2. Relación entre masa, velocidad y cantidad de movimiento

2.1 De la definición a una herramienta de cálculo

En el tema anterior definimos la cantidad de movimiento o momento lineal como el producto entre la masa y la velocidad. Ahora analizaremos con mayor detalle qué ocurre cuando cambia cada factor y cómo despejar cualquiera de las tres magnitudes.

La ecuación es sencilla, pero exige interpretar vectores, signos, unidades y proporcionalidades. También permite resolver problemas inversos: conocer el momento lineal para hallar la velocidad o la masa.

2.2 Proporcionalidad con la masa

Si la velocidad permanece constante, el módulo de la cantidad de movimiento es directamente proporcional a la masa:

Esto significa que al multiplicar la masa por un factor, p se multiplica por el mismo factor. Un cuerpo de 6 kg que se mueve a la misma velocidad que uno de 2 kg posee tres veces su cantidad de movimiento.

La masa no determina por sí sola la cantidad de movimiento. Un objeto muy masivo puede tener p = 0 si está en reposo respecto del observador.

2.3 Proporcionalidad con la velocidad

Si la masa permanece constante, la cantidad de movimiento es directamente proporcional a la velocidad:

Duplicar la rapidez duplica el módulo de p⃗. Cambiar solamente el sentido multiplica el vector por −1: conserva su módulo, pero invierte su orientación.

En una dimensión, la proporcionalidad incluye el signo. En dos dimensiones, cada componente de p⃗ es proporcional a la componente correspondiente de v⃗.

2.4 Cambiar masa y velocidad simultáneamente

Si ambas variables cambian, debemos considerar sus factores conjuntamente. Supongamos que una masa se multiplica por a y su velocidad por b:

Si la masa se duplica y la velocidad se triplica, el momento lineal se multiplica por seis. Si la masa se cuadruplica y la velocidad se reduce a la cuarta parte, p⃗ permanece igual.

Cuando el factor aplicado a la velocidad es negativo, además de cambiar el módulo puede invertir el sentido. Por ejemplo, duplicar la masa e invertir la velocidad produce p⃗_nueva = −2p⃗_inicial.

2.5 Comparar mediante razones

Para dos cuerpos A y B que se mueven sobre la misma dirección podemos dividir sus cantidades de movimiento:

Las razones permiten comparar sin calcular primero cada valor. Si A tiene el doble de masa y la mitad de velocidad que B, la razón es 2 · ½ = 1: ambos poseen la misma cantidad de movimiento.

El signo de la razón también informa sobre el sentido. Una razón negativa indica que las cantidades de movimiento apuntan en sentidos opuestos sobre el eje elegido.

2.6 Despejar masa o velocidad

La misma definición permite hallar una variable desconocida. En una dimensión:

Para despejar la masa necesitamos una velocidad distinta de cero. El cociente p/v debe ser positivo porque p y v tienen el mismo signo. Para despejar la velocidad dividimos el momento lineal por una masa positiva, por lo que el signo de v coincide con el de p.

En dos dimensiones no se divide un vector por otro. Si conocemos la masa, calculamos cada componente:

2.7 Unidades y conversiones antes de calcular

La fórmula produce kg·m/s solamente si usamos kilogramos y metros por segundo. Una masa expresada en gramos o una velocidad en kilómetros por hora debe convertirse antes del cálculo.

• 1 g = 0,001 kg;
• 1 km/h = 1/3,6 m/s;
• 1 m/s = 3,6 km/h.

Una pelota de 200 g que viaja a 36 km/h tiene m = 0,2 kg y v = 10 m/s. Por lo tanto:

Multiplicar directamente 200 por 36 daría un número sin significado en el SI. Conviene escribir las unidades en cada paso para detectar estas inconsistencias.

2.8 Gráfico de p en función de la masa

Con velocidad constante y positiva, el gráfico de p respecto de m es una recta que pasa por el origen. Su pendiente es la velocidad:

Una recta más inclinada representa una velocidad de mayor módulo. Si la velocidad fuera negativa, la recta descendería desde el origen hacia valores negativos de p.

