18. Colisiones perfectamente inelásticas y velocidad común

Cuando dos cuerpos quedan unidos después del impacto, la condición de velocidad común completa el balance de cantidad de movimiento.

18.1 Cuando los cuerpos quedan unidos

En una colisión perfectamente inelástica, los cuerpos permanecen unidos después del contacto y se mueven como un conjunto. Aunque antes poseían velocidades diferentes, después comparten una única velocidad.

vAf = vBf = vf

Esta condición proporciona la información adicional que faltaba en el problema general de dos velocidades finales desconocidas.

18.2 Qué significa “perfectamente inelástica”

“Perfectamente” describe el extremo ideal en el que no hay separación relativa después del choque. No significa que el modelo sea más exacto ni que todas las magnitudes mecánicas se conserven.

El rasgo observable es que los cuerpos salen juntos. Pueden unirse mediante velcro, arcilla, un enganche o una deformación que impide que se separen inmediatamente.

La condición decisiva es cinemática: después del impacto ambos cuerpos tienen la misma velocidad.

18.3 Sistema y condiciones de conservación

Elegimos como sistema a los dos cuerpos. Las fuerzas que ejercen entre sí son internas. Si el impulso externo sobre el conjunto es nulo o despreciable durante el choque:

Pi = Pf

Esta conclusión debe justificarse para el eje y el intervalo estudiados. Que los cuerpos queden pegados no garantiza por sí solo la conservación del momento.

18.4 Estados antes y después

AntesDos cuerpos con velocidades vAi y vBi
Pi = mAvAi + mBvBi
DespuésUn conjunto de masa mA + mB
Pf = (mA + mB)vf

Las masas no desaparecen: se suman porque ambos cuerpos continúan formando parte del sistema.

18.5 Derivar la velocidad común

mAvAi + mBvBi = mAvf + mBvf Pi = (mA + mB)vf vf = Pi/(mA + mB)
vf = [mAvAi + mBvBi] / (mA + mB)

18.6 Un promedio ponderado por las masas

La velocidad final es un promedio de las velocidades iniciales, pero cada una pesa según su masa:

vf = [mA/(mA + mB)]vAi + [mB/(mA + mB)]vBi

Como las masas son positivas, los coeficientes están entre cero y uno y suman uno. Por eso vf queda entre las dos velocidades iniciales.

El cuerpo más masivo influye más sobre el valor final.

18.7 El signo de la velocidad final

El denominador mA + mB siempre es positivo. Por lo tanto, el signo de vf es el signo del momento inicial total:

  • Pi > 0 ⇒ vf > 0;
  • Pi < 0 ⇒ vf < 0;
  • Pi = 0 ⇒ vf = 0.

El resultado no depende de cuál cuerpo llamamos A o B.

18.8 Blanco inicialmente en reposo

Si B estaba en reposo, vBi = 0:

vf = [mA/(mA + mB)]vAi

El factor de masa es menor que uno, así que el conjunto se mueve en el mismo sentido que A pero con menor rapidez que la que A tenía antes del choque.

18.9 Choque frontal

Si los cuerpos se aproximan en sentidos opuestos, una de las velocidades iniciales es negativa. Los momentos pueden reforzarse parcialmente, cancelarse o dejar un total con cualquiera de los dos signos.

vAi > 0, vBi < 0 ⇒ Pi = mAvAi − mB|vBi|

No se restan automáticamente las rapideces: se suman cantidades de movimiento con sus signos.

18.10 Momento inicial total nulo

Cuando los momentos iniciales son iguales y opuestos:

mAvAi = −mBvBi

entonces Pi = 0 y el conjunto queda instantáneamente en reposo después de unirse:

vf = 0

Los cuerpos podían moverse rápidamente antes; lo que se anulaba era la suma de sus momentos.

18.11 Impulsos sobre cada cuerpo

Aunque el momento total se conserve, cada cuerpo cambia su cantidad de movimiento:

ΔpA = mA(vf − vAi)
ΔpB = mB(vf − vBi)

En el modelo aislado, ΔpA + ΔpB = 0. Los impulsos internos son iguales en módulo y opuestos, aunque las variaciones de velocidad no lo sean.

18.12 Si existe impulso externo

Cuando conocemos un impulso externo apreciable, el balance exacto produce:

vf = [mAvAi + mBvBi + Jext] / (mA + mB)

Jext debe llevar signo. Esta corrección permite mantener la condición de cuerpos unidos sin afirmar que el sistema estaba aislado.

