21. Casos particulares: masas iguales, blanco en reposo y cuerpos muy masivos

21.1 Por qué estudiar casos particulares

Las fórmulas generales de una colisión elástica funcionan para cualquier par de masas positivas, pero ciertos valores permiten simplificarlas y anticipar el resultado sin realizar todo el cálculo.

Estos casos también sirven como pruebas de una implementación: si el programa no reproduce los límites conocidos, existe un error en las fórmulas, los signos o las unidades.

21.2 Punto de partida

Para un choque elástico aislado en una dimensión:

En cada caso sustituiremos relaciones entre masas o velocidades antes de operar.

21.3 Masas iguales

Si m_A = m_B = m, los términos m_A − m_B se anulan. Las fórmulas quedan:

Los cuerpos intercambian sus velocidades. Esta afirmación incluye módulo, dirección y signo, no solo rapidez.

21.4 Masas iguales con blanco en reposo

Si además B estaba en reposo, v_Bi = 0:

A se detiene y B continúa con la velocidad que tenía A. En el modelo ideal, toda la cantidad de movimiento y toda la energía cinética inicial pasan de un cuerpo al otro.

21.5 Blanco en reposo con masas diferentes

Tomamos v_Bi = 0, pero mantenemos masas distintas:

Estas expresiones permiten estudiar el efecto de la relación entre las masas.

21.6 Usar la razón de masas

Definimos una cantidad adimensional:

Al dividir numerador y denominador por m_B:

La escala absoluta de las masas deja de importar para estas razones; importa su cociente.

21.7 Tres regímenes

Estas conclusiones suponen v_Ai > 0 y B inicialmente en reposo.

21.8 Proyectil liviano contra blanco pesado

Si m_A ≪ m_B, entonces r se aproxima a cero:

El cuerpo liviano rebota con una rapidez cercana a la inicial. El blanco pesado adquiere una velocidad pequeña, aunque puede recibir un impulso apreciable.

21.9 Límite de una pared inmóvil

Una pared unida a la Tierra puede modelarse como un cuerpo cuya masa es enorme comparada con la del objeto. En el límite m_B → ∞ y v_Bi = 0:

La pared no queda exactamente inmóvil: su cambio de velocidad es extremadamente pequeño. Considerarla fija es una aproximación de masa dominante.

21.10 Blanco muy masivo en movimiento

Si m_B ≫ m_A pero B posee velocidad v_Bi, las fórmulas se aproximan a:

En el sistema donde el cuerpo masivo está en reposo, A invierte su velocidad. Al volver al observador original aparece el término 2v_Bi.

21.11 Proyectil pesado contra blanco liviano

Si m_A ≫ m_B, entonces r es muy grande:

A cambia poco su velocidad y B puede adquirir una rapidez cercana al doble de la velocidad inicial de A.

21.12 Por qué B puede superar la velocidad inicial de A

Que v_Bf se aproxime a 2v_Ai no viola la conservación de energía. B es mucho más liviano, mientras A conserva casi toda su velocidad.

Una gran velocidad no implica por sí sola gran energía cinética: también interviene la masa. El balance debe realizarse con ½mv² para ambos cuerpos.

21.13 Reparto de energía con B en reposo

Dividimos las energías finales por la energía inicial K_i = ½m_Av_Ai²:

Las fracciones suman uno. La transferencia completa hacia B ocurre cuando r = 1.

21.14 Transferencia máxima hacia el blanco

La fracción 4r/(r + 1)² nunca supera uno. Podemos comprobarlo sin cálculo diferencial:

La igualdad se cumple únicamente para r = 1. Por eso, en un choque elástico unidimensional con B en reposo, la energía transferida a B es máxima cuando las masas son iguales.

21.15 Impulso y masa dominante

El impulso recibido por B es:

En el límite de una pared inmóvil, J_B se aproxima a 2m_Av_Ai, aunque v_Bf tienda a cero. Una masa enorme puede recibir momento con un cambio de velocidad imperceptible.

21.16 Aproximaciones, no identidades

Los símbolos ≪, ≫ y ≈ expresan comparaciones y aproximaciones. Para una masa grande pero finita, B sí se mueve y A no recupera exactamente la rapidez inicial.

No existe una razón universal a partir de la cual un cuerpo sea “infinitamente masivo”. Depende de la precisión requerida.

21.17 Método para reconocer el caso

Las reglas rápidas son útiles solo después de verificar que sus condiciones coinciden con el problema.

21.18 Actividad interactiva: explorar la razón de masas

B permanece inicialmente en reposo con una masa de referencia de 1 kg. Mové la razón r = m_A/m_B en escala logarítmica y observá los tres regímenes.

