17. Plantear y resolver colisiones en una dimensión

Con el sistema y los signos bien definidos, una ecuación de conservación permite calcular la incógnita y comprobar el resultado.

17.1 Del diagrama a la ecuación

Resolver una colisión no consiste en elegir una fórmula por semejanza. Primero construimos los estados antes y después, asignamos signos y decidimos si el impulso externo puede despreciarse.

Cuando el sistema de los dos cuerpos está aproximadamente aislado en el eje x:

Pi = Pf

Esta igualdad es el punto de partida. Los despejes particulares se obtienen de ella.

17.2 Modelo y supuestos

En este tema trabajaremos con un modelo deliberadamente acotado:

  • dos cuerpos A y B;
  • movimiento sobre una misma recta;
  • masas constantes y positivas;
  • velocidades medidas por el mismo observador;
  • impulso externo nulo o despreciable durante el choque;
  • una sola variable desconocida.

Si hay dos velocidades finales desconocidas, conservar el momento no basta. Los temas siguientes aportarán relaciones adicionales para tipos específicos de colisión.

17.3 La ecuación general

AntesPi = mAvAi + mBvBi
DespuésPf = mAvAf + mBvBf
mAvAi + mBvBi = mAvAf + mBvBf

Cada término es una componente de cantidad de movimiento y se expresa en kg·m/s.

17.4 Convención de signos

Elegimos la derecha como sentido positivo. Entonces una velocidad hacia la izquierda se reemplaza con signo negativo. La masa nunca recibe signo por la dirección.

Traducción de descripciones a componentes de velocidad.
DescripciónComponente
A avanza a 5 m/s hacia la derechavA = +5 m/s
B avanza a 2 m/s hacia la izquierdavB = −2 m/s
B está instantáneamente en reposovB = 0

El signo de una respuesta indica dirección. No debe eliminarse al presentar el resultado.

17.5 Organizar los datos

Una tabla evita mezclar cuerpos o etapas:

CuerpoMasaAntesDespués
AmAvAivAf
BmBvBivBf

Marcamos cada dato conocido y colocamos un signo de interrogación en una única celda. Luego escribimos la ecuación simbólica completa.

17.6 Despejar antes de reemplazar

Escribir el balance completo
Agrupar los términos conocidos
Dividir por el coeficiente de la incógnita

El despeje simbólico reduce errores de signos, permite revisar las unidades y produce una expresión reutilizable. Reemplazar números demasiado pronto oculta la estructura del problema.

17.7 Despejar la velocidad final de A

Partimos de la ecuación general y aislamos mAvAf:

mAvAf = mAvAi + mBvBi − mBvBf

Al dividir por mA:

vAf = [mAvAi + mBvBi − mBvBf] / mA

Esta expresión requiere conocer ambas masas, las dos velocidades iniciales y vBf.

17.8 Despejar la velocidad final de B

Ahora aislamos el término correspondiente a B:

vBf = [mAvAi + mBvBi − mAvAf] / mB

También puede escribirse vBf = (Pi − mAvAf)/mB. Calcular primero Pi suele simplificar las cuentas.

17.9 Resolver una velocidad inicial

Los problemas inversos usan el estado final para reconstruir el inicial. Por ejemplo:

vAi = [mAvAf + mBvBf − mBvBi] / mA

La conservación no privilegia una dirección temporal del cálculo. Puede emplearse para predecir un estado final o inferir un dato anterior.

17.10 Resolver una masa desconocida

Reagrupando los términos de cada cuerpo:

mA(vAi − vAf) = mB(vBf − vBi)

Si vAi ≠ vAf, podemos despejar:

mA = mB(vBf − vBi) / (vAi − vAf)

Una masa negativa indica datos, signos o supuestos incompatibles con el modelo; no representa una masa física válida.

17.11 Incluir un impulso externo conocido

Si el impulso externo no puede despreciarse pero conocemos su valor, usamos el balance exacto:

Pf = Pi + Jext

Por ejemplo, para hallar vBf:

vBf = [Pi + Jext − mAvAf] / mB

El signo de Jext sigue la misma convención que las velocidades.

17.12 Comprobación dimensional

En el numerador de un despeje de velocidad aparecen cantidades de movimiento:

[m·v] = kg·m/s

Al dividir por una masa:

(kg·m/s) / kg = m/s

Si se suman directamente una velocidad y un momento, o si el resultado conserva unidades kg·m/s cuando se buscaba una velocidad, el planteo es incorrecto.