2.9 Gráfico de p en función de la velocidad

Para una masa constante, el gráfico de p respecto de v también es una recta que pasa por el origen:

Como la masa es positiva, la pendiente siempre es positiva. La recta atraviesa los cuadrantes primero y tercero: velocidades positivas producen cantidades de movimiento positivas y velocidades negativas producen cantidades de movimiento negativas.

Una pendiente mayor corresponde a una masa mayor. Así, un gráfico permite comparar masas aunque no las indique explícitamente: para la misma velocidad, la recta más inclinada alcanza un valor mayor de |p|.

2.10 Distintas combinaciones pueden producir el mismo p⃗

Como p = m|v⃗| es un producto, existen muchas combinaciones de masa y rapidez que producen el mismo módulo. Para p = 12 kg·m/s podemos tener, entre otras posibilidades:

Si mantenemos p constante, la rapidez es inversamente proporcional a la masa: |v⃗| = p/m. Al duplicar la masa debemos reducir la rapidez a la mitad.

2.11 Igual cantidad de movimiento no implica igual energía cinética

La energía cinética y la cantidad de movimiento dependen de la masa y la velocidad de formas distintas:

Si despejamos la rapidez de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda, obtenemos:

Para un mismo módulo de p, el cuerpo de menor masa tiene mayor rapidez y mayor energía cinética. Con p = 12 kg·m/s, el cuerpo de 1 kg posee 72 J, mientras que el de 4 kg posee 18 J.

Esta diferencia será importante al estudiar colisiones: la cantidad de movimiento total puede conservarse aunque parte de la energía cinética se transforme en otras formas.

2.12 Actividad interactiva: comparar dos cuerpos

Variá la masa y la velocidad de cada cuerpo. Las barras muestran la componente de cantidad de movimiento sobre un eje cuyo sentido positivo apunta hacia la derecha.

Probá conservar el producto masa por velocidad usando valores diferentes. Luego invertí una velocidad: los módulos pueden seguir siendo iguales, pero los vectores dejan de ser iguales porque apuntan en sentidos opuestos.

2.13 Automatizar cálculos y comparaciones con JavaScript

Podemos crear funciones pequeñas para calcular p y comparar resultados dentro de una tolerancia:

function momentoLineal1D(masaKg, velocidadMps) {
  if (masaKg <= 0) {
    throw new RangeError("La masa debe ser positiva");
  }
  return masaKg * velocidadMps;
}

function casiIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia;
}

const cuerpoA = { masaKg: 2, velocidadMps: 4 };
const cuerpoB = { masaKg: 4, velocidadMps: 2 };

const pA = momentoLineal1D(
  cuerpoA.masaKg,
  cuerpoA.velocidadMps
);
const pB = momentoLineal1D(
  cuerpoB.masaKg,
  cuerpoB.velocidadMps
);

console.log(pA, pB);             // 8, 8
console.log(casiIguales(pA, pB)); // true

La validación rechaza masas nulas o negativas, que no pertenecen al modelo clásico utilizado. La velocidad, en cambio, puede ser positiva, negativa o cero.

La comparación con tolerancia evita exigir igualdad binaria después de operaciones con decimales. Para comparar vectores en dos dimensiones habría que aplicar la tolerancia a cada componente.

2.14 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: hallar la cantidad de movimiento

Un automóvil de 1200 kg se mueve a 72 km/h hacia el este. Primero convertimos: 72/3,6 = 20 m/s. Si el este es positivo:

Ejemplo 2: hallar la velocidad

Una pelota de 0,6 kg posee p = −9 kg·m/s:

El signo negativo indica que se mueve en el sentido opuesto al definido como positivo.

