ejercicios propuestos

1. Definí aislamiento exacto y aislamiento aproximado respecto de la cantidad de movimiento.
2. Una fuerza externa de 3 N actúa durante 0,04 s. Calculá el impulso externo.
3. Si la escala interna del ejercicio anterior es 8 N·s, calculá ε y el porcentaje externo.
4. ¿Aceptarías esa aproximación con tolerancias de 1 % y 5 %? Justificá.
5. Una fuerza externa de 0,6 N actúa durante 0,01 s y luego durante 5 s. Compará los impulsos.
6. J⃗_ext = (0,03; 4) N·s. Explicá qué componente podría considerarse conservada con una tolerancia absoluta de 0,05 N·s.
7. Dos fuerzas externas de +12 N y −10 N actúan 0,2 s. Hallá la fuerza resultante y el impulso externo.
8. Un experimento mide P_i = 5,00 ± 0,10 y P_f = 4,96 ± 0,10 kg·m/s. Explicá por qué la diferencia observada puede ser compatible con conservación aproximada.
9. Modificá el ejemplo JavaScript con F_ext = 5 N, Δt = 0,3 s, escala = 25 N·s y tolerancia = 5 %. Evaluá el resultado.

14.21 Ideas para recordar

• El aislamiento exacto exige J⃗_ext = 0 durante el intervalo.
• El aislamiento aproximado admite un impulso externo menor que la tolerancia.
• Una interacción breve reduce el impulso de fuerzas externas moderadas, pero no garantiza aislamiento.
• La aproximación puede ser válida en una componente y no en otra.
• El cociente ε compara el impulso externo con una escala característica.
• No existe un porcentaje aceptable universal.
• La ecuación exacta debe escribirse antes de introducir P⃗_f ≈ P⃗_i.
• La importancia de rozamiento y gravedad depende del intervalo y de los ejes.
• La incertidumbre experimental limita qué diferencias pueden detectarse.

En el próximo tema aplicaremos estas aproximaciones al retroceso, la separación y las explosiones en una dimensión.