18.13 Qué ocurre con la energía cinética

La condición de quedar unidos no conserva, en general, la energía cinética. Parte de la energía mecánica inicial puede transformarse en deformación, energía interna, sonido y otras formas.

Esto no contradice la conservación de la energía total ni la conservación de la cantidad de movimiento. Son balances diferentes y tienen condiciones diferentes.

En este tema usamos la velocidad común como segunda relación. En el tema siguiente compararemos cuantitativamente la energía cinética antes y después.

18.14 Procedimiento de resolución

1. Elegir sistema, eje e intervalo
2. Asignar signos iniciales
3. Justificar conservación
4. Imponer velocidad común
5. Calcular y comprobar
  1. Calculá Pi con velocidades con signo.
  2. Sumá las masas que quedan unidas.
  3. Dividí el momento total por la masa total.
  4. Interpretá el signo de vf.
  5. Verificá que (mA + mB)vf reproduzca Pi.

18.15 Actividad interactiva: choque con acoplamiento

Modificá las masas y las velocidades iniciales. El laboratorio calcula la velocidad del conjunto y los impulsos intercambiados.

Laboratorio de colisión perfectamente inelástica

A está a la izquierda de B y la derecha es el sentido positivo.

vf = [2·(+6) + 4·0] / (2 + 4) = +2 m/s
Choque perfectamente inelástico antes y después Dos cuerpos se aproximan y luego aparecen unidos, desplazándose con una velocidad común. ANTESDESPUÉS A B vAi = +6,0vBi = 0,0 AB vf = +2,0 m/s
Momento inicial+12,00 kg·m/s
Masa conjunta6,00 kg
Velocidad común+2,00 m/s
Momento final+12,00 kg·m/s
ΔpA−8,00 kg·m/s
ΔpB+8,00 kg·m/s

Balance verificado: Pf − Pi = 0,00 kg·m/s.

A alcanza a B y el conjunto continúa hacia la derecha con menor rapidez que A.

18.16 Calcular la velocidad común con JavaScript

La implementación necesita validar masas, conservar los signos y devolver datos que permitan comprobar el balance:

function colisionPerfectamenteInelastica(
  masaA, velocidadAi, masaB, velocidadBi
) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const momentoInicial =
    masaA * velocidadAi + masaB * velocidadBi;
  const masaConjunta = masaA + masaB;
  const velocidadFinal = momentoInicial / masaConjunta;
  const momentoFinal = masaConjunta * velocidadFinal;

  return { momentoInicial, masaConjunta, velocidadFinal, momentoFinal };
}

const resultado = colisionPerfectamenteInelastica(2, 6, 4, 0);
console.log(resultado);
console.log("Residuo:", resultado.momentoFinal - resultado.momentoInicial);

La salida muestra una masa conjunta de 6 kg, una velocidad final de +2 m/s y residuo nulo.

18.17 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un cuerpo alcanza a otro

A tiene 2 kg y se mueve a +6 m/s. B tiene 4 kg y está en reposo:

vf = [2·6 + 4·0]/(2 + 4) = +2 m/s

Ejemplo 2: choque frontal

A tiene 3 kg y velocidad +4 m/s; B tiene 1 kg y velocidad −2 m/s:

vf = [3·4 + 1·(−2)]/(3 + 1) = +2,5 m/s

El momento de A domina y el conjunto se mueve hacia la derecha.

Ejemplo 3: el conjunto se detiene

Dos masas de 2 kg se aproximan con velocidades +3 m/s y −3 m/s:

vf = [2·3 + 2·(−3)]/4 = 0

Ejemplo 4: resultado hacia la izquierda

A tiene 1 kg y velocidad +4 m/s; B tiene 3 kg y velocidad −3 m/s:

vf = [1·4 + 3·(−3)]/4 = −1,25 m/s

18.18 Comprobaciones y casos límite

  • Intervalo: vf debe quedar entre vAi y vBi si no hay impulso externo.
  • Velocidades iniciales iguales: si vAi = vBi, entonces vf tiene ese mismo valor.
  • Masas iguales: vf es el promedio aritmético de las velocidades iniciales.
  • Una masa dominante: el resultado se acerca a la velocidad inicial del cuerpo mucho más masivo.
  • Momento nulo: el conjunto debe quedar en reposo.
  • Sustitución: (mA + mB)vf debe reproducir Pi.