Ejemplo 3: hallar la masa

Un cuerpo tiene p = +35 kg·m/s y v = +7 m/s:

Ejemplo 4: comparar sin calcular valores completos

A tiene tres veces la masa de B y se mueve a un cuarto de su velocidad, en el mismo sentido:

A posee el 75 % de la cantidad de movimiento de B.

2.15 Precisión, cifras significativas y casos límite

El resultado no debería expresar más precisión que los datos. Si m = 2,4 kg y v = 3,1 m/s, el producto exacto de la calculadora es 7,44, pero dos cifras significativas dan p ≈ 7,4 kg·m/s.

También conviene revisar casos límite:

• si v = 0, entonces p = 0 para cualquier masa finita;
• si p = 0 y m > 0, entonces v = 0;
• no podemos hallar m mediante p/v cuando v = 0;
• m = 0 no representa un cuerpo material dentro de este modelo;
• un signo inesperado suele indicar un error en el eje o en la velocidad, no en la masa.

Las comprobaciones cualitativas —orden de magnitud, signo y unidades— son tan importantes como la operación aritmética.

2.16 Errores frecuentes

• Sumar masa y velocidad: la definición exige multiplicarlas.
• Usar rapidez cuando importa el sentido: la velocidad debe conservar su signo o sus componentes.
• Mezclar gramos con kilogramos o km/h con m/s: primero deben convertirse las unidades.
• Suponer que el cuerpo más masivo siempre tiene mayor p: también debe considerarse su velocidad.
• Comparar solo los módulos: dos vectores de igual módulo y sentidos opuestos no son iguales.
• Dividir vectores entre sí: para hallar la masa se trabaja con componentes compatibles o módulos de vectores paralelos.
• Perder el signo al despejar: p y v tienen el mismo signo porque m es positiva.
• Confundir proporcionalidad directa con cuadrática: p depende linealmente de la velocidad; la energía cinética depende de su cuadrado.
• Informar demasiadas cifras: la precisión del resultado debe ser coherente con la de los datos.

2.17 Ejercicios propuestos

1. Calculá p para una caja de 8 kg que se desplaza a +2,5 m/s.
2. Una pelota de 300 g se mueve a −12 m/s. Convertí la masa y calculá su cantidad de movimiento.
3. Un automóvil de 1000 kg circula a 54 km/h. Expresá su cantidad de movimiento en unidades SI.
4. Un cuerpo de 4 kg tiene p = −28 kg·m/s. Hallá su velocidad e interpretá el signo.
5. Un cuerpo se mueve a +6 m/s y posee p = +15 kg·m/s. Hallá su masa.
6. La masa de A es el doble de la de B, pero su rapidez es la tercera parte. Ambos se mueven en el mismo sentido. Calculá p_A/p_B.
7. Dos cuerpos poseen p = 20 kg·m/s. Uno tiene 2 kg y el otro 5 kg. Calculá sus rapideces y energías cinéticas.
8. Para m = 3 kg, describí el gráfico de p en función de v e indicá su pendiente.
9. Modificá el código para comparar A = { masaKg: 1,5; velocidadMps: −4 } y B = { masaKg: 3; velocidadMps: +2 }. ¿Son iguales sus cantidades de movimiento? ¿Y sus módulos?

2.18 Ideas para recordar

• La cantidad de movimiento es directamente proporcional a la masa y a la velocidad.
• Si masa y velocidad cambian, sus factores de cambio se multiplican.
• Las razones permiten comparar cantidades de movimiento de manera rápida.
• De p = mv se obtienen los despejes v = p/m y m = p/v.
• Los datos deben convertirse a unidades compatibles antes de calcular.
• Los gráficos p-m y p-v son rectas que pasan por el origen.
• Igual módulo de p puede surgir de combinaciones distintas de masa y rapidez.
• Igual cantidad de movimiento no implica igual energía cinética.
• El signo, las unidades y el orden de magnitud permiten verificar el resultado.

En el próximo tema aprenderemos a calcular la cantidad de movimiento total de dos o más cuerpos mediante suma vectorial.