17.13 Interpretar el resultado

Después del cálculo debemos convertir el número en una afirmación física:

  • v > 0: el cuerpo se mueve en el sentido positivo;
  • v < 0: se mueve en el sentido contrario;
  • v = 0: queda instantáneamente en reposo para ese observador.

También conviene comprobar que los cuerpos se aproximaban antes y que el estado posterior tiene sentido geométrico. Una ecuación satisfecha no corrige una descripción temporal mal armada.

17.14 Cuándo falta información

Con las dos velocidades finales desconocidas, la ecuación:

mAvAf + mBvBf = Pi

admite infinitas parejas. Elegir arbitrariamente una de ellas no resuelve la colisión. Hace falta una condición adicional que describa qué ocurrió durante el choque.

Contá incógnitas y ecuaciones independientes antes de despejar. Una incógnita puede resolverse con el balance; dos requieren más información.

17.15 Procedimiento completo

1. Elegir sistema e intervalo
2. Fijar eje y signos
3. Ordenar datos e incógnita
4. Justificar el balance
5. Despejar y calcular
6. Sustituir y explicar

La sustitución final en Pi y Pf es obligatoria: detecta signos invertidos, cuerpos intercambiados y errores aritméticos.

17.16 Actividad interactiva: resolver una velocidad final

Elegí qué velocidad final será la incógnita. Proporcioná la otra y observá el despeje, el resultado y la comprobación del balance.

Solucionador de una colisión aislada

La derecha es positiva. Se considera despreciable el impulso externo.

2·(+5) + 3·0 = 2·(+0,5) + 3·vBf
Estados inicial y final de una colisión unidimensional Dos cuerpos antes y después del choque con flechas que representan sus velocidades. ANTESDESPUÉS A B vAi = +5,0vBi = 0,0 A B vAf = +0,5vBf = +3,0
Momento inicial+10,00 kg·m/s
Incógnita calculadavBf = +3,00 m/s
Momento final+10,00 kg·m/s
Residuo Pf − Pi0,00 kg·m/s

Comprobación correcta: al sustituir el resultado, Pf = Pi.

A alcanza a B antes del choque y B se aleja más rápido después.

17.17 Implementar el despeje con JavaScript

Una función puede resolver cualquiera de las dos velocidades finales siempre que la otra sea conocida:

function resolverVelocidadFinal({
  masaA, masaB, velocidadAi, velocidadBi,
  incognita, velocidadFinalConocida
}) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const momentoInicial =
    masaA * velocidadAi + masaB * velocidadBi;

  if (incognita === "B") {
    return (momentoInicial - masaA * velocidadFinalConocida) / masaB;
  }
  if (incognita === "A") {
    return (momentoInicial - masaB * velocidadFinalConocida) / masaA;
  }
  throw new Error("La incógnita debe ser A o B");
}

const velocidadBf = resolverVelocidadFinal({
  masaA: 2,
  masaB: 3,
  velocidadAi: 5,
  velocidadBi: 0,
  incognita: "B",
  velocidadFinalConocida: 0.5
});

console.log("vBf =", velocidadBf, "m/s");

La salida es vBf = 3 m/s. Los nombres explícitos evitan depender del orden de muchos argumentos numéricos.

17.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: hallar vBf

A tiene 2 kg y llega a +5 m/s; B tiene 3 kg y estaba en reposo. Después A continúa a +0,5 m/s:

2·5 + 3·0 = 2·0,5 + 3vBf ⇒ vBf = +3 m/s

Ejemplo 2: hallar vAf

A y B tienen 4 kg y 2 kg. Inicialmente vAi = +3 m/s y vBi = −1 m/s; finalmente vBf = +4 m/s:

4·3 + 2·(−1) = 4vAf + 2·4 ⇒ vAf = +0,5 m/s

Ejemplo 3: reconstruir una velocidad inicial

Dos cuerpos de 2 kg y 1 kg terminan con velocidades −1 m/s y +6 m/s. B estaba inicialmente en reposo:

2vAi + 1·0 = 2·(−1) + 1·6 ⇒ vAi = +2 m/s

Ejemplo 4: impulso externo conocido

Pi = +8 kg·m/s, Jext = −2 N·s, mA = 1 kg, vAf = +2 m/s y mB = 2 kg:

Pf = 8 − 2 = 6 = 1·2 + 2vBf ⇒ vBf = +2 m/s

17.19 Verificaciones y casos límite

  • Sustitución: recalculá Pf con la respuesta y comparalo con Pi.
  • Unidades: una velocidad debe terminar en m/s.
  • Masas: deben ser mayores que cero.
  • Sin cambio: si vAf = vAi y vBf = vBi, el balance se satisface trivialmente.
  • Denominador: no puede dividirse por una masa nula ni por una diferencia de velocidades nula al despejar ciertas masas.
  • Tolerancia numérica: en programas se compara el residuo con un umbral, no siempre con cero exacto.