18.19 Diferenciar la condición del mecanismo

El modelo no necesita describir cómo se produce la unión. Dos objetos pueden adherirse, trabarse o deformarse hasta moverse juntos. Todos satisfacen la misma restricción final.

Tampoco debemos usar esta fórmula para cualquier choque. Si los cuerpos se separan con velocidades distintas, no existe una velocidad común y hace falta otro modelo.

18.20 Errores frecuentes

  • Promediar velocidades sin considerar masas: solo funciona cuando las masas son iguales.
  • Restar las masas en un choque frontal: las masas siempre se suman en el conjunto final.
  • Usar rapideces sin signo: elimina la dirección del momento inicial.
  • Asignar dos velocidades finales: los cuerpos unidos comparten una sola.
  • Conservar el momento de cada cuerpo: se conserva la suma del sistema aislado.
  • Suponer que quedan en reposo: eso ocurre únicamente cuando el momento inicial total es cero.
  • Imponer conservación de energía cinética: no es una condición de este tipo de choque.
  • Aplicar la fórmula a cuerpos que se separan: contradice la condición del modelo.
  • Ignorar un impulso externo apreciable: debe agregarse al numerador.

18.21 Ejercicios propuestos

  1. Un carrito de 2 kg a +5 m/s choca y queda unido a otro de 3 kg en reposo. Calculá vf.
  2. Dos cuerpos de 4 kg y 2 kg se aproximan a +3 m/s y −1 m/s. Si quedan unidos, hallá su velocidad.
  3. Dos masas iguales poseen velocidades +7 m/s y −3 m/s. Calculá la velocidad común.
  4. Un cuerpo de 1 kg a +6 m/s queda unido a otro de 3 kg a −4 m/s. Determiná dirección y velocidad final.
  5. ¿Qué relación deben cumplir mA, vAi, mB y vBi para que el conjunto quede en reposo?
  6. A tiene 2 kg, vAi = +8 m/s; B tiene 6 kg, vBi = 0. Calculá vf, ΔpA y ΔpB.
  7. Un conjunto de 5 kg queda moviéndose a +2 m/s. Si antes A tenía 2 kg y velocidad +6 m/s, mientras B tenía 3 kg, reconstruí vBi.
  8. Pi = +10 kg·m/s, Jext = −4 N·s y la masa conjunta es 3 kg. Hallá vf.
  9. Usá el laboratorio con mA = 3 kg, mB = 1 kg, vAi = +4 m/s y vBi = −2 m/s. Verificá los impulsos individuales.
Ver soluciones y explicaciones
  1. vf = (2·5 + 3·0)/5 = +2 m/s.
  2. vf = [4·3 + 2·(−1)]/6 = 10/6 ≈ +1,67 m/s.
  3. Con masas iguales, vf = (7 − 3)/2 = +2 m/s.
  4. vf = [1·6 + 3·(−4)]/4 = −1,5 m/s; el conjunto se mueve hacia la izquierda.
  5. Deben satisfacer mAvAi + mBvBi = 0: sus momentos iniciales son iguales y opuestos.
  6. vf = (2·8)/8 = +2 m/s. ΔpA = 2(2 − 8) = −12 kg·m/s y ΔpB = 6(2 − 0) = +12 kg·m/s.
  7. Pf = 5·2 = 10 kg·m/s. Entonces 2·6 + 3vBi = 10; vBi = −2/3 ≈ −0,67 m/s.
  8. vf = (10 − 4)/3 = +2 m/s.
  9. vf = +2,5 m/s. ΔpA = 3(2,5 − 4) = −4,5 kg·m/s y ΔpB = 1[2,5 − (−2)] = +4,5 kg·m/s.

18.22 Ideas para recordar

  • En una colisión perfectamente inelástica, los cuerpos quedan unidos.
  • La condición adicional es vAf = vBf = vf.
  • La masa final del conjunto es mA + mB.
  • La velocidad común es el momento inicial dividido por la masa conjunta.
  • vf es un promedio de velocidades ponderado por las masas.
  • El signo de vf coincide con el signo del momento total.
  • Los cambios de momento individuales son opuestos en el sistema aislado.
  • Quedar unidos no implica conservar energía cinética.
  • La fórmula no se aplica si los cuerpos se separan después del choque.

En el próximo tema compararemos la energía cinética antes y después de una colisión.