21.19 Programar el caso con blanco en reposo

La función devuelve velocidades y fracciones de energía para cualquier razón positiva:

function choqueElasticoConBlancoEnReposo(
  masaA, velocidadAi, masaB
) {
  if (masaA <= 0 || masaB <= 0) {
    throw new Error("Las masas deben ser positivas");
  }

  const razon = masaA / masaB;
  const velocidadAf = ((razon - 1) / (razon + 1)) * velocidadAi;
  const velocidadBf = (2 * razon / (razon + 1)) * velocidadAi;
  const fraccionEnergiaA = ((razon - 1) / (razon + 1)) ** 2;
  const fraccionEnergiaB = 4 * razon / (razon + 1) ** 2;

  return {
    razon,
    velocidadAf,
    velocidadBf,
    fraccionEnergiaA,
    fraccionEnergiaB
  };
}

console.log(choqueElasticoConBlancoEnReposo(1, 5, 1));

Para masas iguales, la salida muestra v_Af = 0, v_Bf = 5 m/s y transferencia completa de energía hacia B.

21.20 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: A más liviano

m_A = 1 kg, m_B = 3 kg, v_Ai = +8 m/s y v_Bi = 0:

A rebota; B avanza. La energía de B es 24 J de los 32 J iniciales, es decir, 75 %.

Ejemplo 2: A más masivo

m_A = 3 kg, m_B = 1 kg y v_Ai = +4 m/s:

A continúa; B sale con una rapidez mayor que la inicial de A.

Ejemplo 3: aproximación a una pared

m_A = 1 kg, m_B = 100 kg y v_Ai = +5 m/s:

El límite ideal daría −5 m/s y 0 m/s; las fórmulas exactas muestran las pequeñas diferencias.

21.21 Comprobaciones

• r = 1: A debe detenerse y B debe recibir v_Ai.
• r → 0: v_Af → −v_Ai y v_Bf → 0.
• r → ∞: v_Af → v_Ai y v_Bf → 2v_Ai.
• Energía: las dos fracciones finales deben sumar uno.
• Momento: m_Av_Ai debe igualar m_Av_Af + m_Bv_Bf.
• Separación: v_Bf − v_Af debe ser v_Ai.

21.22 Errores frecuentes

• Intercambiar velocidades con masas distintas: esa regla exige m_A = m_B.
• Detener siempre al proyectil: solo ocurre con masas iguales y B en reposo.
• Suponer que el blanco pesado no recibe impulso: su velocidad puede ser pequeña aunque su momento cambie.
• Creer que 2v_Ai viola energía: el blanco puede ser mucho más liviano.
• Confundir ≈ con =: los límites de masas muy diferentes no son exactos para masas finitas.
• Usar r invertida: aquí r = m_A/m_B.
• Aplicar las simplificaciones con B en movimiento: deben recuperarse las fórmulas generales.
• Olvidar el modelo elástico: los resultados no valen para cualquier tipo de choque.
• Comparar solo velocidades: momento y energía incluyen también las masas.

21.23 Ejercicios propuestos

1. Dos cuerpos de 2 kg poseen velocidades iniciales +5 m/s y −1 m/s. Si chocan elásticamente, hallá sus velocidades finales.
2. A y B tienen 3 kg cada uno. A avanza a +4 m/s y B está en reposo. Calculá el estado final.
3. m_A = 1 kg, m_B = 4 kg, v_Ai = +10 m/s y v_Bi = 0. Calculá las velocidades finales.
4. m_A = 4 kg, m_B = 1 kg y v_Ai = +5 m/s. Calculá las velocidades finales y describí sus sentidos.
5. Para r = 1/3, calculá qué porcentaje de energía inicial recibe B.
6. Para r = 4, calculá las fracciones de energía final de A y B.
7. Una pelota de 0,2 kg llega a +6 m/s contra una pared ideal inmóvil. Estimá su velocidad final y el impulso recibido.
8. Usá las fórmulas exactas para m_A = 1 kg, m_B = 20 kg y v_Ai = +4 m/s. Compará con el límite de pared.
9. En el laboratorio, explorá r = 0,1; 1 y 10. Registrá las velocidades relativas y el porcentaje de energía recibido por B.

21.24 Ideas para recordar

• Masas iguales intercambian velocidades en un choque elástico unidimensional.
• Si además B está en reposo, A se detiene y B recibe su velocidad.
• Con B en reposo, la razón r = m_A/m_B organiza todos los casos.
• Un proyectil liviano rebota contra un blanco mucho más pesado.
• Un proyectil muy pesado cambia poco y puede impulsar al blanco liviano hasta casi 2v_Ai.
• La transferencia de energía hacia B es máxima cuando las masas son iguales.
• Una pared fija es el límite aproximado de una masa dominante.
• Una velocidad pequeña no implica un impulso pequeño si la masa es enorme.
• Los límites deben compararse con las fórmulas exactas y la tolerancia requerida.

En el próximo tema introduciremos el coeficiente de restitución y la velocidad relativa de separación.