17.20 Errores frecuentes

  • Sumar rapideces: deben usarse velocidades con signo.
  • Cambiar el signo de una masa: la dirección pertenece a la velocidad.
  • Intercambiar los subíndices i y f: altera los estados del balance.
  • Eliminar términos con velocidad negativa: un valor negativo no equivale a cero.
  • Olvidar dividir por la masa de la incógnita: el resultado conservaría unidades de momento.
  • Redondear demasiado pronto: puede generar un residuo artificial.
  • Resolver dos incógnitas con una ecuación: el sistema queda indeterminado.
  • Imponer información no dada: no puede suponerse todavía que rebotan, se unen o conservan energía cinética.
  • No interpretar el signo final: una respuesta negativa indica movimiento en sentido contrario.

17.21 Ejercicios propuestos

  1. A tiene 2 kg y llega a +6 m/s; B tiene 4 kg y está en reposo. Si vAf = +2 m/s, calculá vBf.
  2. Dos cuerpos de 3 kg y 1 kg poseen vAi = +4 m/s y vBi = −2 m/s. Si vBf = +5 m/s, hallá vAf.
  3. A tiene 5 kg y B tiene 2 kg. Antes, vAi = −1 m/s y vBi = +3 m/s; después vAf = +1 m/s. Calculá vBf.
  4. Dos masas de 2 kg y 3 kg terminan a −2 m/s y +4 m/s. Si B estaba inicialmente en reposo, reconstruí vAi.
  5. mB = 4 kg, vAi = +5 m/s, vAf = +1 m/s, vBi = 0 y vBf = +2 m/s. Hallá mA.
  6. Pi = +12 kg·m/s y Jext = −3 N·s. Si mAvAf = +5 kg·m/s y mB = 2 kg, calculá vBf.
  7. Un cálculo produce vAf = −3 m/s con la derecha positiva. Interpretá el resultado sin cambiar su signo.
  8. Explicá por qué conocer solo las masas y velocidades iniciales no determina las dos velocidades finales.
  9. En el laboratorio, usá mA = 4 kg, mB = 2 kg, vAi = +3 m/s, vBi = −1 m/s, incógnita vAf y vBf = +4 m/s. Anticipá el resultado y verificá el residuo.
Ver soluciones y explicaciones
  1. 2·6 = 2·2 + 4vBf; vBf = +2 m/s.
  2. Pi = 3·4 + 1·(−2) = 10. Entonces 10 = 3vAf + 5; vAf = +5/3 ≈ +1,67 m/s.
  3. Pi = 5·(−1) + 2·3 = +1. Luego 1 = 5·1 + 2vBf; vBf = −2 m/s.
  4. 2vAi = 2·(−2) + 3·4 = 8; vAi = +4 m/s.
  5. mA(5 − 1) = 4·(2 − 0); mA = 2 kg.
  6. Pf = 12 − 3 = 9 kg·m/s. Entonces 9 = 5 + 2vBf; vBf = +2 m/s.
  7. A se mueve a 3 m/s hacia la izquierda respecto del observador elegido.
  8. La conservación aporta una ecuación escalar, pero quedan dos incógnitas. Existen infinitas parejas finales con el mismo momento total.
  9. Pi = 4·3 + 2·(−1) = 10. Entonces 10 = 4vAf + 2·4; vAf = +0,5 m/s y el residuo es cero.

17.22 Ideas para recordar

  • La ecuación general surge de comparar los momentos totales antes y después.
  • Las velocidades llevan signo; las masas son positivas.
  • Conviene ordenar los datos en una tabla y despejar simbólicamente.
  • Con una velocidad desconocida, la conservación puede determinarla.
  • El mismo balance permite resolver datos iniciales o masas.
  • Si existe un impulso externo conocido, debe incluirse en la ecuación.
  • Dos velocidades finales desconocidas requieren una relación adicional.
  • La respuesta debe verificarse sustituyéndola en el balance.
  • El signo final debe interpretarse como dirección física.

En el próximo tema estudiaremos las colisiones perfectamente inelásticas y su velocidad final común.