20. Colisiones elásticas en una dimensión

20.1 Qué caracteriza a una colisión elástica

Una colisión es elástica cuando la energía cinética total del sistema tiene el mismo valor inmediatamente antes y después del impacto. Si además el impulso externo es despreciable, también se conserva la cantidad de movimiento.

20.2 Dos conservaciones simultáneas

Las dos ecuaciones son independientes y permiten resolver las dos velocidades finales desconocidas.

20.3 Modelo de trabajo

Supondremos dos cuerpos con masas constantes y positivas, movimiento sobre una misma recta, velocidades medidas respecto del mismo observador e impulso externo despreciable durante el choque.

A se encuentra inicialmente a la izquierda de B. Para que se aproximen debe cumplirse:

Esta condición funciona incluso cuando ambas velocidades son positivas o ambas negativas.

20.4 El sistema de ecuaciones

Conocemos m_A, m_B, v_Ai y v_Bi. Las incógnitas son v_Af y v_Bf.

La segunda ecuación es cuadrática. Podemos resolver el sistema directamente, pero una factorización revela una relación más simple.

20.5 Reordenar el balance de momento

Pasamos los términos de cada cuerpo al mismo lado:

El miembro izquierdo es el momento que pierde A y el derecho es el que gana B, con la convención elegida.

20.6 Factorizar el balance de energía

Reordenamos la conservación de energía cinética y usamos a² − b² = (a − b)(a + b):

20.7 La rama con intercambio real

Si la colisión modifica las velocidades, podemos comparar la ecuación factorizada con el balance de momento y cancelar el factor de intercambio común. Resulta:

La otra rama matemática corresponde a v_Af = v_Ai y v_Bf = v_Bi: ningún cuerpo cambia. Para un impacto real con interacción, usamos la rama no trivial.

20.8 Inversión de la velocidad relativa

Al reordenar la relación anterior:

La rapidez relativa de aproximación antes es igual a la rapidez relativa de separación después. De forma equivalente:

Esta igualdad es una consecuencia de las dos conservaciones para el choque elástico unidimensional.

20.9 Resolver el sistema lineal equivalente

Ahora usamos dos ecuaciones lineales: conservación del momento e inversión de la velocidad relativa. Podemos escribir:

Sustituimos esta expresión en el balance de momento y despejamos v_Af. Después obtenemos v_Bf. Así evitamos resolver directamente ecuaciones cuadráticas.

20.10 Fórmulas generales

Para dos cuerpos en una dimensión:

Las velocidades iniciales deben reemplazarse con signo. Las fórmulas no requieren que B esté en reposo.

20.11 Leer la estructura de las fórmulas

Cada velocidad final es una combinación lineal de las dos velocidades iniciales. Los coeficientes dependen únicamente de las masas y el denominador común es la masa total.

Intercambiar las etiquetas A y B transforma una fórmula en la otra, como exige la simetría física del problema. Los coeficientes no tienen unidades, por lo que el resultado conserva unidades de velocidad.

20.12 No hace falta conocer la fuerza de contacto

Durante el choque, la fuerza puede cambiar rápidamente y resultar difícil de medir. Las conservaciones relacionan directamente los estados extremos.

Una vez conocidas las velocidades finales, sí podemos hallar los impulsos individuales:

En el sistema aislado, Δp_A = −Δp_B.

20.13 Signos y cambio de sentido

Una velocidad final negativa no representa una energía negativa ni un error automático. Indica que el cuerpo se mueve hacia el sentido negativo después del choque.

Un cuerpo puede continuar en el mismo sentido, detenerse o invertir su movimiento. La combinación de masas y velocidades iniciales determina cuál posibilidad ocurre.

20.14 Aproximación y separación

Si A está inicialmente a la izquierda de B, antes del choque deben acercarse:

Después de un choque elástico deben separarse:

Las fórmulas garantizan la segunda desigualdad cuando la primera se cumple.

20.15 Verificar ambos balances

Una solución elástica debe superar dos pruebas independientes:

Comprobar solo una igualdad no basta. Un par de velocidades podría conservar el momento y cambiar la energía cinética, o viceversa.

20.16 Procedimiento de resolución

Es recomendable conservar precisión durante las operaciones y redondear recién después de calcular los residuos.

20.17 Actividad interactiva: choque elástico

Modificá masas y velocidades iniciales. El laboratorio calcula las velocidades finales y comprueba momento, energía y velocidad relativa.

20.18 Implementar las fórmulas con JavaScript

La función devuelve las velocidades y los residuos de ambos balances:

function colisionElastica1D(masaA, velocidadAi, masaB, velocidadBi) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const masaTotal = masaA + masaB;
  const velocidadAf =
    ((masaA - masaB) * velocidadAi + 2 * masaB * velocidadBi) /
    masaTotal;
  const velocidadBf =
    (2 * masaA * velocidadAi + (masaB - masaA) * velocidadBi) /
    masaTotal;

  const momentoInicial = masaA * velocidadAi + masaB * velocidadBi;
  const momentoFinal = masaA * velocidadAf + masaB * velocidadBf;
  const energiaInicial =
    0.5 * masaA * velocidadAi ** 2 + 0.5 * masaB * velocidadBi ** 2;
  const energiaFinal =
    0.5 * masaA * velocidadAf ** 2 + 0.5 * masaB * velocidadBf ** 2;

  return {
    velocidadAf,
    velocidadBf,
    residuoMomento: momentoFinal - momentoInicial,
    residuoEnergia: energiaFinal - energiaInicial
  };
}

console.log(colisionElastica1D(2, 5, 3, 0));

La salida produce v_Af = −1 m/s, v_Bf = +4 m/s y residuos nulos dentro de la precisión numérica.

20.19 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: B inicialmente en reposo

m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, v_Ai = +5 m/s y v_Bi = 0:

P_i = P_f = 10 kg·m/s y K_i = K_f = 25 J.

Ejemplo 2: choque frontal

m_A = 1 kg, m_B = 2 kg, v_Ai = +4 m/s y v_Bi = −1 m/s:

La rapidez relativa es 5 m/s tanto en la aproximación como en la separación.

Ejemplo 3: ambos avanzan hacia la derecha

m_A = 3 kg, m_B = 1 kg, v_Ai = +6 m/s y v_Bi = +2 m/s. A alcanza a B:

Después, B se aleja de A y ambos continúan hacia la derecha.

20.20 Precisión, comprobaciones y casos límite

• Residuos: deben ser pequeños frente a las escalas de P y K.
• Velocidad relativa: v_Ai − v_Bi debe coincidir con v_Bf − v_Af.
• Intercambio de etiquetas: cambiar A por B no altera la física.
• Velocidades iniciales iguales: no existe aproximación ni choque posterior entre cuerpos separados.
• Masas positivas: el denominador m_A + m_B no puede anularse.

Con datos decimales, comparamos residuos mediante una tolerancia. La igualdad exacta puede fallar por representación numérica aunque las fórmulas sean correctas.

20.21 Errores frecuentes

• Usar solo conservación del momento: quedan dos velocidades finales desconocidas.
• Conservar energía de cada cuerpo: se conserva la energía cinética total, no cada aporte individual.
• Eliminar signos al calcular momento: las velocidades son componentes.
• Mantener signos dentro de v²: el cuadrado ya produce un término no negativo.
• Confundir la rama sin interacción con el choque: que las velocidades no cambien también satisface las ecuaciones algebraicas.
• Aplicar las fórmulas sin aproximación inicial: podría no ocurrir ninguna colisión.
• Suponer que ambos cuerpos invierten el sentido: no es una regla general.
• Usar masas en gramos: deben convertirse a kilogramos si se esperan unidades SI.
• Redondear antes de verificar: puede aparentar que K o P no se conservan.

20.22 Ejercicios propuestos

1. Escribí las dos ecuaciones que caracterizan un choque elástico aislado en una dimensión.
2. Derivá la igualdad v_Ai − v_Bi = v_Bf − v_Af a partir de los balances.
3. m_A = 2 kg, m_B = 3 kg, v_Ai = +5 m/s y v_Bi = 0. Calculá ambas velocidades finales.
4. m_A = 1 kg, m_B = 2 kg, v_Ai = +4 m/s y v_Bi = −1 m/s. Hallá v_Af y v_Bf.
5. Dos cuerpos de 3 kg y 1 kg avanzan a +6 m/s y +2 m/s. Determiná sus velocidades finales.
6. Para el ejercicio anterior, verificá P_i = P_f y K_i = K_f.
7. A está a la izquierda de B y poseen velocidades +1 m/s y +3 m/s. Explicá por qué no corresponde aplicar todavía las fórmulas de choque.
8. Un cálculo entrega v_Af = −2 m/s y v_Bf = +5 m/s. Si la rapidez relativa inicial era 6 m/s, ¿puede ser un resultado elástico unidimensional? Justificá.
9. Usá el laboratorio con m_A = 4 kg, m_B = 2 kg, v_Ai = +3 m/s y v_Bi = −1 m/s. Registrá velocidades, impulsos y residuos.

20.23 Ideas para recordar

• En un choque elástico aislado se conservan P y K.
• Dos ecuaciones independientes determinan las dos velocidades finales.
• La diferencia de cuadrados permite simplificar el balance energético.
• La rapidez relativa de aproximación coincide con la de separación.
• Las fórmulas generales admiten velocidades iniciales con cualquier signo.
• Los impulsos individuales son iguales y opuestos.
• Las fuerzas y deformaciones durante el contacto no necesitan conocerse en detalle.
• Debe comprobarse que los cuerpos se aproximan antes del impacto.
• La solución se valida sustituyendo en ambos balances.

En el próximo tema analizaremos casos particulares con masas iguales, un blanco en reposo y cuerpos muy masivos.